北京市第十三中学2021届高三上学期期中考试数学试题Word版含解析
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
〔1〕假设 ，求 ；
〔2〕分别过A、B做x轴的垂线，垂足依次为C、D，记 的面积为 ， 的面积为 ，假设 ，求角 的值.
【答案】〔1〕 ；〔2〕
【解析】
【分析】
〔1〕由三角函数定义，得 ，由此利用同角三角函数的根本关系求得 的值，再根据 ，利用两角和的余弦公式求得结果．
〔2〕依题意得 ， ，分别求得 和 的解析式，再由 求得 ，根据ห้องสมุดไป่ตู้的范围，求得 的值．
那么第19天治愈出院患者的人数为 ，
，
解得 ，
第 天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院．
故答案为：16，21．
【点睛】此题主要考查了等比数列在实际问题中的应用，考查等比数列的性质等根底知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
15.能够说明“设 ， ， 是任意实数，假设 ，那么 〞是假命题的一组整数 ， ， 的值依次为______.〔写出满足条件的一组值即可〕
详解】不妨设
当 时， ， ，不存在非零实数 ，使得 成立，那么 不满足题意
当 时，假设存在非零实数 ，使得 成立，那么方程 有非零的正根，即函数 与 有交点
先考虑函数 与直线 相切的情形
设切点为 ，那么 ，整理得
令 ，那么 ，即函数 在 上单调递增
那么 ，所以方程 的根只有一个，且 ，即
那么函数 与直线 相切时，切点为原点
∴
或直接求 .
〔2〕由〔1〕得，所以 的最小正周期为
〔3〕由〔1〕得，∵ ，∴ ，
∴
当 ，即 时， 取得最小值为 .
【点睛】关键点睛：解题的关键在于，利用三角恒等变换化简函数的解析式得到 ，进而利用正弦函数的性质求解，属于中档题
19.某单位有车牌尾号为2的汽车 和尾号为6的汽车 ，两车分属于两个独立业务部门.对一段时间内两辆汽车的用车记录进行统计，在非限行日， 车日出车频率， 车日出车频率0.5.该地区汽车限行规定如下：
6.函数 的局部图象如图示，那么将 的图象向右平移 个单位后，得到的图象解析式为〔〕
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
由图像知A="1," , ,
得 ，那么图像向右
移 个单位后得到的图像解析式为 ，应选D．
7.假设 为任意角，那么满足 的一个 值为〔〕
A.2B.4C.6D.8
【答案】D
【解析】
【分析】
【答案】 ， ， 〔答案不唯一〕
【解析】
【分析】
任意取一组 ， ， 的值，满足 ，但不满足 即可.
【详解】令 ，那么 ，
但是 ，所以 不成立，
满足 ， ， 是任意实数，假设 ，那么 〞是假命题，
故答案为： ， ， 〔答案不唯一〕
16.定义在区间 上的连续函数 ，如果 ，使得 ，那么称 为区间 上的“中值点〞 ，以下函数：
【答案】(1).16(2).21
【解析】
【分析】
由题意可知出院人数构成一个首项为1，公比为2的等比数列，由此可求结果．
【详解】某医院一次性收治患者127人．
第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院．
且从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，
从第15天开始，每天出院人数构成以1为首项，2为公比的等比数列，
当且仅当 即 时，函数取得最小值 ．
故答案为：①3；②2．
【点睛】关键点点睛：该题主要考查了利用根本不等式求解最值，在求解的过程中，时刻关注利用根本不等式求最值的三个条件：一正、二定、三相等，考查学生的运算求解能力．
14.在疫情防控过程中，某医院一次性收治患者127人.在医护人员的精心治疗下，第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院.如果从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，那么第19天治愈出院患者的人数为_______________，第_______________天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院.
三、解答题
17.等差数列 和等比数列 满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．
〔Ⅰ〕求 的通项公式；
〔Ⅱ〕求和： ．
【答案】〔1〕an=2n−1.〔2〕
【解析】
试题分析：〔Ⅰ〕设等差数列的公差为 ，代入建立方程进行求解；〔Ⅱ〕由 是等比数列，知 依然是等比数列，并且公比是 ，再利用等比数列求和公式求解.
3. ，且 ，那么 〔〕
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由同角三角函数根本关系的平方关系可以求出 的值且 ，再利用
即可求解.
【详解】由 得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
应选：A
4.曲线 在点 处的切线方程为〔〕
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求导数，得斜率的值，然后利用切线方程的公式，直接求解即可
假设 ，由 且数列 为单调递增数列，那么对任意的 ， ，符合题意.
所以，“ ， 〞 “ 为递增数列〞；
必要性：设 ，当 时， ，此时， ，但数列 是递增数列.
所以，“ ， 〞 “ 为递增数列〞.
因此，“ ， 〞是“ 为递增数列〞的充分而不必要条件.
应选：A.
【点睛】此题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前 项和公式是解决此题的关键，属于中等题．
9.地震里氏震级是地震强度大小的一种度量．地震释放的能量E〔单位：焦耳〕与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+M．两次地震的里氏震级分别为级和级，假设它们释放的能量分别为E1和E2，那么 的值所在的区间为〔 〕
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先把数据代入解析式，再利用对数的运算性质即可得出．
【详解】 ，
∴ ， ，
∴ ， ，∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 的值所在的区间为 ，应选B．
【点睛】此题考查了对数的运用以及运算，熟练掌握对数的运算性质是解题的关键，属于根底题.
10.函数 假设存在非零实数 ，使得 成立，那么实数k的取值范围是〔〕
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
将方程 有解问题转化为函数图象的交点问题，利用导数，即可得出实数k的取值范围.
所以要使得函数 与 有交点，那么 ，即
所以实数k的取值范围是
应选：A
【点睛】此题主要考查了函数与方程的综合应用，导数研究方程的根，属于中档题.
第二卷
二、填空题
11.如图是甲、乙两名同学进入高中以来5次体育测试成绩的茎叶图，那么甲5次测试成绩的平均数是_________，乙5次测试成绩的平均数与中位数之差是______.
由可得 ，
设该单位在星期一恰好出一台车的事件为 ，
因为 ， 两车是否出车相互独立，且事件 ， 互斥，
所以
所以该单位在星期一恰好出一台车的概率为0.5.
〔2〕 的可能取值为0，1，2，3
所以 的的分布列为
0
1
2
3
.
【点睛】关键点点睛：第二问分析出 的可能取值，搞清楚 的每个取值对应的事件是解题关键.
20.如图，在直角坐标系xOy中，角 的顶点是原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且 ，将角 的终边按照逆时针方向旋转 ，交单位圆于点B，记
【详解】求导得斜率 ，代点检验即可选B.
， ，
应选：B
5.a，3，b，9，c成等比数列，且 ，那么 等于〔〕
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
分析】
根据等比数列 性质和对数的运算性质即可求出.
【详解】a，3，b，9，c成等比数列，
那么 ， ，
∴ ，
∴ ，
应选：A.
【点睛】该题考查的是有关等比数列与对数运算的综合题，涉及到的知识点有等比数列的性质，对数式运算法那么，属于根底题目.
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据等差数列的前 项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】 是等差数列，且公差 不为零，其前 项和为 ，
充分性： ，那么 对任意的 恒成立，那么 ，
，假设 ，那么数列 为单调递减数列，那么必存在 ，使得当 时， ，那么 ，不符合题意；
试题解析：〔Ⅰ〕设等差数列{an}的公差为d.
因为a2+a4=10，所以2a1+4d=10.
解得d=2.
所以an=2n−1.
〔Ⅱ〕设等比数列的公比为q.
因为b2b4=a5，所以b1qb1q3=9.
解得q2=3.
所以 .
从而 .
【名师点睛】此题考查了数列求和，一般数列求和的方法：〔1〕分组转化法，一般适用于等差数列+等比数列的形式；〔2〕裂项相消法求和，一般适用于 ， , 等的形式；〔3〕错位相减法求和，一般适用于等差数列 等比数列的形式；〔4〕倒序相加法求和，一般适用于首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和与倒着写和，两式相加除以2即可得到数列求和.
【答案】(1).84(2).2
【解析】
【分析】
根据茎叶图和平均数，以及中位数的定义进行求解即可
【详解】根据茎叶图写出甲、乙的成绩如下，
甲：76，83，84，87，90
乙：79，80，82，88，91
所以，甲的平均成绩为： ，
乙的平均成绩为： ，乙的中位数为82，
所以，乙5次测试成绩的平均数与中位数之差是2
18.函数 .
〔1〕求 的值；
〔2〕求 的最小正周期；
〔3〕求 在区间 上的最小值.
【答案】〔1〕1；〔2〕 ；〔3〕 .
【解析】
【分析】
〔1〕由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，从而求得 的值
〔2〕由〔1〕得，利用正弦函数的周期性，得出结论；
〔3〕由〔1〕得，利用正弦函数的单调性，得出结论；
【详解】〔1〕
故答案为：①84；②2
12.求值 _______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据诱导公式化为锐角后可求得结果.
【详解】 。
故答案为：
13.函数 的最小值是_____，此时 _____.
【答案】(1).3(2).2
【解析】
【分析】
由题知 ，又由 ，结合根本不等式即可求解．
【详解】∵ ，
∴ ，
由根本不等式可得 ，
由 ，可知 ，从而可得到 的关系式，结合四个选项可选出答案.
【详解】因为 ，所以 ，即 ，所以 可以为8.
应选：D.
【点睛】此题考查三角函数周期性的应用，考查学生的计算求解能力，属于根底题.
8.设 是等差数列，且公差不为零，其前 项和为 ．那么“ ， 〞是“ 为递增数列〞的〔〕
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
【详解】〔1〕解：由三角函数定义，得 ， ．
因为 ， ，所以 ．
所以 ．
〔2〕解：依题意得 ， ．所以 ，
．
依题意 得 ，即 ，
整理得 ．
因为 ，所以 ，所以 ，即 ．
【点睛】此题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的正弦公式、余弦公式，同角三角函数的根本关系的应用，属于中档题．
【解析】
【分析】
〔1〕设 车在星期 出车的事件为 ， 车在星期 出车的事件为 ， ，2，3，4，5，
设该单位在星期一恰好出一台车的事件为 ，根据 计算可得结果；
〔2〕 的可能取值为0，1，2，3，求出 的各个取值的概率可得分布列和数学期望.
【详解】〔1〕设 车在星期 出车的事件为 ， 车在星期 出车的事件为 ， ，2，3，4，5
① ；② ；③ ；④ 中，在区间 上“中值点〞多于一个的函数序号为__________．〔写出所有满足条件的函数的序号〕
【答案】①④
【解析】
①∵ ， ，∴ ，均符合题意．
②∵ ， ．
∵ ，∴ ，∴ ， 不符合题意；
③∵ ，
∴ ，∴ 不符合题意；
④∵ ， ．
∴ ．符合题意．
点睛：此题考查了新定义的命题真假的判断问题，重点是对导数及其几何意义的理解与应用问题，根据“中值点〞的几何意义是在区间[a，b]上存在点，使得函数在该点的切线的斜率等于区间[a，b]的两个端点连线的斜率值．由此定义并结合函数的图象与性质，对于四个选项逐一判断，即得出正确答案．
第一卷〔选择题〕
一、选择题
1.假设集合 ， ，那么 〔〕
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先化简集合A,B，再利用并集运算求解.
【详解】
应选：C
2.以下函数中，在区间 上单调递增的是〔 〕
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
在 上是单调减函数， 在 是单调减函数，在 上是单调增函数， 在 不是单调函数， 是幂函数，它在 上是单调增函数，应选D．
北京市第十三中学2021~2021学年第一学期
高三数学期中测试
本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，第一卷第1页至第2页；第二卷第2页至第4页.答题纸第1页至第4页，共4页.考试时间120分钟，总分值150分.请在答题纸指定位置书写班级、姓名、准考证号.考试结束后，将本试卷的答题纸交回.
车尾号
0和5
1和6
2和7
3和8
4和9
限行日
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
现将汽车日出车频率理解为日出车概率，且 ， 两车出车相互独立.
〔1〕求该单位在星期一恰好出车一台的概率；
〔2〕设 表示该单位在星期一与星期二两天的出车台数之和，求 的分布列及其数学期望 .
【答案】〔1〕；〔2〕分布列见解析， .
〔2〕分别过A、B做x轴的垂线，垂足依次为C、D，记 的面积为 ， 的面积为 ，假设 ，求角 的值.
【答案】〔1〕 ；〔2〕
【解析】
【分析】
〔1〕由三角函数定义，得 ，由此利用同角三角函数的根本关系求得 的值，再根据 ，利用两角和的余弦公式求得结果．
〔2〕依题意得 ， ，分别求得 和 的解析式，再由 求得 ，根据ห้องสมุดไป่ตู้的范围，求得 的值．
那么第19天治愈出院患者的人数为 ，
，
解得 ，
第 天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院．
故答案为：16，21．
【点睛】此题主要考查了等比数列在实际问题中的应用，考查等比数列的性质等根底知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
15.能够说明“设 ， ， 是任意实数，假设 ，那么 〞是假命题的一组整数 ， ， 的值依次为______.〔写出满足条件的一组值即可〕
详解】不妨设
当 时， ， ，不存在非零实数 ，使得 成立，那么 不满足题意
当 时，假设存在非零实数 ，使得 成立，那么方程 有非零的正根，即函数 与 有交点
先考虑函数 与直线 相切的情形
设切点为 ，那么 ，整理得
令 ，那么 ，即函数 在 上单调递增
那么 ，所以方程 的根只有一个，且 ，即
那么函数 与直线 相切时，切点为原点
∴
或直接求 .
〔2〕由〔1〕得，所以 的最小正周期为
〔3〕由〔1〕得，∵ ，∴ ，
∴
当 ，即 时， 取得最小值为 .
【点睛】关键点睛：解题的关键在于，利用三角恒等变换化简函数的解析式得到 ，进而利用正弦函数的性质求解，属于中档题
19.某单位有车牌尾号为2的汽车 和尾号为6的汽车 ，两车分属于两个独立业务部门.对一段时间内两辆汽车的用车记录进行统计，在非限行日， 车日出车频率， 车日出车频率0.5.该地区汽车限行规定如下：
6.函数 的局部图象如图示，那么将 的图象向右平移 个单位后，得到的图象解析式为〔〕
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
由图像知A="1," , ,
得 ，那么图像向右
移 个单位后得到的图像解析式为 ，应选D．
7.假设 为任意角，那么满足 的一个 值为〔〕
A.2B.4C.6D.8
【答案】D
【解析】
【分析】
【答案】 ， ， 〔答案不唯一〕
【解析】
【分析】
任意取一组 ， ， 的值，满足 ，但不满足 即可.
【详解】令 ，那么 ，
但是 ，所以 不成立，
满足 ， ， 是任意实数，假设 ，那么 〞是假命题，
故答案为： ， ， 〔答案不唯一〕
16.定义在区间 上的连续函数 ，如果 ，使得 ，那么称 为区间 上的“中值点〞 ，以下函数：
【答案】(1).16(2).21
【解析】
【分析】
由题意可知出院人数构成一个首项为1，公比为2的等比数列，由此可求结果．
【详解】某医院一次性收治患者127人．
第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院．
且从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，
从第15天开始，每天出院人数构成以1为首项，2为公比的等比数列，
当且仅当 即 时，函数取得最小值 ．
故答案为：①3；②2．
【点睛】关键点点睛：该题主要考查了利用根本不等式求解最值，在求解的过程中，时刻关注利用根本不等式求最值的三个条件：一正、二定、三相等，考查学生的运算求解能力．
14.在疫情防控过程中，某医院一次性收治患者127人.在医护人员的精心治疗下，第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院.如果从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，那么第19天治愈出院患者的人数为_______________，第_______________天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院.
三、解答题
17.等差数列 和等比数列 满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．
〔Ⅰ〕求 的通项公式；
〔Ⅱ〕求和： ．
【答案】〔1〕an=2n−1.〔2〕
【解析】
试题分析：〔Ⅰ〕设等差数列的公差为 ，代入建立方程进行求解；〔Ⅱ〕由 是等比数列，知 依然是等比数列，并且公比是 ，再利用等比数列求和公式求解.
3. ，且 ，那么 〔〕
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由同角三角函数根本关系的平方关系可以求出 的值且 ，再利用
即可求解.
【详解】由 得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
应选：A
4.曲线 在点 处的切线方程为〔〕
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求导数，得斜率的值，然后利用切线方程的公式，直接求解即可
假设 ，由 且数列 为单调递增数列，那么对任意的 ， ，符合题意.
所以，“ ， 〞 “ 为递增数列〞；
必要性：设 ，当 时， ，此时， ，但数列 是递增数列.
所以，“ ， 〞 “ 为递增数列〞.
因此，“ ， 〞是“ 为递增数列〞的充分而不必要条件.
应选：A.
【点睛】此题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前 项和公式是解决此题的关键，属于中等题．
9.地震里氏震级是地震强度大小的一种度量．地震释放的能量E〔单位：焦耳〕与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+M．两次地震的里氏震级分别为级和级，假设它们释放的能量分别为E1和E2，那么 的值所在的区间为〔 〕
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先把数据代入解析式，再利用对数的运算性质即可得出．
【详解】 ，
∴ ， ，
∴ ， ，∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 的值所在的区间为 ，应选B．
【点睛】此题考查了对数的运用以及运算，熟练掌握对数的运算性质是解题的关键，属于根底题.
10.函数 假设存在非零实数 ，使得 成立，那么实数k的取值范围是〔〕
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
将方程 有解问题转化为函数图象的交点问题，利用导数，即可得出实数k的取值范围.
所以要使得函数 与 有交点，那么 ，即
所以实数k的取值范围是
应选：A
【点睛】此题主要考查了函数与方程的综合应用，导数研究方程的根，属于中档题.
第二卷
二、填空题
11.如图是甲、乙两名同学进入高中以来5次体育测试成绩的茎叶图，那么甲5次测试成绩的平均数是_________，乙5次测试成绩的平均数与中位数之差是______.
由可得 ，
设该单位在星期一恰好出一台车的事件为 ，
因为 ， 两车是否出车相互独立，且事件 ， 互斥，
所以
所以该单位在星期一恰好出一台车的概率为0.5.
〔2〕 的可能取值为0，1，2，3
所以 的的分布列为
0
1
2
3
.
【点睛】关键点点睛：第二问分析出 的可能取值，搞清楚 的每个取值对应的事件是解题关键.
20.如图，在直角坐标系xOy中，角 的顶点是原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且 ，将角 的终边按照逆时针方向旋转 ，交单位圆于点B，记
【详解】求导得斜率 ，代点检验即可选B.
， ，
应选：B
5.a，3，b，9，c成等比数列，且 ，那么 等于〔〕
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
分析】
根据等比数列 性质和对数的运算性质即可求出.
【详解】a，3，b，9，c成等比数列，
那么 ， ，
∴ ，
∴ ，
应选：A.
【点睛】该题考查的是有关等比数列与对数运算的综合题，涉及到的知识点有等比数列的性质，对数式运算法那么，属于根底题目.
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据等差数列的前 项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】 是等差数列，且公差 不为零，其前 项和为 ，
充分性： ，那么 对任意的 恒成立，那么 ，
，假设 ，那么数列 为单调递减数列，那么必存在 ，使得当 时， ，那么 ，不符合题意；
试题解析：〔Ⅰ〕设等差数列{an}的公差为d.
因为a2+a4=10，所以2a1+4d=10.
解得d=2.
所以an=2n−1.
〔Ⅱ〕设等比数列的公比为q.
因为b2b4=a5，所以b1qb1q3=9.
解得q2=3.
所以 .
从而 .
【名师点睛】此题考查了数列求和，一般数列求和的方法：〔1〕分组转化法，一般适用于等差数列+等比数列的形式；〔2〕裂项相消法求和，一般适用于 ， , 等的形式；〔3〕错位相减法求和，一般适用于等差数列 等比数列的形式；〔4〕倒序相加法求和，一般适用于首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和与倒着写和，两式相加除以2即可得到数列求和.
【答案】(1).84(2).2
【解析】
【分析】
根据茎叶图和平均数，以及中位数的定义进行求解即可
【详解】根据茎叶图写出甲、乙的成绩如下，
甲：76，83，84，87，90
乙：79，80，82，88，91
所以，甲的平均成绩为： ，
乙的平均成绩为： ，乙的中位数为82，
所以，乙5次测试成绩的平均数与中位数之差是2
18.函数 .
〔1〕求 的值；
〔2〕求 的最小正周期；
〔3〕求 在区间 上的最小值.
【答案】〔1〕1；〔2〕 ；〔3〕 .
【解析】
【分析】
〔1〕由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，从而求得 的值
〔2〕由〔1〕得，利用正弦函数的周期性，得出结论；
〔3〕由〔1〕得，利用正弦函数的单调性，得出结论；
【详解】〔1〕
故答案为：①84；②2
12.求值 _______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据诱导公式化为锐角后可求得结果.
【详解】 。
故答案为：
13.函数 的最小值是_____，此时 _____.
【答案】(1).3(2).2
【解析】
【分析】
由题知 ，又由 ，结合根本不等式即可求解．
【详解】∵ ，
∴ ，
由根本不等式可得 ，
由 ，可知 ，从而可得到 的关系式，结合四个选项可选出答案.
【详解】因为 ，所以 ，即 ，所以 可以为8.
应选：D.
【点睛】此题考查三角函数周期性的应用，考查学生的计算求解能力，属于根底题.
8.设 是等差数列，且公差不为零，其前 项和为 ．那么“ ， 〞是“ 为递增数列〞的〔〕
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
【详解】〔1〕解：由三角函数定义，得 ， ．
因为 ， ，所以 ．
所以 ．
〔2〕解：依题意得 ， ．所以 ，
．
依题意 得 ，即 ，
整理得 ．
因为 ，所以 ，所以 ，即 ．
【点睛】此题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的正弦公式、余弦公式，同角三角函数的根本关系的应用，属于中档题．
【解析】
【分析】
〔1〕设 车在星期 出车的事件为 ， 车在星期 出车的事件为 ， ，2，3，4，5，
设该单位在星期一恰好出一台车的事件为 ，根据 计算可得结果；
〔2〕 的可能取值为0，1，2，3，求出 的各个取值的概率可得分布列和数学期望.
【详解】〔1〕设 车在星期 出车的事件为 ， 车在星期 出车的事件为 ， ，2，3，4，5
① ；② ；③ ；④ 中，在区间 上“中值点〞多于一个的函数序号为__________．〔写出所有满足条件的函数的序号〕
【答案】①④
【解析】
①∵ ， ，∴ ，均符合题意．
②∵ ， ．
∵ ，∴ ，∴ ， 不符合题意；
③∵ ，
∴ ，∴ 不符合题意；
④∵ ， ．
∴ ．符合题意．
点睛：此题考查了新定义的命题真假的判断问题，重点是对导数及其几何意义的理解与应用问题，根据“中值点〞的几何意义是在区间[a，b]上存在点，使得函数在该点的切线的斜率等于区间[a，b]的两个端点连线的斜率值．由此定义并结合函数的图象与性质，对于四个选项逐一判断，即得出正确答案．
第一卷〔选择题〕
一、选择题
1.假设集合 ， ，那么 〔〕
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先化简集合A,B，再利用并集运算求解.
【详解】
应选：C
2.以下函数中，在区间 上单调递增的是〔 〕
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
在 上是单调减函数， 在 是单调减函数，在 上是单调增函数， 在 不是单调函数， 是幂函数，它在 上是单调增函数，应选D．
北京市第十三中学2021~2021学年第一学期
高三数学期中测试
本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，第一卷第1页至第2页；第二卷第2页至第4页.答题纸第1页至第4页，共4页.考试时间120分钟，总分值150分.请在答题纸指定位置书写班级、姓名、准考证号.考试结束后，将本试卷的答题纸交回.
车尾号
0和5
1和6
2和7
3和8
4和9
限行日
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
现将汽车日出车频率理解为日出车概率，且 ， 两车出车相互独立.
〔1〕求该单位在星期一恰好出车一台的概率；
〔2〕设 表示该单位在星期一与星期二两天的出车台数之和，求 的分布列及其数学期望 .
【答案】〔1〕；〔2〕分布列见解析， .