高中数学必修四课时作业9：2.3.4 平面向量共线的坐标表示

2.3.4 平面向量共线的坐标表示
1．已知向量a ＝(3,5)，b ＝(cos α，sin α)，且a ∥b ，则tan α等于( ) A ．35
B ．53
C ．－35
D ．－53
[解析] 由a ∥b ，得5cos α－3sin α＝0，即tan α＝5
3．
[答案] B
2．向量a ＝(1，－2)，|b |＝4|a |，a ∥b ，则b 可能是( ) A ．(4,8) B ．(8,4) C ．(－4，－8)
D ．(－4,8)
[解析] 由a ∥b 可排除A ，B ，C ，故选D ． [答案] D
3．向量P A →＝(k,12)，PB →＝(4,5)，PC →
＝(10，k )，若A ，B ，C 三点共线，则k 的值为( )
A ．－2
B ．11
C ．－2或11
D ．2或11
[解析] AB →＝PB →－P A →＝(4－k ，－7)，BC →＝PC →－PB →＝(6，k －5)，由题知AB →∥BC →
，故(4－k )(k －5)－(－7)×6＝0，解得k ＝11或k ＝－2．
[答案] C
4．设向量a ＝(1,0)，b ＝(1,1)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(6,2)共线，则实数λ＝________．
[解析] λa ＋b ＝(λ，0)＋(1,1)＝(λ＋1,1)，因为(λa ＋b )∥c ，所以2(λ＋1)－6＝0，解得λ＝2．
[答案] 2
5．已知A (2,0)，B (0,2)，若AC →＝13AB →
，则点C 的坐标是________．
[解析] 设C (x ，y )，则AC →＝(x －2，y )，AB →
＝(－2,2)， 所以(x －2，y )＝(－23，23)，得x ＝43，y ＝23，即C (43，2
3
)．
[答案] (43，2
3
)
6．已知两点A (3，－4)，B (－9,2)在直线AB 上，求一点P 使|AP →|＝13|AB →
|．
解 设点P 的坐标为(x ，y )，
①若点P 在线段AB 上，则AP →＝12PB →
，
∴(x －3，y ＋4)＝1
2(－9－x,2－y )．
解得x ＝－1，y ＝－2，∴P (－1，－2)．
②若点P 在线段BA 的延长线上，则AP →
＝－14PB →，
∴(x －3，y ＋4)＝－1
4(－9－x,2－y )．
解得x ＝7，y ＝－6，∴P (7，－6)．
综上可得点P 的坐标为(－1，－2)或(7，－6)．
7．如图所示，在四边形ABCD 中，已知A (2,6)，B (6,4)，C (5,0)，D (1,0)，求直线AC 与BD 交点P 的坐标．
解 设P (x ，y )，则DP →
＝(x －1，y )， DB →＝(5,4)，CA →＝(－3,6)，DC →
＝(4,0)．
由B ，P ，D 三点共线可得DP →＝λDB →
＝(5λ，4λ)． 又∵CP →＝DP →－DC →
＝(5λ－4,4λ)，
由于CP →与CA →
共线得，(5λ－4)6＋12λ＝0． 解之得λ＝47，∴DP →＝47DB →
＝⎝⎛⎭⎫207，167， 又OP →＝OD →＋DP →
＝(1,0)＋(207，167)＝(277，167)，
∴P 的坐标为⎝⎛⎭⎫
277，167．
能力提升
8．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →
＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是( )
A ．k ＝－2
B ．k ＝1
2
C ．k ＝1
D ．k ＝－1
[解析] 因为A ，B ，C 三点不能构成三角形，则A ，B ，C 三点共线，则AB →∥AC →，又AB →
＝OB →－OA →＝(1,2)，AC →＝OC →－OA →
＝(k ，k ＋1)，所以2k －(k ＋1)＝0，即k ＝1．
[答案] C
9．已知向量a ＝(x,3)，b ＝(－3，x )，则下列叙述中，正确的个数是( ) ①存在实数x ，使a ∥b ； ②存在实数x ，使(a ＋b )∥a ； ③存在实数x ，m ，使(m a ＋b )∥a ； ④存在实数x ，m ，使(m a ＋b )∥b ． A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
[解析] 只有④正确，可令m ＝0，则m a ＋b ＝b ，无论x 为何值，都有b ∥b ． [答案] B
10．已知a ＝(1,1)，b ＝(x 2，x ＋λ)且a ∥b ，则实数λ的最小值是________． [解析] 因为a ∥b ，所以x 2－x －λ＝0，即λ＝x 2－x ＝(x －12)2－14≥－1
4．
[答案] －1
4
11．平面上有A (2，－1)，B (1,4)，D (4，－3)三点，点C 在直线AB 上，且AC →＝12BC →
，
连接DC 延长至E ，使|CE →|＝14
|ED →
|，则点E 的坐标为________．
[解析] ∵AC →＝12BC →
，
∴A 为BC 的中点，AC →＝BA →
，
设C (x C ，y C )，则(x C －2，y C ＋1)＝(1，－5)， ∴C 点的坐标为(3，－6)，
又|CE →|＝14|ED →
|，且E 在DC 的延长线上，
∴CE →
＝－14ED →，
设E (x ，y )，
则(x －3，y ＋6)＝－1
4
(4－x ，－3－y )，
得⎩⎨⎧
x －3＝－1
4
(4－x )，
y ＋6＝－1
4
(－3－y ).解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝83，
y ＝－7.
故点E 的坐标是(8
3，－7)．
[答案] (8
3
，－7)
12．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →
＝(5－x ，－3－y )． (1)若点A ，B ，C 不能构成三角形，求x ，y 应满足的条件； (2)若AC →＝2BC →
，求x ，y 的值．
解 (1)因为点A ，B ，C 不能构成三角形，则A ，B ，C 三点共线． 由题意得
AB →＝(3,1)，AC →
＝(2－x,1－y )， 所以3(1－y )＝2－x ．
所以x ，y 满足的条件为x －3y ＋1＝0． (2)BC →
＝(－x －1，－y )， 由AC →＝2BC →得
(2－x,1－y )＝2(－x －1，－y )，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x ＝－2x －2，1－y ＝－2y ，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝－4，y ＝－1.
13．(选做题)已知ABCD 是正方形，BE ∥AC ，AC ＝CE ，EC 的延长线交BA 的延长线于点F ，求证：AF ＝AE ．
证明 建立如图所示的直角坐标系，为了研究方便．
不妨设正方形ABCD 的边长为1，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，设E (x ，y )，这里y >0，
于是AC →＝(1,1)，BE →
＝(x －1，y )． ∵AC →∥BE →，
∴1×y －(x －1)×1＝0⇒y ＝x －1.
①
∵AC ＝OC ＝CE ，
∴CE 2＝OC 2⇒(x －1)2＋(y －1)2＝2.
②
由y >0，联立①②解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝3＋3
2
，y ＝1＋32，
即E ⎝
⎛⎭
⎪⎫
3＋32，1＋32．
AE ＝OE ＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋322＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋322＝3＋1．
设F (t,0)，则FC →＝(1－t,1)，CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
1＋32，－1＋32．
∵F ，C ，E 三点共线，∴FC →∥CE →
．
∴(1－t )×－1＋32－1＋3
2×1＝0，解得t ＝－1－3．
∴AF ＝OF ＝1＋3，∴AF ＝AE ．。