2019-2020学年九年级数学上学期第二次月考试题(含解析) 新人教版(II)

2019-2020学年九年级数学上学期第二次月考试题（含解析) 新人教
版(II)
一．选择题（每小题3分，共8个小题，共24分）
1．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A．B． C．D．
2．抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是( ) A．y=3（x﹣1）2﹣2 B．y=3（x+1）2﹣2 C．y=3（x+1）2+2 D．y=3（x﹣1）2+2
3．已知x=1是一元二次方程（m+1）x2﹣m2x﹣2m﹣1=0的一个实数根，则m的值为( ) A．﹣1 B．0 C．1 D．0或﹣1
4．下列四个方程中，两个实数根的和等于2的方程是( )
A．x2+2x﹣1=0 B．2x2﹣x﹣1=0 C．x2+x﹣2=0 D．x2﹣2x﹣1=0
5．当ab＜0时，y=ax2与y=ax+b的图象大致是( )
A．B．C．D．
6．如图，平面直角坐标系内Rt△OPQ的顶点P的坐标为（3，2），将△OPQ绕O点逆时针旋转90°后，顶点P的坐标为( )
A．（﹣2，3）B．（2，﹣3）C．（3，2）D．（﹣3，2）
7．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是( )
A．x＜﹣1 B．x＞3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣1或x＞3
8．如图，从某建筑物10m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所
在平面与墙面垂直）．如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面m，则水流落地点B离墙的距离OB是( )
A．2m B．3m C．4m D．5m
二．填空题（每小题3分，共8个小题，共24分）
9．已知点A（2，y1）与点B（3，y2）在y=﹣x2的图象上，则y1__________y2（填“＞”“＜”或“=”）．
10．若y=（m+1）是二次函数，则m的值为__________．
11．若一元二次方程ax2﹣bx﹣2015=0有一根为x=﹣1，则a+b=__________．
12．已知二次函数y=﹣x2+ax﹣4的图象的最高点在x轴上，则该点的坐标是__________．
13．写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=0，且与y轴的交点坐标为（0，1）的抛物线的解析式为__________．
14．如图，在△ABC中，∠B=42°，将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE处，使点B落在BC 的延长线上的D点处，则∠BDE的度数是__________．
15．如图，某小区在宽20m，长32m的矩形地面上修筑同样宽的人行道（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．设道路宽是x，则列方程为__________．
16．小李画了一个二次函数y=2x2+ax+b的图象如图所示，则关于x的方程2x2+ax+b=0的解是__________．
三．解答题（共8个小题，共72分）
17．已知|2﹣m|+（n+3）2=0，点P1、P2分别是点P（m，n）关于y轴和原点的对称点，求点P1、P2的坐标．
18．先把二次函数y=x2﹣2x+3化为y=（x﹣h）2+k的形式，再解答下列问题：
（1）直接写出相应抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）求出它的图象与坐标轴的交点坐标．
19．如图，在平面直角坐标系中，已知点B（4，2），BA⊥x轴于A．
（1）画出将△OAB绕原点逆时针旋转90°后所得的△OA1B1，并写出点A1、B1的坐标；（2）画出△OAB关于原点O的中心对称图形，并写出点A、B对称点的坐标．
20．已知抛物线的解析式为y=x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m
（1）试判断：抛物线与x轴的交点情况，并说明理由；
（2）若此抛物线与直线y=x﹣3m+3的一个交点在y轴上，求m的值．
21．如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是正方形ABCD的边CB的延长线上一点，连接AF，且△ADE绕点A沿顺时针方向旋转一定角度能与△ABF重合．
（1）请你连结EF，判定△AEF的形状，并说明理由；
（2）若正方形ABCD的周长为24，DE：CD=1：3，求点B到AF的距离．
22．2015年10月4日14时10分，今年第22号台风“彩虹”在广东湛江坡头区沿海登陆，致广东直接经济损失约232亿元人民币，“一方有难，八方支援”，赈灾捐款活动如火如荼，局部统计，赈灾中心第一天收到个人捐款10000元，第三天收到个人捐款12100元．
（1）如果第二天、第三天收到个人捐款的增长率相同，求捐款增长率；
（2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少个人捐款？
23．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B 以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q 两点同时出发，分别到达B，C两点后就停止移动．
（1）设运动开始后第ts时，四边形APQC的面积是Scm2，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；
（2）t为何值时，S最小？最小值是多少？
24．如图1，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；
（2）若M是抛物线的对称轴与直线BC的交点，N是抛物线的顶点，求MN的长；
（3）设点P是（1）中的抛物线上的一个动点，是否存在满足S△PAB=8的点P？若存在请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
2015-2016学年云南省曲靖市麒麟区经开一中九年级（上）第二次月考数学试卷
一．选择题（每小题3分，共8个小题，共24分）
1．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A．B． C．D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形．故本选项正确；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．
故选B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是( ) A．y=3（x﹣1）2﹣2 B．y=3（x+1）2﹣2 C．y=3（x+1）2+2 D．y=3（x﹣1）2+2
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】根据图象向下平移减，向右平移减，可得答案．
【解答】解：抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是y=3（x﹣1）2﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
3．已知x=1是一元二次方程（m+1）x2﹣m2x﹣2m﹣1=0的一个实数根，则m的值为( ) A．﹣1 B．0 C．1 D．0或﹣1
【考点】一元二次方程的解；一元二次方程的定义．
【分析】把x=1代入已知方程，列出关于m的一元一次方程，通过解该一元一次方程来求m 的值．注意m+1≠0．
【解答】解：把x=1代入原方程得：m+1﹣m2﹣2m﹣1=0，
解得m=0或﹣1，
又∵m+1≠0，
∴m≠﹣1，
∴m=0．
故选B．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．也考查了一元二次方程的定义．
4．下列四个方程中，两个实数根的和等于2的方程是( )
A．x2+2x﹣1=0 B．2x2﹣x﹣1=0 C．x2+x﹣2=0 D．x2﹣2x﹣1=0
【考点】根与系数的关系．
【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，且a、b、c是常数）根与系数的关系，若方
程有两个实数根，则两根之和=﹣，两根之积=，再选择两根之和等于2的方程即可．【解答】解：A、x2+2x﹣1=0，两个实数根的和等于﹣2，此选项错误；
B、2x2﹣x﹣1=0，两根之和等于，此选项错误；
C、x2+x﹣2=0，两根之和等于﹣1，此选项错误；
D、x2﹣2x﹣1=0，两根之和等于2，此选项正确．
故选：D．
【点评】本题重点考查了一元二次方程根与系数的关系．在应用这个关系时要注意前提条件，一元二次方程的两个实根必须存在，即△≥0．
5．当ab＜0时，y=ax2与y=ax+b的图象大致是( )
A．B．C．D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．
【分析】根据题意，ab＜0，分a＞0与a＜0两种情况讨论，分析选项可得答案．
【解答】解：根据题意，ab＜0，
当a＞0时，b＜0，y=ax2与开口向上，过原点，y=ax+b过一、三、四象限；
此时，A选项符合，
当a＜0时，b＞0，y=ax2与开口向下，过原点，y=ax+b过一、二、四象限；
此时，没有选项符合．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数与一次函数的图象的性质，要求学生理解系数与图象的关系．
6．如图，平面直角坐标系内Rt△OPQ的顶点P的坐标为（3，2），将△OPQ绕O点逆时针旋转90°后，顶点P的坐标为( )
A．（﹣2，3）B．（2，﹣3）C．（3，2）D．（﹣3，2）
【考点】坐标与图形变化-旋转．
【分析】根据旋转的性质，可得OP1=OP，∠POQ+∠P1OC=90°，根据余角的性质，可得∠P1OC=∠P，根据全等三角形的判定与性质，可得答案．
【解答】解：作P1C⊥x轴，如图：
，
△OPQ绕O点逆时针旋转90°后，得OP1=OP，∠POQ+∠P1OC=90°．
∵∠P+∠POQ=90°，
∴∠P1OC=∠P，
在△P1OC和△OPQ中，
，
△P1OC≌△OPQ（AAS），
OC=PQ=2，P1C=OQ=3，
P1（﹣2，3）．
故选：A．
【点评】本题考查了坐标与图形变化，利用了旋转的性质，余角的性质，利用全等三角形的判定与性质得出OC=PQ=2，P1C=OQ=3是解题关键．
7．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是( )
A．x＜﹣1 B．x＞3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣1或x＞3
【考点】二次函数的图象．
【专题】压轴题；数形结合．
【分析】根据y＜0，则函数图象在x轴的下方，所以找出函数图象在x轴下方的x的取值范围即可．
【解答】解：由图象可知，当﹣1＜x＜3时，函数图象在x轴的下方，y＜0．
故选C．
【点评】本题是对二次函数图象的考查，主要利用了数形结合的思想，准确识图是解题的关键．
8．如图，从某建筑物10m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所
在平面与墙面垂直）．如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面m，则水流落地点B离墙的距离OB是( )
A．2m B．3m C．4m D．5m
【考点】二次函数的应用．
【分析】由题意可以知道M（1，），A（0，10）用待定系数法就可以求出抛物线的解析式，当y=0时就可以求出x的值，这样就可以求出OB的值．
【解答】解：设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2+，由题意，得
10=a+，
a=﹣．
∴抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣1）2+．
当y=0时，
0=﹣（x﹣1）2+，
解得：x1=﹣1（舍去），x2=3．
OB=3m．
故选：B．
【点评】此题考查了利用待定系数法求函数的解析式的运用，运用抛物线的解析式解决实际问题．解答本题是时设抛物线的顶点式求解析式是关键．
二．填空题（每小题3分，共8个小题，共24分）
9．已知点A（2，y1）与点B（3，y2）在y=﹣x2的图象上，则y1＞y2（填“＞”“＜”或“=”）．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据k＜0，一次函数的函数值y随x的增大而减小解答．
【解答】解：∵k=﹣1＜0，
∴函数值y随x的增大而减小，
∵2＜3，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
【点评】本题考查了一次函数的增减性，在直线y=kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
10．若y=（m+1）是二次函数，则m的值为﹣4．
【考点】二次函数的定义．
【分析】根据二次函数定义可得m2﹣3m﹣2=2，且m+1≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：m2﹣3m﹣2=2，且m+1≠0，
解得：m=﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
11．若一元二次方程ax2﹣bx﹣2015=0有一根为x=﹣1，则a+b=2015．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】由方程有一根为﹣1，将x=﹣1代入方程，整理后即可得到a+b的值．
【解答】解：把x=﹣1代入一元二次方程ax2﹣bx﹣2015=0得：a+b﹣2015=0，
即a+b=2015．
故答案是：2015．
【点评】此题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，关键是把方程的解代入方程．
12．已知二次函数y=﹣x2+ax﹣4的图象的最高点在x轴上，则该点的坐标是（2，0）或（﹣2，0）．
【考点】二次函数的最值．
【分析】根据题意得到该抛物线的顶点坐标在x轴上，则由此求得a的值，结合函数解析式可以得到该点的坐标．
【解答】解：∵二次函数y=﹣x2+ax﹣4的图象最高点在x轴上，
∴二次函数图象与x轴只有一个交点，
令y=0可得﹣x2+ax﹣4=0，则该一元二次方程有两个相等的实数根，
∴△=0，即a2﹣16=0，
解得a=±4，
∴二次函数关系式为y=﹣x2+4x﹣4=﹣（x﹣2）2或y=﹣x2﹣4x﹣4=﹣（x+2）2，
∴该点的坐标是（2，0）或（﹣2，0）．
故答案是：（2，0）或（﹣2，0）．
【点评】本题主要考查二次函数的最值，掌握二次函数的顶点在x轴上则二次函数与x轴的交点只有一个是解题的关键．
13．写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=0，且与y轴的交点坐标为（0，1）的抛物线的解析式为y=x2+1．
【考点】二次函数的性质．
【专题】开放型．
【分析】根据开口方向向上，对称轴为直线x=0，且与y轴的交点坐标为（0，1）得a＞0，b=0，c=1，即可得出抛物线的解析式．
【解答】解：∵抛物线开口方向向上，对称轴为直线x=0，且与y轴的交点坐标为（0，1），∴抛物线的解析式为y=x2+1．
故答案为y=x2+1．
【点评】本题考查了二次函数的性质，根据开口方向，对称轴以及与y轴的交点坐标，确定a，b，c的值是解题的关键．
14．如图，在△ABC中，∠B=42°，将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE处，使点B落在BC 的延长线上的D点处，则∠BDE的度数是84°．
【考点】旋转的性质．
【专题】计算题．
【分析】根据旋转的性质得AB=AD，∠B=∠ADE=42°，再利用等腰三角形的性质得∠ADB=∠B=42°，然后计算∠ADB+∠ADE即可．
【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE处，使点B落在BC的延长线上的D点处，∴AB=AD，∠B=∠ADE=42°，
∵AB=AD，
∴∠ADB=∠B=42°，
∴∠BDE=∠ADB+∠ADE=42°+42°=84°．
故答案为84°．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
15．如图，某小区在宽20m，长32m的矩形地面上修筑同样宽的人行道（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．设道路宽是x，则列方程为（32﹣x）=540．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】几何图形问题．
【分析】本题中我们可以根据矩形的性质，先将道路进行平移，然后根据矩形的面积公式列方程即可．
【解答】解：原图经过平移转化为图1．
设道路宽为x米，
根据题意，得（32﹣x）=540．
故答案为：（32﹣x）=540
【点评】考查了由实际问题抽象出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．本题中按原图进行计算比较复杂时，可根据图形的性质适当的进行转换化简，然后根据题意列出方程．
16．小李画了一个二次函数y=2x2+ax+b的图象如图所示，则关于x的方程2x2+ax+b=0的解是x=﹣1或x=4．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】根据方程2x2+ax+b=0的解是抛物线y=2x2+ax+b与x轴交点的横坐标，直接写出答案即可．
【解答】解：如图，∵函数y=2x2+ax+b的图象与x轴交点坐标分别是（﹣1，0），（4，0），∴关于x的方程2x2+ax+b=0的解是x=﹣1或x=4．
故答案为：x=﹣1或x=4．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．熟记二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标的横坐标就是ax2+bx+c=0的解是解决此题的关键．
三．解答题（共8个小题，共72分）
17．已知|2﹣m|+（n+3）2=0，点P1、P2分别是点P（m，n）关于y轴和原点的对称点，求点P1、P2的坐标．
【考点】关于原点对称的点的坐标；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，根据关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，可得P1点坐标，根据关于原点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．
【解答】解：由|2﹣m|+（n+3）2=0，得
m=2，n=﹣3．
P（2，﹣3），
点P1（﹣2，3）点P（m，n）关于y轴的对称点，
点P2（﹣2，3）是点P（m，n）关于原点的对称点．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互
为相反数，关于原点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．
18．先把二次函数y=x2﹣2x+3化为y=（x﹣h）2+k的形式，再解答下列问题：
（1）直接写出相应抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）求出它的图象与坐标轴的交点坐标．
【考点】二次函数的三种形式．
【分析】（1）运用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答；
（2）根据坐标轴上点的坐标特征，解方程即可．
【解答】解：（1）y=x2﹣2x+3
=（x﹣1）2+2，
抛物线的对称轴是x=1，顶点坐标（1，2）；
（2）x=0时，y=3，
则抛物线与y轴的交点（0，3），
x2﹣2x+3=0，
△=4﹣12＜0，
则抛物线与x轴没有交点．
【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，正确运用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键，注意二次函数的性质的应用．
19．如图，在平面直角坐标系中，已知点B（4，2），BA⊥x轴于A．
（1）画出将△OAB绕原点逆时针旋转90°后所得的△OA1B1，并写出点A1、B1的坐标；（2）画出△OAB关于原点O的中心对称图形，并写出点A、B对称点的坐标．
【考点】作图-旋转变换．
【分析】（1）根据旋转中心为原点O，旋转方向逆时针，旋转角度90°得到点A、B的对应点A1，B1，连接得到△OA1B1即可；根据点A1、B1所在象限及距离坐标轴的距离可得相应坐标．（2）根据关于原点对称的点的坐标特点画出图形，并直接写出答案．
【解答】解：（1）如图所示：
A1（0，4），B1（﹣2，4）；
（2）如图所示：
△OAB关于原点O的中心对称图形，点A、B对称点的坐标分别为：A′（﹣4，0），B′（﹣4，﹣2）．
【点评】此题主要考查了旋转变换作图；用到的知识点为：图形的旋转变换，看关键点的旋转变换即可．
20．已知抛物线的解析式为y=x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m
（1）试判断：抛物线与x轴的交点情况，并说明理由；
（2）若此抛物线与直线y=x﹣3m+3的一个交点在y轴上，求m的值．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【专题】计算题．
【分析】（1）先计算判别式的值，然后根据△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点进行判断；
（2）先求出直线y=x﹣3m+3与y轴的交点坐标为（0，﹣3m+3），再把此点代入抛物线解析式得到m2﹣m=﹣3m+3，然后解关于m的一元二次方程即可．
【解答】解：（1）抛物线与x轴有2个交点．理由如下：
△=（2m﹣1）2﹣4（m2﹣m）=1＞0，
所以抛物线与x轴有2个交点；
（2）当x=0时，y=x﹣3m+3=﹣3m+3，则直线y=x﹣3m+3与y轴的交点坐标为（0，﹣3m+3），根据题意点（0，﹣3m+3）在抛物线上，
所以m2﹣m=﹣3m+3，
整理得m2+2m﹣3=0，
解得m1=﹣3，m2=1，
所以m的值为﹣3或1．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的问题；△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
21．如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是正方形ABCD的边CB的延长线上一点，连接AF，且△ADE绕点A沿顺时针方向旋转一定角度能与△ABF重合．
（1）请你连结EF，判定△AEF的形状，并说明理由；
（2）若正方形ABCD的周长为24，DE：CD=1：3，求点B到AF的距离．
【考点】旋转的性质；正方形的性质．
【专题】计算题．
【分析】（1）根据正方形的性质得AB=AD，∠BAD=90°再根据旋转的性质得AE=AF，∠EAF=∠BAD=90°，于是可判断△AEF为等腰直角三角形；
（2）作BH⊥AF于H，如图，先计算出AB=AD=CD=6，DE=CD=2，再利用勾股定理计算出AE=2，根据旋转的性质得BF=DE=2，AF=AE=2，然后利用面积法计算出BH即可．
【解答】解：（1）△AEF为等腰直角三角形．理由如下：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵△ADE绕点A沿顺时针方向旋转一定角度能与△ABF重合，
∴AE=AF，∠EAF=∠BAD=90°，
∴△AEF为等腰直角三角形；
（2）作BH⊥AF于H，如图，
∵正方形ABCD的周长为24，
∴AB=AD=CD=6，
∵DE：CD=1：3，
∴DE=CD=2，
∴AE==2，
∵△ADE绕点A沿顺时针方向旋转90°得到△ABF，
∴BF=DE=2，AF=AE=2，
∴BH==，
即点B到AF的距离为．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质和等腰直角三角形的判定．
22．2015年10月4日14时10分，今年第22号台风“彩虹”在广东湛江坡头区沿海登陆，致广东直接经济损失约232亿元人民币，“一方有难，八方支援”，赈灾捐款活动如火如荼，局部统计，赈灾中心第一天收到个人捐款10000元，第三天收到个人捐款12100元．
（1）如果第二天、第三天收到个人捐款的增长率相同，求捐款增长率；
（2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少个人捐款？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】增长率问题．
【分析】（1）设捐款的增长率为x，则第三天的捐款数量为10000（1+x）2元，根据第三天的捐款数量为12100元建立方程求出其解即可．
（2）根据（1）求出的增长率列式计算即可．
【解答】解：（1）设捐款增长率为x，根据题意得：
10000（1+x）2=12100，
解得：x1=0.1，x2=﹣2.1（舍去）．
则x=0.1=10%．
答：捐款的增长率为10%．
（2）根据题意得：12100×（1+10%）=13310（元）．
答：第四天该单位能收到13310元个人捐款．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系，列出方程，注意把不合题意的解舍去．
23．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B 以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q 两点同时出发，分别到达B，C两点后就停止移动．
（1）设运动开始后第ts时，四边形APQC的面积是Scm2，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；
（2）t为何值时，S最小？最小值是多少？
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）根据t秒时，P、Q两点的运动路程，分别表示PB、BQ的长度，可得△BPQ的面积，用S=S△ABC﹣S△PBQ求面积即可；
（2）将（1）中所求函数式配方，可得函数的最小值．
【解答】解：（1）∵AB=6cm，BC=12cm，∠B=90°，
∴BP=6﹣t，BQ=2t，
∴S四边形APQC=S△ABC﹣S△PBQ=﹣，
即：S=t2﹣6t+36；
（2）∵S=t2﹣6t+36；
∴S=（t﹣3）2+27，
∴当t=3时，S最小，最小值是27．
【点评】本题考查了二次函数的最值在解决面积问题中的运用．关键是根据所设字母，表示相关线段的长度，再计算面积，把所得的代数式看作二次函数求最值．
24．如图1，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；
（2）若M是抛物线的对称轴与直线BC的交点，N是抛物线的顶点，求MN的长；
（3）设点P是（1）中的抛物线上的一个动点，是否存在满足S△PAB=8的点P？若存在请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）把点A、B的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数b、c的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；
（2）结合抛物线的解析式得到点C、N的坐标，利用B、C的坐标可以求得直线BC的解析式，由一次函数图象上点的坐标特征和点的坐标与图形的性质进行解答即可；
（3）根据P点在抛物线上设出P点，然后再由S△PAB=8，从而求出P点坐标．
【解答】解：（1）如图1，∵抛物线y=x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0），B（3，0），
∴，
解之得，
∴所求抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣3；
（2）由（1）知，该抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣3，则C（0，﹣3）．
又∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴N（1，﹣4）．
设直线BC的解析式为y=kx﹣3（k≠0）．
把B（3，0）代入，得
0=3k﹣3，
解得k=1，则该直线解析式为：y=x﹣3．
故当x=1时，y=﹣2，即M（1，﹣2），
∴MN=|﹣3|﹣|﹣2|=1．即MN=1；
（3）设点P的坐标为（x，y），由题意，得
S△PAB=×4×|y|=8，
∴|y|=4，
∴y=±4．
当y=4时，x2﹣2x﹣3=4，
∴x1=1+2，x2=1﹣2，
当y=﹣4时，x2﹣2x﹣3=﹣4，
∴x=1，
∴当P点的坐标分别为（1+2，4）、（1﹣2，4）、（1，﹣4）时，S△PAB=8．
【点评】本题考查了二次函数综合题．
第（1）题考查用待定系数法求二次函数的解析式，比较简单；
第（2）题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，抛物线解析式的三种形式间的转化；
第（2）题主要考查函数的性质及函数图象点的坐标，把三角形面积公式同函数联系起来，是一种比较常见的题型．。