广州市荔湾广雅人教版七年级上册数学期末试卷及答案

广州市荔湾广雅人教版七年级上册数学期末试卷及答案
一、选择题
1．如图，将线段AB 延长至点C ，使1
2
BC AB =,D 为线段AC 的中点，若BD =2，则线段AB 的长为（ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．12
2．晚上七点刚过，小强开始做数学作业，一看钟，发现此时时针和分针在同一直线上；做完数学作业八点不到，此时时针和分针又在同一直线上，则小强做数学作业花了多少时间（ ）
A ．30分钟
B ．35分钟
C ．
42011
分钟 D ．360
11分钟
3．已知线段AB a ，,,C D E 分别是,,AB BC AD 的中点，分别以点,,C D E 为圆心，
,,CB DB EA 为半径作圆得如图所示的图案，则图中三个阴影部分图形的周长之和为（ ）
A ．9a π
B ．8a π
C ．98
a π
D ．94
a π
4．在实数：3.1415935-π251
7
，0.1313313331…（每2个1之间依次多一个3）中，无理数的个数是（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
5．下列方程变形正确的是（ ） A ．方程
110.20.5x x --=化成1010101025
x x
--= B ．方程 3﹣x=2﹣5（x ﹣1），去括号，得 3﹣x=2﹣5x ﹣1 C ．方程 3x ﹣2=2x+1 移项得 3x ﹣2x=1+2 D ．方程
23t=3
2
，未知数系数化为 1，得t=1 6．已知关于x 的方程ax ﹣2＝x 的解为x ＝﹣1，则a 的值为（ ） A ．1
B ．﹣1
C ．3
D ．﹣3
7．如图,已知AB ∥CD,点E 、F 分别在直线AB 、CD 上,∠EPF=90°，∠BEP=∠GEP ，则∠1与
∠2的数量关系为( )
A ．∠1=∠2
B ．∠1=2∠2
C ．∠1=3∠2
D ．∠1=4∠2
8．如图，将长方形ABCD 绕CD 边旋转一周，得到的几何体是（ ）
A ．棱柱
B ．圆锥
C ．圆柱
D ．棱锥
9．“植树时只要定出两棵树的位置，就能确定这一行树所在的直线”，用数学知识解释其道
理应是（ ） A ．两点确定一条直线
B ．两点之间，线段最短
C ．直线可以向两边延长
D ．两点之间线段的长度，叫做这两点之间的
距离
10．将方程
212
134
x x -+=-去分母，得( ) A ．4(21)3(2)x x -=+ B ．4(21)12(2)x x -=-+
C ．(21)63(2)x x -=-+
D ．4(21)123(2)x x -=-+
11．某种商品每件的标价是270元，按标价的八折销售时，仍可获利20%，则这种商品每
件的进价为（ ） A ．180元
B ．200元
C ．225元
D ．259.2元
12．已知某商店有两个进价不同的计算器，都卖了100 元，其中一个盈利 60% ，另一个亏损20%，在这次买卖中，这家商店（ ） A ．不盈不亏
B ．盈利 37.5 元
C ．亏损 25 元
D ．盈利 12.5 元
二、填空题
13．已知关于x 的一元一次方程
320202020
x
x n +=+①与关于y 的一元一次方程32
32020(32)2020
y y n --=--②，若方程①的解为x ＝2020，那么方程②的解为_____． 14．如图，已知O 为直线AB 上一点，OC 平分∠AOD ，∠BOD ＝4∠DOE ，∠COE ＝α，则∠BOE 的度数为___________.(用含α的式子表示)
15．化简：2x+1﹣（x+1）＝_____．
16．A 学校有m 个学生，其中女生占45%，则男生人数为________． 17．如图，将△ABE 向右平移3cm 得到△DCF,若BE=8cm ，则CE=______cm.
18．如图,在平面直角坐标系中,动点P 按图中箭头所示方向从原点出发,第1次运动到P 1(1,1),第2次接着运动到点P 2(2，0)，第3次接着运动到点P 3(3，-2)，…，按这的运动规律,点P 2019的坐标是_____.
19．通常山的高度每升高100米，气温下降0.6C ︒，如地面气温是4C -︒，那么高度是
2400米高的山上的气温是____________________.
20．定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成1: 2 的两个角的射线，叫做这个角的三分线，显然，一个角的三分线有两条．如图，90AOB ︒∠=，OC 、OD 是∠AOB 的两条三分线，以O 为中心，将∠COD 顺时针最少旋转__________ ，OA 恰好是∠COD 的三等分线．
21．一个由小立方块搭成的几何体,从正面、左面、上面看到的形状图如图所示, 这个几何体是由_________个小立方块搭成的 ．
22．已知7635a ∠=︒'，则a ∠的补角为______°______′.
23．中国始有历法大约在四千年前每页显示一日信息的叫日历，每页显示一个月信息的叫月历，每页显示全年信息的叫年历如图是2019年1月份的月历，用一个方框圈出任意
22⨯的4个数，设方框左上角第一个数是x ，则这四个数的和为______(用含x 的式子表示)
24．a ※b 是新规定的这样一种运算法则：a ※b ＝a ﹣b+2ab ，若（﹣2）※3＝_____．
三、压轴题
25．阅读理解：如图①，若线段AB 在数轴上，A 、B 两点表示的数分别为a 和
b (b a >），则线段AB 的长（点A 到点B 的距离）可表示为AB=b a -.
请用上面材料中的知识解答下面的问题:如图②，一个点从数轴的原点开始，先向左移动2cm 到达P 点，再向右移动7cm 到达Q 点，用1个单位长度表示1cm ．
（1）请你在图②的数轴上表示出P ，Q 两点的位置；
（2）若将图②中的点P 向左移动x cm ，点Q 向右移动3x cm ，则移动后点P 、点Q 表示的数分别为多少？并求此时线段PQ 的长.（用含x 的代数式表示）；
（3）若P 、Q 两点分别从第⑴问标出的位置开始，分别以每秒2个单位和1个单位的速度同时向数轴的正方向运动，设运动时间为t （秒），当t 为多少时PQ=2cm ？
26．已知数轴上两点A 、B ，其中A 表示的数为-2，B 表示的数为2，若在数轴上存在一点C ，使得AC+BC=n ，则称点C 叫做点A 、B 的“n 节点”．例如图1所示：若点C 表示的数为0，有AC+BC=2+2=4，则称点C 为点A 、B 的“4节点”． 请根据上述规定回答下列问题：
（1）若点C 为点A 、B 的“n 节点”，且点C 在数轴上表示的数为-4，求n 的值； （2）若点D 是数轴上点A 、B 的“5节点”，请你直接写出点D 表示的数为______； （3）若点E 在数轴上（不与A 、B 重合），满足BE=1
2
AE ，且此时点E 为点A 、B 的“n 节点”，求n 的值．
27．如图1，线段AB 的长为a ．
（1）尺规作图：延长线段AB 到C ，使BC ＝2AB ；延长线段BA 到D ，使AD ＝AC ．（先用
尺规画图，再用签字笔把笔迹涂黑．）
（2）在（1）的条件下，以线段AB 所在的直线画数轴，以点A 为原点，若点B 对应的数恰好为10，请在数轴上标出点C ，D 两点，并直接写出C ，D 两点表示的有理数，若点M 是BC 的中点，点N 是AD 的中点，请求线段MN 的长．
（3）在（2）的条件下，现有甲、乙两个物体在数轴上进行匀速直线运动，甲从点D 处开始，在点C ，D 之间进行往返运动；乙从点N 开始，在N ，M 之间进行往返运动，甲、乙同时开始运动，当乙从M 点第一次回到点N 时，甲、乙同时停止运动，若甲的运动速度为每秒5个单位，乙的运动速度为每秒2个单位，请求出甲和乙在运动过程中，所有相遇点对应的有理数．
28．某商场在黄金周促销期间规定：商场内所有商品按标价的50%打折出售；同时，当顾客在该商场消费打折后的金额满一定数额，还可按如下方案抵扣相应金额：
说明：[
)a,b 表示在范围a b ～中，可以取到a ，不能取到b ．
根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠：打折优惠与抵扣优惠． 例如：购买标价为900元的商品，则打折后消费金额为450元，获得的抵扣金额为30元，总优惠额为：()900150%30480⨯-+=元，实际付款420元．
(购买商品得到的优惠率100%)=
⨯购买商品获得的总优惠额
商品的标价
，
请问：
()1购买一件标价为500元的商品，顾客的实际付款是多少元？ ()2购买一件商品，实际付款375元，那么它的标价为多少元？
()3请直接写出，当顾客购买标价为______元的商品，可以得到最高优惠率为______．
29．（1）探究：哪些特殊的角可以用一副三角板画出？
在①135︒，②120︒，③75︒，④25︒中，小明同学利用一副三角板画不出来的特殊角是_________；（填序号）
（2）在探究过程中，爱动脑筋的小明想起了图形的运动方式有多种.如图，他先用三角板画出了直线EF ，然后将一副三角板拼接在一起，其中45角（AOB ∠）的顶点与60角（COD ∠）的顶点互相重合，且边OA 、OC 都在直线EF 上.固定三角板COD 不动，将三角板AOB 绕点O 按顺时针方向旋转一个角度α，当边OB 与射线OF 第一次重合时停止.
①当OB 平分EOD ∠时，求旋转角度α；
②是否存在2BOC AOD ∠=∠？若存在，求旋转角度α；若不存在，请说明理由. 30．从特殊到一般，类比等数学思想方法，在数学探究性学习中经常用到，如下是一个具体案例，请完善整个探究过程。

已知：点C 在直线AB 上，AC a =，BC b =，且a b ，点M 是AB 的中点，请按照
下面步骤探究线段MC 的长度。

（1）特值尝试
若10a =，6b =，且点C 在线段AB 上，求线段MC 的长度. （2）周密思考：
若10a =，6b =，则线段MC 的长度只能是（1）中的结果吗？请说明理由. （3）问题解决
类比（1）、（2）的解答思路，试探究线段MC 的长度（用含a 、b 的代数式表示）. 31．如图，12cm AB =，点C 是线段AB 上的一点，2BC AC =.动点P 从点A 出发，以
3cm /s 的速度向右运动，到达点B 后立即返回，以3cm /s 的速度向左运动；动点Q 从
点C 出发，以1cm/s 的速度向右运动. 设它们同时出发，运动时间为s t . 当点P 与点Q 第二次重合时，P Q 、两点停止运动. （1）求AC ，BC ；
（2）当t 为何值时，AP PQ =； （3）当t 为何值时，P 与Q 第一次相遇； （4）当t 为何值时，1cm PQ =.
32．如图①，点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，使∠AOC=120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O 处，一边OM 在射线OB 上，另一边ON 在直线AB 的下方． （1）将图①中的三角板OMN 摆放成如图②所示的位置，使一边OM 在∠BOC 的内部，当OM 平分∠BOC 时，∠BO N= ；（直接写出结果）
（2）在（1）的条件下，作线段NO 的延长线OP （如图③所示），试说明射线OP 是∠AOC 的平分线；
（3）将图①中的三角板OMN 摆放成如图④所示的位置，请探究∠NOC 与∠AOM 之间的数量关系．（直接写出结果，不须说明理由）
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一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】
根据题意设BC x =，则可列出：()223x x +⨯=，解出x 值为BC 长，进而得出AB 的长即可. 【详解】
解：根据题意可得： 设BC x =，
则可列出：()223x x +⨯= 解得：4x =，
1
2
BC AB =
， 28AB x ∴==. 故答案为：C. 【点睛】 本题考查的是线段的中点问题，解题关键在于对线段间的倍数关系的理解，以及通过等量关系列出方程即可.
2．D
解析：D 【解析】 【分析】
由题意知，开始写作业时，分针和时针组成一平角，写完作业时，分针和时针重合. 设小强做数学作业花了x 分钟，根据分针追上时针时多转了180°列方程求解即可. 【详解】
分针速度：30度÷5分=6度/分；时针速度：30度÷60分=0.5度/分. 设小强做数学作业花了x 分钟， 由题意得
6x-0.5x=180,解之得
x= 360 11
.
故选D.
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用---追击问题，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
3．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据中点的定义及线段的和差关系可用a表示出AC、BD、AD的长，根据三个阴影部分图形的周长之和等于三个圆的周长之和即可得答案.
【详解】
∵AB a，C、D分别是AB、BC的中点，
∴AC=BC=1
2
AB=
1
2
a，BD=CD=
1
2
BC=
1
4
a，
∴AD=AC+BD=3
4 a，
∴三个阴影部分图形的周长之和=aπ+1
2
aπ+
3
4
aπ=
9
4
a
π，
故选：D.
【点睛】
本题考查线段中点的定义，线段上一点,到线段两端点距离相等的点是线段的中点；正确得出三个阴影部分图形的周长之和等于三个圆的周长之和是解题关键.
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
无理数就是无限不循环小数，依据定义即可判断．
【详解】
解：在3.14159π1
7
，0.1313313331…（每2个1之间依次多一个3）
π、0.1313313331…（每2个1之间依次多一个3）这3个，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
5．C
解析：C 【解析】 【分析】
各项中方程变形得到结果，即可做出判断． 【详解】
解：A 、方程
x 1x 10.20.5--=化成10x 1010x
25
--=1，错误； B 、方程3-x=2-5（x-1），去括号得：3-x=2-5x+5，错误； C 、方程3x-2=2x+1移项得：3x-2x=1+2，正确，
D 、方程
23t 32=，系数化为1，得：t=9
4
，错误； 所以答案选C. 【点睛】
此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．
6．B
解析：B 【解析】 【分析】
将1x =-代入2ax x -=，即可求a 的值． 【详解】
解：将1x =-代入2ax x -=， 可得21a --=-， 解得1a =-， 故选：B ． 【点睛】
本题考查一元一次方程的解；熟练掌握一元一次方程的解与方程的关系是解题的关键．
7．B
解析：B 【解析】 【分析】
延长EP 交CD 于点M ，由三角形外角的性质可得∠FMP=90°-∠2，再根据平行线的性质可得∠BEP=∠FMP ，继而根据平角定义以及∠BEP=∠GEP 即可求得答案. 【详解】
延长EP 交CD 于点M ， ∵∠EPF 是△FPM 的外角， ∴∠2+∠FMP=∠EPF=90°， ∴∠FMP=90°-∠2，
∵AB//CD，
∴∠BEP=∠FMP，
∴∠BEP=90°-∠2，
∵∠1+∠BEP+∠GEP=180°，∠BEP=∠GEP，
∴∠1+90°-∠2+90°-∠2=180°，
∴∠1=2∠2，
故选B.
【点睛】
本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，平角的定义，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
8．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据面动成体可得长方形ABCD绕CD边旋转所得的几何体．
【详解】
解：将长方形ABCD绕CD边旋转一周，得到的几何体是圆柱，
故选：C．
【点睛】
此题考查了平面图形与立体图形的联系，培养学生的观察能力和空间想象能力．
9．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据题目可知：两棵树的连线确定了一条直线，可将两棵树看做两个点，再运用直线的公理可得出答案.
【详解】
解：“植树时只要定出两棵树的位置，就能确定这一行树所在的直线”，这种做法运用到的数学知识是“两点确定一条直线”.
故答案为：A.
【点睛】
本题考查的知识点是直线公理的实际运用，易于理解掌握.
10．D
解析：D
【分析】
方程两边同乘12即可得答案．
【详解】 方程
212134
x x -+=-两边同时乘12得：4(21)123(2)x x -=-+ 故选：D ．
【点睛】 本题考查一元一次方程去分母，找出分母的最小公倍数是解题的关键，注意不要漏乘．
11．A
解析：A
【解析】
【分析】
设这种商品每件进价为x 元，根据题中的等量关系列方程求解.
【详解】
设这种商品每件进价为x 元，则根据题意可列方程270×0.8－x ＝0.2x ，解得x ＝180.故选A.
【点睛】
本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是确定未知数，根据题中的等量关系列出正确的方程.
12．D
解析：D
【解析】
【分析】
设盈利的计算器的进价为x ，则(160%)100x +=，亏损的计算器的进价为y ，则(120%)100y -=，用售价减去进价即可.
【详解】
解：设盈利的计算器的进价为x ，则(160%)100x +=，62.5x =，亏损的计算器的进价为y ，则(120%)100y -=，125y =，20062.512512.5--=元，所以这家商店盈利了12.5元..
故选：D
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系列出方程是解题的关键.
二、填空题
13．y ＝﹣．
【解析】
【分析】
根据题意得出x=﹣（3y ﹣2）的值，进而得出答案．
解：∵关于x 的一元一次方程①的解为x ＝2020，
∴关于y 的一元一次方程②中﹣（3y ﹣2）＝2020，
解
解析：y ＝﹣
20183． 【解析】
【分析】
根据题意得出x=﹣（3y ﹣2）的值，进而得出答案．
【详解】
解：∵关于x 的一元一次方程
320202020x x n +=+①的解为x ＝2020， ∴关于y 的一元一次方程
3232020(32)2020y y r --=--②中﹣（3y ﹣2）＝2020， 解得：y ＝﹣20183
． 故答案为：y ＝﹣
20183
． 【点睛】 此题主要考查了一元一次方程的解，正确得出−（3y−2）的值是解题关键．
14．270°－3α
【解析】
【分析】
设∠DOE=x，根据OC 平分∠AOD，∠COE＝α，可得∠COD=α-x ，由∠BOD＝4∠DOE，可得∠BOD=4x，由平角∠AOB=180°列出关于x 的一次方程
解析：270°－3α
【解析】
【分析】
设∠DOE=x ，根据OC 平分∠AOD ，∠COE ＝α，可得∠COD=α-x ，由∠BOD ＝4∠DOE ，可得∠BOD=4x ，由平角∠AOB=180°列出关于x 的一次方程式，求解即可．
【详解】
设∠DOE=x ，根据OC 平分∠AOD ，∠BOD ＝4∠DOE ，∠COE ＝α，
∴∠BOD=4x ，∠AOC=∠COD=α-x ，
由∠BOD+∠AOD=180°，
∴4x+2(α-x )=180°
解得x=90°-α，
∴∠BOE=3x=3（90°-α）=270°-3α，
故答案为：270°-3α．
本题考查了角平分线的定义，平角的定义，一元一次方程的应用，掌握角平分线的定义是解题的关键．
15．x
【解析】
【分析】
首先去括号，然后再合并同类项即可．
【详解】
解：原式＝2x+1﹣x﹣1＝x，
故答案为：x．
【点睛】
此题主要考查了整式的加减，解题的关键是正确掌握去括号法则．
解析：x
【解析】
【分析】
首先去括号，然后再合并同类项即可．
【详解】
解：原式＝2x+1﹣x﹣1＝x，
故答案为：x．
【点睛】
此题主要考查了整式的加减，解题的关键是正确掌握去括号法则．
16．【解析】
【分析】
将男生占的比例：，乘以总人数就是男生的人数.
【详解】
男生占的比例是，则男生人数为55%，
故答案是55%.
【点睛】
本题列代数式的关键是正确理解题文中的关键词，从而明确其
解析：55%m
【解析】
【分析】
-，乘以总人数就是男生的人数.
将男生占的比例：145%
【详解】
-=，则男生人数为55%m，
男生占的比例是145%55%
故答案是55%m.
【点睛】
本题列代数式的关键是正确理解题文中的关键词，从而明确其中的运算关系，正确地列出代数式.
17．5
【解析】
【分析】
根据平移的性质可得BC=3cm，继而由BE=8cm，CE=BE-BC即可求得答案.
【详解】
∵△ABE向右平移3cm得到△DCF，
∴BC=3cm，
∵BE=8cm，
∴C
解析：5
【解析】
【分析】
根据平移的性质可得BC=3cm，继而由BE=8cm，CE=BE-BC即可求得答案.
【详解】
∵△ABE向右平移3cm得到△DCF，
∴BC=3cm，
∵BE=8cm，
∴CE=BE-BC=8-3=5cm，
故答案为：5.
【点睛】
本题考查了平移的性质，熟练掌握对应点间的距离等于平移距离的性质是解题的关键．18．(2019，-2)
【解析】
【分析】
观察不难发现，点的横坐标等于运动的次数，纵坐标每4次为一个循环组循环，用2019除以4，余数是几则与第几次的纵坐标相同，然后求解即可．
【详解】
∵第1次运动
解析：(2019，-2)
【解析】
【分析】
观察不难发现，点的横坐标等于运动的次数，纵坐标每4次为一个循环组循环，用2019除以4，余数是几则与第几次的纵坐标相同，然后求解即可．
【详解】
∵第1次运动到点(1，1)，第2次运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，-2)，第4次运
动到点(4，0)，第5次运动到点(5，1)…，
∴运动后点的横坐标等于运动的次数，
第2019次运动后点P的横坐标为2019，
纵坐标以1、0、-2、0每4次为一个循环组循环，
∵2019÷4=504…3，
∴第2019次运动后动点P的纵坐标是第504个循环组的第3次运动，与第3次运动的点的纵坐标相同，为-2，
∴点P(2019，-2)，
故答案为：(2019，-2)．
【点睛】
本题是对点的坐标的规律的考查，根据图形观察出点的横坐标与纵坐标的变化规律是解题的关键．
19．【解析】
【分析】
从地面到高山上高度升高了2400米，用升高的高度除以100再乘以0.6得出下降的温度，再用地面的气温减去此值即可.
【详解】
解：由题意可得，
高度是2400米高的山上的气温是
-︒
解析：18.4C
【解析】
【分析】
从地面到高山上高度升高了2400米，用升高的高度除以100再乘以0.6得出下降的温度，再用地面的气温减去此值即可.
【详解】
解：由题意可得，
高度是2400米高的山上的气温是：-4-2400÷100×0.6=-4-14.4=-18.4℃，
故答案为：-18.4℃．
【点睛】
本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是根据题意列出正确的算式．
20．40
【解析】
【分析】
由OA 恰好是COD 的三等分线可得或，旋转角为，求出其度数取最小值即可. 【详解】
解：因为，OC、OD 是AOB 的两条三分线，所以
因为OA 恰好是COD 的
解析：40
【解析】
【分析】
由OA 恰好是∠COD 的三等分线可得'10AOD ︒∠=或'20AOD ︒∠=，旋转角为'DOD ∠，求出其度数取最小值即可.
【详解】
解：因为90AOB ︒∠=，OC 、OD 是∠AOB 的两条三分线，所以30AOD ︒∠=
因为OA 恰好是∠COD 的三等分线，所以'10AOD ︒∠=或'20AOD ︒∠=，
当'10AOC ︒∠=时，''301040DOD AOD AOD ︒︒︒∠=∠+∠=+=
当'20AOD ︒∠=时，''302050DOD AOD AOD ︒︒︒∠=∠+∠=+=，
综上所述将∠COD 顺时针最少旋转40︒.
故答案为：40︒
【点睛】
本题考查了角的平分线，熟练掌握角平分线的相关运算是解题的关键.
21．5
【解析】
【分析】
【详解】
根据题意可得：小立方块搭成的几何体如下图所示，所以这个几何体是由5个小立方块搭成的 ．
考点：几何体的三视图．
解析：5
【解析】
【分析】
【详解】
根据题意可得：小立方块搭成的几何体如下图所示，所以这个几何体是由5个小立方块搭成的 ．
考点：几何体的三视图．
22．25
【解析】
【分析】
根据补角的概念，两个角加起来等于180°，就是互为补角，即可求解.
【详解】
的补角为
故答案为103；25.
【点睛】
此题主要考查补角的求解，熟练掌握，即可解题
解析：25
【解析】
【分析】
根据补角的概念，两个角加起来等于180°，就是互为补角，即可求解.
【详解】
a ∠的补角为180762313550'='︒-︒︒
故答案为103；25.
【点睛】
此题主要考查补角的求解，熟练掌握，即可解题.
23．【解析】
【分析】
首先根据题意分别列出四个数的关系，然后即可求得其和.
【详解】
由题意，得
故答案为.
【点睛】
此题主要考查整式的加减，解题关键理解题意找出这四个数的关系式.
解析：416x +
【解析】
【分析】
首先根据题意分别列出四个数的关系，然后即可求得其和.
【详解】
由题意，得
()()()1771416x x x x x +++++++=+
故答案为416x +.
【点睛】
此题主要考查整式的加减，解题关键理解题意找出这四个数的关系式.
24．-17
【解析】
【分析】
根据题中的新定义将所求式子化为算式-2-3+2×（-2）×
3，计算即可得到结果． 【详解】
∵a ※b ＝a ﹣b+2ab ，
∴（﹣2）※3
＝﹣2﹣3+2×（﹣2）×
3 ＝﹣
解析：-17
【解析】
【分析】
根据题中的新定义将所求式子化为算式-2-3+2×（-2）×
3，计算即可得到结果． 【详解】
∵a ※b ＝a ﹣b+2ab ，
∴（﹣2）※3
＝﹣2﹣3+2×（﹣2）×3
＝﹣2﹣3﹣12
＝﹣17．
故答案为：﹣17．
【点睛】
此题考查了有理数的混合运算，属于新定义题型，弄清题中的新定义是解本题的关键．
三、压轴题
25．（1）见详解；（2）2x --，53x +，47x +；（3）当运动时间为5秒或9秒时，PQ=2cm.
【解析】
【分析】
（1）根据数轴的特点，所以可以求出点P ，Q 的位置；
（2）根据向左移动用减法，向右移动用加法，即可得到答案；
（3）根据题意，可分为两种情况进行分析：①点P 在点Q 的左边时；②点P 在点Q 的右边时；分别进行列式计算，即可得到答案.
【详解】
解：（1）如图所示：
.
（2）由（1）可知，点P 为2-，点Q 为5；
∴移动后的点P 为：2x --；移动后的点Q 为：53x +；
∴线段PQ 的长为：53(2)47x x x +---=+；
（3）根据题意可知，
当PQ=2cm 时可分为两种情况：
①当点P 在点Q 的左边时，有
(21)72t -=-，
解得：5t =；
②点P 在点Q 的右边时，有
(21)72t -=+，
解得：9t =；
综上所述，当运动时间为5秒或9秒时，PQ=2cm.
【点睛】
本题要是把方程和数轴结合起来，既要根据条件列出方程，又要把握数轴的特点．解题的关键是熟练掌握数轴上的动点运动问题，注意分类讨论进行解题.
26．（1）n= 8；（2）-2.5或2.5；（3）n=4或n=12．
【解析】
【分析】
（1）根据“n 节点”的概念解答；
（2）设点D 表示的数为x ，根据“5节点”的定义列出方程分情况，并解答；
（3）需要分类讨论：①当点E 在BA 延长线上时，②当点E 在线段AB 上时，③当点E 在AB 延长线上时，根据BE=
12
AE ，先求点E 表示的数，再根据AC+BC=n ，列方程可得结论． 【详解】
（1）∵A 表示的数为-2，B 表示的数为2，点C 在数轴上表示的数为-4，
∴AC=2，BC=6，
∴n=AC+BC=2+6=8．
（2）如图所示：
∵点D 是数轴上点A 、B 的“5节点”，
∴AC+BC=5，
∵AB=4，
∴C在点A的左侧或在点A的右侧，设点D表示的数为x，则AC+BC=5，∴-2-x+2-x=5或x-2+x-（-2）=5，
x=-2.5或2.5，
∴点D表示的数为2.5或-2.5；
故答案为-2.5或2.5；
（3）分三种情况：
①当点E在BA延长线上时，
∵不能满足BE=1
2 AE，
∴该情况不符合题意，舍去；
②当点E在线段AB上时，可以满足BE=1
2
AE，如下图，
n=AE+BE=AB=4；
③当点E在AB延长线上时，
∵BE=1
2 AE，
∴BE=AB=4，
∴点E表示的数为6，
∴n=AE+BE=8+4=12，
综上所述：n=4或n=12．
【点睛】
本题考查数轴，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握“n节点”的概念和运算法则，找出题中的等量关系，列出方程并解答，难度一般．
27．（1）详见解析；（2）35；（3）﹣5、15、112
3
、﹣7
6
7
．
【解析】
【分析】
（1）根据尺规作图的方法按要求做出即可；
（2）根据中点的定义及线段长度的计算求出；
（3）认真分析甲、乙物体运行的轨迹来判断它们相遇的可能性，分情况建立一元一次方程来计算相遇的时间，然后计算出位置．
【详解】
解：（1）如图所示；
（2）根据（1）所作图的条件，如果以点A为原点，若点B对应的数恰好为10，则有点C对应的数为30，点D对应的数为﹣30，MN＝|20﹣（﹣15）|＝35
（3）设乙从M点第一次回到点N时所用时间为t，则
t＝2235
22
MN⨯
=＝35（秒）
那么甲在总的时间t内所运动的长度为
s＝5t＝5×35＝175
可见，在乙运动的时间内，甲在C，D之间运动的情况为
175÷60＝2……55，也就是说甲在C，D之间运动一个来回还多出55长度单位．①设甲乙第一次相遇时的时间为t1，有
5t1＝2t1+15，t1＝5（秒）
而﹣30+5×5＝﹣5，﹣15+2×5＝﹣5
这时甲和乙所对应的有理数为﹣5．
②设甲乙第二次相遇时的时间经过的时间t2，有
5t2+2t2＝25+30+5+10，t2＝10（秒）
此时甲的位置：﹣15×5+60+30＝15，乙的位置15×2﹣15＝15
这时甲和乙所对应的有理数为15．
③设甲乙第三次相遇时的时间经过的时间t3，有
5t3﹣2t3＝20，t3＝20
3
（秒）
此时甲的位置：30﹣（5×20
3
﹣15）＝11
2
3
，乙的位置：20﹣（2×
20
3
﹣5）＝11
2
3
这时甲和乙所对应的有理数为112 3
④从时间和甲运行的轨迹来看，他们可能第四次相遇．设第四次相遇时经过的时间为t4，有
5t4﹣112
3
﹣30﹣15+2t4＝11
2
3
，t4＝9
16
21
（秒）
此时甲的位置：5×916
21
﹣45﹣11
2
3
＝﹣7
6
7
，乙的位置：11
2
3
﹣2×9
16
21
＝﹣7
6
7
这时甲和乙所对应的有理数为﹣76
7
．
四次相遇所用时间为：5+10+20
3
+9
16
21
＝31
3
7
（秒），剩余运行时间为：35﹣31
3
7
＝3
4
7
（秒）
当时间为35秒时，乙回到N点停止，甲在剩余的时间运行距离为5×34
7
＝
525
7
⨯
＝
176
7． 位置在﹣7
67+1767＝10，无法再和乙相遇，故所有相遇点对应的有理数为﹣5、15、1123、﹣767
．
【点睛】
本题考查数轴作图及线段长度计算的基础知识，重要的是两个点在数轴上做复杂运动时的运动轨迹和相遇的位置，具有比较大的难度．正确分析出可能相遇的情况并建立一元一次方程是解题的关键．
28．(1)230元;(2) 790元或者810元;(3) 400，55%.
【解析】
【分析】
()1可对照表格计算，500元的商品打折后为250元，再享受20元抵扣金额，即可得出实际付款；
()2实际付款375元时，应考虑到20037520400≤+<与40037530600≤+<这两种情况的存在，所以分这两种情况讨论；
()3根据优惠率的定义表示出四个范围的数据，进行比较即可得结果．
【详解】
解：()1由题意可得：顾客的实际付款()500500150%20230⎡⎤=-⨯-+=⎣⎦ 故购买一件标价为500元的商品，顾客的实际付款是230元．
()2设商品标价为x 元．
20037520400≤+<与40037530600≤+<两种情况都成立，于是分类讨论
①抵扣金额为20元时，1x 203752
-=，则x 790= ②抵扣金额为30元时，1x 303752
-=，则x 810= 故当实际付款375元，那么它的标价为790元或者810元． ()3设商品标价为x 元，抵扣金额为b 元，则
优惠率1x b 1b 2100%x 2x
+=⨯=+ 为了得到最高优惠率，则在每一范围内x 均取最小值，可以得到
2030405040080012001600
>>>
∴当商品标价为400元时，享受到最高的优惠率1155%220
=
+= 故答案为400，55%
【点睛】 本题考查的是日常生活中的打折销售问题，运用一元一次方程解决问题时要抓住未知量，明确等量关系列出方程是关键．
29．（1）④；（2）①15α=︒；②当105α=，125α=时，存在2BOC AOD ∠=∠.
【解析】
【分析】
（1）根据一副三角板中的特殊角，运用角的和与差的计算，只要是15°的倍数的角都可以画出来；
（2）①根据已知条件得到∠EOD=180°-∠COD=180°-60°=120°，根据角平分线的定义得到∠EOB=12∠EOD=12
×120°=60°，于是得到结论； ②当OA 在OD 的左侧时，当OA 在OD 的右侧时，根据角的和差列方程即可得到结论．
【详解】
解：（1）∵135°=90°+45°，120°=90°+30°，75°=30°+45°，
∴只有25°不能写成90°、60°、45°、30°的和或差，故画不出；
故选④；
（2）①因为COD 60∠=，
所以EOD 180COD 18060120∠∠=-=-=.
因为OB 平分EOD ∠， 所以11EOB EOD 1206022
∠∠==⨯=. 因为AOB 45∠=，
所以αEOB AOB 604515∠∠=-=-=.
②当OA 在OD 左侧时，则AOD 120α∠=-，BOC 135α∠=-.
因为BOC 2AOD ∠∠=，
所以()135α2120α-=-.
解得α105=.
当OA 在OD 右侧时，则AOD α120∠=-，BOC 135α∠=-.
因为BOC 2AOD ∠∠=，
所以()135α2α120
-=-. 解得α125=.
综合知，当α105=，α125=时，存在BOC 2AOD ∠∠=.
【点睛】
本题考查角的计算，角平分线的定义，正确的理解题意并分类讨论是解题关键．。