人教版七年级数学上册 有理数章末练习卷(Word版 含解析)

一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）
1．点在数轴上分别表示有理数，两点间的距离表示为 .且 .
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是________，
数轴上表示−2和−5的两点之间的距离是________，
数轴上表示1和−3的两点之间的距离是________；
（2）数轴上表示x和−1的两点A和B之间的距离是________，如果|AB|=2，那么x=________；
（3）当代数式|x+1|+|x−2|取最小值时，相应x的取值范围是________.
【答案】（1）3；3；4
（2）1；-3
（3）−1⩽x⩽2
【解析】【解答】解：(1)、|2−5|=|−3|=3；
|−2−(−5)|=|−2+5|=3；
|1−(−3)|=|4|=4；
( 2 )、|x−(−1)|=|x+1|，由|x+1|=2，得x+1=2或x+1=−2，
所以x=1或x=−3；
( 3 )、数形结合，若|x+1|+|x−2|取最小值，那么表示x的点在−1和2之间的线段上，
所以−1⩽x⩽2.
【分析】（1）根据数轴上任意两点间的距离等于这两点所表示的数的差的绝对值即可算出答案；
（2）根据数轴上任意两点间的距离等于这两点所表示的数的差的绝对值得出AB=,又 |AB|=2 ，从而列出方程，求解即可；
（3）|x+1|+|x−2| 表示数x的点到-1的点距离与表示x的点到2的点距离和，根据两点之间线段最短得出当表示x的点在-1与2之间的时候，代数式|x+1|+|x−2|有最小值，从而得出x的取值范围.
2．如图，为原点，数轴上两点所对应的数分别为，且满足关于的整式与之和是是单项式，动点以每秒个单位长度的速度从点向终点运动.
（1）求的值.
（2）当时，求点的运动时间的值.
（3）当点开始运动时，点也同时以每秒个单位长度的速度从点向终点运动，若
，求的长.
【答案】（1）解：因为m、n满足关于x、y的整式-x41+m y n+60与2xy3n之和是单项式
所以
所以m=-40，n=30.
（2）解：因为A、B所对应的数分别为-40和30，
所以AB=70,AO=40,BO=30，
当点P在O的左侧时：
则PA+PO=AO=40，
因为PB-（PA+PO）=10, PB=AB-AP=70-4t
所以70-4t-40=10
所以t=5.
当点P在O的右侧时:
因为PB<PA
所以PB-（PA+PO）<0,不合题意，舍去
（3）解：①如图1,当点P在点Q左侧时，
因为AP=4t,BQ=2t,AB=70
所以PQ=AB-（AP+BQ）=70-6t
又因为PQ= AB=35
所以70-6t=35
所以t= ,AP= = ,
②如图2，当点P在点Q右侧时，
因为AP=4t，BQ=2t，AB=70，
所以PQ=（AP+BQ）-AB=6t-70，
又因为PQ= AB=35
所以6t-70=35
所以t=
所以AP= =70.
【解析】【分析】（1）根据单项式的次数相同，列方程即可得到答案；（2）分情况讨论：当点P在O的左侧时：当点P在O的右侧时.即可得到答案.（3）结合题意分别计算：①如图1,当点P在点Q左侧时，如图2，当点P在点Q右侧时.
3．已知 a、b、c 在数轴上的位置如图：
（1）用“<”或“>”填空：a+1________0；c-b________0；b-1________0；
（2）化简：；
（3）若a+b+c=0，且b与-1的距离和c与-1的距离相等，求下列式子的值：2b -c - (a - 4c - b)．
【答案】（1）>；<；<
（2）解：∵a+1＞0，c-b＜0，b-1＜0，
∴原式=a+1-(b-c)-(1-b)=a+1-b+c-1+b=a+c
（3）解：由已知得：b+1=-1-c，即b+c=-2，
∵a+b+c=0，即-2+a=0，∴a=2，
则2b -c - (a - 4c - b)．
=2b -c - a + 4c + b
=3(b+c)-2=
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：c<0<b<1<a
∴a+1＞0；c-b＜0；b-1<0
【分析】（1）根据数轴上点的位置进行计算比较大小即可；（2）利用数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果（3）根据题意列出关系式，求出a与b+c的值，原式去括号合并得到最简结果，将a与b+c的值代入计算即可求出值．
4．观察下面的式子：
, , ,
（1）你发现规律了吗？下一个式子应该是________；
（2）利用你发现的规律,计算：
【答案】（1）
（2）解：
=
=
=
= .
【解析】【解答】（1）根据规律，下一个式子是：
【分析】（1）规律：两个自然数（0除外）的乘积的倒数等于这两个自然数倒数的差，据此写出结论即可；
（2）利用规律将原式转化为加减运算，然后利用加法结合律进行计算即可.
5．已知：b是最小的正整数，且a、b满足＋＝0，请回答问题：
（1）请直接写出a、b、c的值；
（2）数轴上a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点M是A、B之间的一个动点，其对应的数为m，请化简（请写出化简过程）；
（3）在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动．若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动．同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC－AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
【答案】（1）解：∵b是最小的正整数
∴b=1
∵＋＝0
∴a = -1，c=5
故答案为：-1；1；5；
（2）解：由（1）知，a = -1，b=1，a、b在数轴上所对应的点分别为A、B，
①当m<0时，|2m|=-2m；
②当m≥0时，|2m|=2m；
（3）解：BC-AB的值不随着时间t的变化而变化，其值是2，理由如下：
∵点A以每秒一个单位的速度向左移动，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位
长度的速度向右移动，
∴BC=3t+4，AB=3t+2
∴BC-AB=3t+4-（3t+2）=2
【解析】【分析】（1）先根据b是最小的正整数，求出b，再根据＋
＝0，即可求出a、c的值；（2）先得出点A、C之间（不包括A点）的数是负数或0，得出m≤0，在化简|2m|即可；（3）先求出BC=3t+4，AB=3t+2，从而得出BC-AB=2.
6．观察下列两个等式：2﹣＝2× +1，5﹣＝5× +1，给出定义如下：我们称使等式a ﹣b＝ab+1的成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为（a，b），如：数对（2，
），（5，），都是“共生有理数对”．
（1）数对（﹣2，1），（3，）中是“共生有理数对”的是________；
（2）若（m，n）是“共生有理数对”，则（﹣n，﹣m）________“共生有理数对”（填“是”或“不是”）；
（3）请再写出一对符合条件的“共生有理数对”为________；（注意：不能与题目中已有的“共生有理数对”重复）
（4）若（a，3）是“共生有理数对”，求a的值．
【答案】（1）
（2）是
（3）（0.-1）等
（4）解：∵（a，3）是“共生有理数对”，
∴a-3=3a+1
解之：a=-2.
【解析】【解答】（1）数对（﹣2，1）
∴-2×1+1=-1，-2-1=-3
-1≠-3
∴数对（﹣2，1）不是“共生有理数对”；
数对（3，）
∴，
∴数对（3，）是“共生有理数对”；
故答案为：（3，）；
（2）∵（m，n）是“共生有理数对”
∴m-n=mn+1
∴-n-（-m）=m-n
-n（-m）+1=mn+1
∴-n-（-m）=-n（-m）+1，
∴（﹣n，﹣m）是“共生有理数对”
故答案为：是.
（3）∵0×（-1）+1=1
0-（-1）=1
∴（0，-1）是“共生有理数对”.
【分析】（1）利用“共生有理数对”的定义：若（a，b）是“共生有理数对”，可得到a-b=ab+1，通过计算可作出判断。

（2）若（a，b）是“共生有理数对”，可得到a-b=ab+1，通过计算可作出判断。

（3）利用“共生有理数对”的定义，写出符合题意的“共生有理数对”即可。

（4）根据（a，3）是“共生有理数对”，建立关于a的方程，解方程求出a的值。

7．阅读理解：
若A，B，C为数轴上的三点，且点C到点A的距离是点C到点B的距离的2倍，我们就称点C是【A，B】的好点。

例如，如图1，点A表示的数为-1，点B表示的数为2，表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的好点，又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的好点，但点D是【B，A】的好点。

知识运用：
（1）如图2，M，N为数轴上的两点，点M所表示的数为-2，点N所表示的数为4．
①在点M和点N中间，数________所表示的点是【M，N】的好点；
②在数轴上，数________和数________所表示的点都是【N，M】的好点。

（2）如图3，A，B为数轴上的两点，点A所表示的数为-20，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度向左运动，到达点A时停止，则经过几秒后，P，A和B中恰有一个点为其余两点的好点？
【答案】（1）2；0；-8
（2）解：由题意设PB=4t，AB=40+20=60，则PA=60-4t，
点P走完所用的时间为60÷4=15(秒)
分四种情况：
①当PA=2PB时，即2×4t=60-4t，t=5，P是【A，B】的好点；
②当PB=2PA时，即4t=2(60-4t)，t=10，P是【B，A】的好点；
③当AB=2PB时，即60=2×4t，t=7.5，B是【A，P】的好点；
④当AB=2AP时，即60=2(60-4t)，t=7.5，A是【B，P】的好点，
即当经过5秒或7.5秒或10秒时，点P，A和B中恰有一个点为其余两点的好点。

【解析】【解答】解：（1）①设设所求的数为x，由题意得：
x-（-2）=2（4-x）
解之：x=2；
②在数轴上，数0和数-8所表示的点都是【N，M】的好点。

故答案为：2，0，-8
【分析】（1）①设所求的数为x，再根据好点定义，列出关于x的方程，解方程求出x 的值；②根据好点的定义可以得到结论。

（2）由已知条件用含t的代数式表示出PB，AB，PA的长，再求出点P走完所用的时间，然后分情况讨论：①当PA=2PB时；②当PB=2PA时；③当AB=2PB时；④当AB=2AP 时，由此分别建立关于t的方程，解方程求出t的值即可。

8．同学们都知道，|5－(－2)|表示5与－2之差的绝对值,实际上也可理解为5与－2两数在数轴上所对的两点之间的距离.试探索：
（1）求|5－(－2)|=________.
（2）找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x-2|=7这样的整数是________.
（3）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x－3|+|x－6|是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说明理由.
【答案】（1）7
（2）-5，-4，-3，-2，-1, 0, 1, 2
（3）解：|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，最小值是3.理由如下：
当x＞6时，|x﹣3|+|x﹣6|＝x﹣3+x﹣6＝2x﹣9＞3；
当3≤x≤6时，|x﹣3|+|x﹣6|＝x﹣3+6﹣x＝3；
当x＜3时，|x﹣3|+|x﹣6|＝3﹣x+6﹣x＝9﹣2x＞3.
故|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，最小值是3
【解析】【解答】（1）|5﹣（﹣2）|＝|5+2|＝7.
故答案为：7；（2）当x＞2时，|x+5|+|x﹣2|＝x+5+x﹣2＝7，解得：x＝2与x＞2矛盾，故此种情况不存在；
当﹣5≤x≤2时，|x+5|+|x﹣2|＝x+5+2﹣x＝7，故﹣5≤x≤2时，使得|x+5|+|x﹣2|＝7，故使得|x+5|+|x﹣2|＝7的整数是﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2；
当x＜﹣5时，|x+5|+|x﹣2|＝﹣x﹣5+2﹣x＝﹣2x+3＝7，得x＝﹣5与x＜﹣5矛盾，故此种情况不存在.
故答案为：﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2；
【分析】（1）根据题目中的式子和绝对值可以解答本题；（2）利用分类讨论的数学思想可以解答本题；（3）根据题意，利用分类讨论的数学思想可以解答本题.
9．如图，数轴上点A，B分别对应数a，b.其中a＜0，b＞0.
（1）当a＝﹣2，b＝6时，求a-b=________,线段AB的中点对应的数是________；（直接填结果）
（2）若该数轴上另有一点M对应着数m.
①当a＝﹣4，b＝8,点M在A，B之间，且AM＝3BM时，求m的值.
②当m＝2，b＞2，且AM＝2BM时，求代数式a+2b+20的值.
【答案】（1）-8；2
（2）解：①∵AM＝3BM
②∵AM＝2BM
整理得
【解析】【解答】（1）
，所以线段AB的中点对应的数是2
故答案为-8,2
【分析】（1）直接利用有理数的减法即可求出的值；即为中点对应的
数；（2）①根据AM＝3BM，可得出 ,利用a,b两点可求出AB之间的距离，进而
可求AM的长度，则m的值可求.②可根据AM＝2BM之间的关系式，找到a,b之间的一个等式，然后整体代入a+2b+20中即可求值.
10．已知多项式，次数是b，3a与b互为相反数，在数轴上，点A表示数a，点B表示数b．
（1）数轴上A、B之间的距离记作，定义：设点C在数轴上
对应的数为x，当时，直接写出x的值．
（2）有一动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度按照如此规律不断地左右运动，当运动了2019次时，求点P所对应的有理数．
（3）若小蚂蚁甲从点A处以1个单位长度秒的速度向左运动，同时小蚂蚁乙从点B处以2单位长度秒的速度也向左运动，一同学观察两只小蚂蚁运动，在它们刚开始运动时，在原点O处放置一颗饭粒，乙在碰到饭粒后立即背着饭粒以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t秒，求甲、乙两只小蚂蚁到原点的距离相等时所对应的时间t．
【答案】（1）解：由多项式的次数是6可知，又3a和b互为相反数，故．
①当C在A左侧时，，
，；
②C在A和B之间时，，
点C不存在；
③点C在B点右侧时，，
，
；
故答案为或8．
（2）解：依题意得：
．
点P对应的有理数为．
（3）解：①甲、乙两小蚂蚁均向左运动，即时，此时
，，
，
解得，；
甲向左运动，乙向右运动时，即时，
此时，，
依题意得，，
解得，．
答：甲、乙两小蚂蚁到原点的距离相等时经历的时间是秒或8秒．
【解析】【分析】（1）根据题意可得，；（2）对点C的位置进行分
类讨论，并用x表示出和的长度，利用“ ”列出方程即可求出答案；（3）对乙蚂蚁运动的方向进行分类讨论，根据到原点距离相等列出方程求解即可．
11．把几个数用大括号括起来,相邻两个数之间用逗号隔开,如：{2，3}，{4，5，6}，…，我们称之为集合，其中每一个数称为该集合的元素，如果一个所有元素均为有理数的集合满足：当有理数x是集合的一个元素时，2019−x也必是这个集合的元素，这样的集合我们又称为黄金集合，例如{0，2019}就是一个黄金集合，
（1）集合{2019}________黄金集合，集合{−1，2020}________黄金集合.(填“是”或“不是”) （2）若一个黄金集合中最大的一个元素为4019，则该集合是否存在最小的元素?如果存在，请求出这个最小元素，否则说明理由；
（3）若一个黄金集合中所有元素之和为整数M，且16150<M<16155，则该黄金集合中共有多少个元素?请说明你的理由.
【答案】（1）不是；是
（2）解：一个黄金集合中最大的一个元素为4019，则该集合存在最小的元素，该集合最小的元素是−2000.
∵2019−a中a的值越大，则2019−a的值越小，
∴一个黄金集合中最大的一个元素为4019，则最小的元素为：2019−4019=−2000.
（3）解：该集合共有16个元素。

理由：∵在黄金集合中，如果一个元素为a，则另一个元素为2019−a，
∴黄金集合中的元素一定是偶数个.
∵黄金集合中的每一对对应元素的和为：a+2019−a=2019，2019×8=16152，2019×9=18171，
又∵一个黄金集合所有元素之和为整数M，且16150<M<16155，
∴这个黄金集合中的元素个数为：8×2=16(个).
【解析】【解答】解：(1)根据题意可得,2019−2019=0,而集合{2019}中没有元素0,故{2019}不是黄金集合；
∵2019−2020=−1，
∴集合{−1,2020}是黄金集合。

故答案为：不是，是
【分析】（1）根据定义有理数2019是集合的元素时，2019-2019=0也必是这个集合的元素，而0不在集合内，当2019−2020=−1时可知，-1在集合内，则问题可解；（2）根据定义，集合中较小的数为2019-4019=-2000；（3）根据题意可知黄金集合都是成对出现的，并且这对对应元素的和为2019，然后通过估算即可解答本题．
12．小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题：
“当式子|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是，最小值是”．
小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了．”
小明说：“利用数轴可以解决这个问题．”
他们把数轴分为三段：x＜﹣1，﹣1≤x≤2和x＞2，经研究发现，当﹣1≤x≤2时，式子|x+1|+|x﹣2|的最小值为3．
请你根据他们的解题解决下面的问题：
（1）当式子|x﹣2|+|x﹣4|取最小值时，相应的x的取值范围是________，最小值是________．
（2）已知y=|x+8|﹣|x－2|，求相应的x的取值范围及y的最大值．写出解答过程．
【答案】（1）；2
（2）解：当x＞2时y＝x+8﹣（x－2）=10，
当−8≤x≤2时，y＝x+8+（x－2）=2x＋6，当x=2时，y最大＝10；
当x＜−8，时y＝-x-8+（x－2）=-10，
综上所以x≥2时，y有最大值y＝10．
【解析】【解答】（1）当x＜2时，原式＝6−2x，此时6−2x＞2；当2≤x≤4时，原式＝2；当x＞4时，原式＝2x−6＞2，
∴当2≤x≤4时，|x−2|＋|x−4|取最小值时，最小值为2．
故答案为：2≤x≤4；2．
【分析】（1）根据线段上的点与线段的端点的距离最小，可得答案；（2）根据两个绝对值，可得分类的标准，根据每一段的范围，可得到答案．。