高中数学选修1-2第二学期期中质量检测.docx

第二学期期中质量检测
高二数学（文科） 命题人： 审核：
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合要求的.） 1. 在复平面内，复数i
z +=
21
对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，……这些数叫做三角形数，因为这些数目的石子可以排成一个正三角形（如下图）
3. 用反证法证明命题：)2(f ，)3(f 中至少有一
个不小于21
”时，反设正确的是
A. 假设)1(f ，)2(f ，)3(f
都不小于
2
1 B. 假设)1(f ，)2(f ，)3(f 都小于21
C. 假设)1(f ，)2(f ，)3(f 至多有两个小于21
D. 假设)1(f ，)2(f ，)3(f 至多有一个小于2
1
4. 关于综合法和分析法说法错误的是
A. B. 综合法又叫顺推证法或由因导果法 C. 分析法又叫逆推证法或执果索因法
D. 综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法
5. 执行如右图所示的程序框图，当输入6,1==n a 时，输出的结果等于 A.32 B.64 C.128 D.256
6. 设有一个线性回归方程为x y 5.23-=，则变量x 增加一个单位时 A.y 平均增加2.5个单位 B. y 平均增加3个单位 C.y 平均减少2.5个单位 D. y 平均减少3个单位
7. 下列几种推理中是演绎推理的是
A. 由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可以导电
1
3
6 10 15
B. 猜想数列
Λ,4
31
,321,211⨯⨯⨯的通项公式为)()1(1*N n n n a n ∈+=
C. 半径为r 的圆的面积2
r S π=，则单位圆的面积为π=S
D. 由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质
8. 某中学在一次春游中，开展有奖答题活动，从2道文科题和3道理科题中不放回地依次抽取2道题，在第一次抽到理科题的前提下，第二次抽到理科题的概率为 A.
21 B. 103 C. 256 D. 25
9 9. 把下列在平面内成立的结论类比地推广到空间，仍然正确的是 A. 如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交 B. 如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则必与另一条垂直 C. 如果两条直线与第三条都不相交，则这两条直线不相交 D. 如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行 10. 下列命题中正确的是
（1）已知i b a b a b a R b a )()(,,++-=∈是则为纯虚数的充要条件 （2）当z 是非零实数时，21
≥+
z
z 恒成立 （3）复数3
)1(i z -=的实部和虚部都是2- （4）设z 的共轭复数为z ，若i z
z
z z z z -==⋅=+则
,8,4 A. （1）（2） B. （1）（3） C. （2）（3） D. （2）（4） 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分. 把答案填在答题卷上）
11. 已知,0)4(3,,=-+-+∈i x y x R y x ）
若（则x y -= . 12. 数系的结构图为下图所示，其中空白方框中的内容应为 . 13.证明不等式)2(211≥---<-+a a a a a 所用的最合适的方法
是 . 14. 设函数)0(2)(>+=
x x x
x f ，观察： 2)()(1+==x x x f x f 4
3))(()(12+==x x
x f f x f
87))(()(23+==x x x f f x f 16
15))(()(34+==x x
x f f x f
……
根据以上事实，由归纳推理可得：
当==≥∈-))(()(21*
x f f x f n N n n n 时，且 .
15. 在平面几何里，有“若ABC ∆的三边长分别为c b a ,,，其内切圆半径为r ，则三角形面
积为r c b a S ABC )(2
1
++=
∆”
. 类比上述结论，拓展到空间，我们有 “若四面体ABCD 的四个面的面积分别为4321,,,S S S S ,其内切球的半径为r ，则四面体的体积为 ”.
三、解答题（本大题共6题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.（本题满分12分）实数m 取什么数值时，复数i m m m z )2(12
2
--+-=分别是： （Ⅰ）实数； （Ⅱ）纯虚数. 17.（本题满分12分）已知0,0>>b a ，求证：
b
a ab
b a +≥
+22. 18.（本题满分12分）
下表是关于宿州市服装机械厂某设备的使用年限x （年）和所需要的维修费用y （万元）的几组统计数据：
x 2
3 4 5 6
y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
（Ⅰ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程； （Ⅱ）估计使用年限为10年时，维修费用为多少？
（参考：①3.1120.765.655.548.332.22=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
②x b y a x
n x y
x n y
x b n i i n
i i
i -=--=
∑∑==,1
2
2
1）
19. （本题满分12分）
某同学参加北大、清华、科大三所学校的自主命题招生考试，其被录取的概率分别为3
1,41,51（各学校是否录取他相互独立，允许他可以被多个学校同时录取）.
（Ⅰ）求此同学没有被任何学校录取的概率； （Ⅱ）求此同学至少被两所学校录取的概率.
20. （本题满分13分）已知c b a ,,是互不相等的非零实数，求证：
由b ax cx y a cx bx y c bx ax y ++=++=++=2,2,22
22确定的三条抛物线至少有一条与x 轴有两个不同的交点. 21. （本题满分14分）
已知函数)1,0(11)(≠>+-=a a a a x f x
x 且，设函数1)2
1
()(+-=x f x g
（Ⅰ）求证：)(x f 是奇函数；
（Ⅱ）① 求证：2)1()(=-+x g x g ；
② 结合①的结论求)1()2012
2011()20122()20121(
)0(g g g g g +++++Λ的值； （Ⅲ）仿上，设)(x F 是R 上的奇函数，请你写出一个函数)(x G 的解析式，并根据第（Ⅱ）
问的结论，猜想函数)(x G 满足的一般性结论.
宿州市十三所重点中学~2011--2012~学年度
第二学期期中质量检测 高二数学（文科）参考答案
一、选择题
1~5 DBBDB 6~10CCABC 二、填空题 11、5
12、自然数（或非负整数，或正整数和零） 13、分析法 14、
n
n x x
2
)12(+- 15、r S S S S )(3
1
4321+++ 三、解答题
16、解：（1）为实数复数i m m m z )2(12
2
--+-=Θ
022
=--∴m m ………………………………………………2分 21=-=∴m m 或………………………………………………5分 （2）为纯虚数复数i m m m z )2(12
2
--+-=Θ
020122
≠--=-∴m m m 且………………………………8分 1=∴m …………………………………………………………12分 17、证明：成立要证
b
a ab
b a +≥+22 成立只要证ab b a 4)(2
≥+
成立只需证ab b a 22
2≥+ 成立即证022
2≥-+ab b a
成立很显然0)(22
2
2
≥-=-+b a ab b a
成立故b
a ab
b a +≥+22……………………………………………12分 18、解：（1）45
6
5432=++++=x Θ
55
.75.65.58.32.2=++++=y …………………………2分
9065432222225
1
2=++++=∑=i i
x
Θ
又……………………3分
23.180
905
453.112=-⨯⨯-=
∴b …………………………………7分
08.0423.15=⨯-=-=x b y a 又
x y 23.108.0+=∴线性回归方程为…………………………9分 （2）把10=x 代入回归方程得到：
38.121023.108.0=⨯+=y
∴估计使用年限为10年时，维修费用为12.38万元。

………12分 19、解：（1）该同学被北大，清华，科大录取分别记为事件C B A ,,
则该同学没有被任何学校录取记为事件D ，且C B A D =…………2分 又C B A ,,Θ是相互独立的……………………………………………3分 )3
11()411()51
1()()()()()(-⨯-⨯-===∴C P B P A P C B A P D P
5
2
324354=⨯⨯=
………………………………………………6分 （2）设此同学至少被两所学校录取记为事件E
则BC A C B A C AB ABC E +++=…………………………………9分 )()()()()(BC A P C B A P C AB P ABC P E P +++=∴
314154314351324151314151⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=
6
1
=……………………………………………………………12分
20、证明：假设三条抛物线没有一条与x 轴有两个不同交点
即三条抛物线都与x 轴没有交点或只有一个交点………………………2分
即ac b ac b ≤⇒≤-=∆2
21044 ① ab c ab c ≤⇒≤-=∆2
22044 ②
bc a bc a ≤⇒≤-=∆2
23044 ③………………………………5分
根据同向不等式可加性，得： ac bc ab c b a ++≤++2
2
2
同时又ab b a 22
2
≥+Θ，bc c b 22
2
≥+， ac a c 22
2
≥+，
且c b a ,,互不相等
)(2)(2222ac bc ab c b a ++>++∴
ac bc ab c b a ++>++⇒222………………………………………10分 ac bc ab c b a ac bc ab c b a ++>++++≤++∴222222与相矛盾 ∴假设错误，从而命题得证……………………………………………13分
21、证明：（1）11)(+-=x x a a x f Θ，01>+x
a ∴定义域关于原点对称…………1分
)(1111)(x f a
a a a x f x
x
x
x -=+-=+-=--- )(x f ∴是奇函数………4分 （2）①证明：1)211(1)21()1()(+--++-=-+x f x f x g x g 22)2
1
()21(=+-+-=x f x f ………7分
②解：)1()2012
2011()20122()20121(
)0(g g g g g +++++Λ =2013……………………………………………………10分
（3）可设b x a G x G x G b a x F x G 2)2()()(,)()(=-++-=满足的性质为：
或b x F x G +-=)2
1()(，则 b n G n
n G n G n G G )1()1()1
(
)2()1()0(+=+-++++Λ……14分。