《数字信号处理》试题答案

一、填空题（本大题共7小题，每小题1分，共7分）
1. 序列x (n) = sin(0.3πn + 0.25π)，该序列的周期N 为 20 。

2. 序列x (n)存在傅里叶变换的充分条件是
∑∞
-∞
=∞<n n x )( 。

3. 用DFT 对序列进行谱分析时，对序列截断引起主谱线向附近展宽的现象称为 频谱泄露 。

4. 全通滤波器的极点和零点是互为 共轭倒易 关系。

5. 对12点长序列x(n)做DIF-基2FFT 计算，其运算流图中每级的蝶形个数是 8个 。

6. 设计IIR 滤波器的脉冲响应不变法，不适合设计 高通、带阻 滤波器。

7. 用频率采样法设计FIR 数字滤波器，为了提高阻带衰减，可在频响间断点处内插一个或几个 采样点 。

二、判断改错题，正确打“✓”，错误打“✗”，并改错。

（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
8. 周期序列的傅里叶级数仍是周期离散的。

（ ✓ ）
9.DIT-基2FFT 分解的基本方法是将序列x(n)按n 值前后对半分为2个序列。

（ ✗ ） 修改替换：“的奇偶”
10. 序列x(n)的N 点DFT 为X(k)，则序列x *
(n)的DFT 变换为X *
(N -k)。

（ ✗ ） 句尾插入：“，且X(N)=X(0)”
11. 因果稳定的LTI 时域离散系统，其系统函数所有零点都必须在单位圆内。

（ ✗ ）
修改插入：“极点”
三、计算题（本大题共6小题，共42分）
12.已知序列()(1)2(3),()2()(2)x n n n h n n n δδδδ=-+-=--，试计算循环卷积
()()()y n x n h n =⊗，且循环卷积区间长度L=4。

（6分）
解：求x(n)和h(n)的DFT ：
∑==3
4)()(n kn W n x k X k k W W 3442+=
∑==
3
4)()(n kn W
n h k H k W 24-2=
求X(k)与H(k)的乘积：
)()()(k X k H k Y =()k W 24-2=()
k k W W 3442+
k k k k W W W W 54343442--42+= k k k k W W W W 4343442--42+=
k W 343=
求Y(k)的反变换得： ())3(3-=n n y δ
13. 若序列x (n )波形如下，且x (n )的FT 变换为X(e j ω)，不直接求X(e j ω)，完成下列运算：求 (1) X(e j π
) = ？ （2）
2
()?j X e d π
ω
π
ω-
=⎰（8分）
解：（1）∵∑∑∑∞
-∞
=∞
-∞
=∞
-∞=-=-=
=
n n n n
j j n x n j n n x e
n x e X )(]sin )[cos ()()(ππππ
∴3121111)()(4
2
=++-++-==
∑-=n j n x e X π
（2）由帕斯维尔定理，有
∑⎰∞
-∞
=-
=n j n x d e X 2
2
)(2)(π
ωπ
π
ω
∴
π
πππ
ωπ
π
ω
18)141111(2)
(2)
(2)(4
2
2
2
2
=+++++===∑∑⎰-=∞
-∞
=-
n n j n x n x d e X
14. 用微处理机对实序列作谱分析，要求谱分辨率F ≤100Hz ，信号最高频率为4kHz ，试确定以下各参数：(1)最小记录时间T Pmin ；(2)最大取样间隔T max ；(3)最少采样点数N min ；(4)若信号频带不变，采用基2FFT 做谱分析，求使谱分辨率提高1倍的N 值。

（8分） 解：(1)已知最大谱分辨率F=100Hz ，所以
s F T P 01.0100
11min ===
(2)ms f f T s 125.04000
21
211max min
max =⨯==
=
(3)8010
25.101
.04
max min min =⨯==
-T T N P (4)频带不变，则取样率不变，分辨率提高1倍，则要求最小记录时间扩大1倍，此时有：
16010
25.102
.04
max min min =⨯==
-T T N P 采用基2FFT 做谱分析，由于128=27
<160<256=28
,所以N 应取256。

15.若某计算机实现复数乘法平均需要4μs ，实现复数加法平均需要1μs ，分别用直接计算和基2FFT 计算N = 1024点复数信号x (n )的N 点DFT X(k)时，若只考虑乘法和加法运算，所需要的运算时间各是多少？ （6分）
解：直接计算所需运算量：复乘法次数N 2
次，复加法次数为N(N-1)次；
基2FFT 所需运算量：复乘法次数
N N
2log 2
次，复加法次数为N N 2log 次。

因此，直接计算所需运算时间为：
s
N N N t D 241856.510104755210419430410110231024104)1024(101)1(10466662662=⨯+⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯-+⨯⨯=------
基2FFT 计算所需运算量：
s
N N N N
t F 030720.01010240102048010110102410410512101log 104log 2
66666262=⨯+⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯=
------
16.已知某模拟系统22
()276
a H s s s =
++，采样间隔T=2s ，试用脉冲响应不变法将
()a H s 转换为数字滤波器，求该数字滤波器系统函数H(z )。

（8分） 解：由因式分解可得：
22
2
32)23)(2(16722)(2
+-++=++=++=
s s s s s s s H a 即：23
;221-=-=s s ，因为T=2，所以有：
421
11314122
3
122101134.90681.0063.0)0498.0)(0183.0()0315.0(20498
.020183.020498.0140183.01414
141414)(--------⨯--⨯-⨯+--=---⨯=---=---=---=---=z z z z z z z z
z z z z z e z e z
e z e z H
17. 已知序列x (n )长度为N ，X(k)=DFT[x (n )]，(),01
()0, 21x n n N y n N n N ≤≤-⎧=⎨≤≤-⎩
Y(k)为2N 点y (n )的DFT 值，试用X(k)表示Y(k)。

（6分） 解：由DFT 定义有：
整数=====
∑∑∑-=-=-=2
, )2()()()()(1
21
21
20
2k k X W
n x W
n x W
n y k Y N n n k N
N n nk N
N n nk
N
五、画结构图题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 18.已知IIR 系统为：51
()(1)(2)()3(1)(2)66
y n y n y n x n x n x n =
--+--－－＋2，试： (1) 确定系统的零、极点；（2）画出该系统的直接型网络结构图（II 型）；（3）画出系统的级联型网络结构图。

解：（1）由差分方程有：
)2(2)1(3)()2(61
)1(65)(-+--=-+--
n x n x n x n y n y n y 方程两端求Z 变换：
)(2)(3)()(6
1
)(65)(2121z X z z X z z X z Y z z Y z z Y ----+-=+-
系统函数为：
)
3
1)(21()1)(2(61652361651231)()()(222121----=+-+-=+-+-==----z z z z z z z z z z z z z X z Y z H
系统函数零点z 1=2，z 2=1；系统函数极点：3
1
,2121==p p （2）系统直接Ⅱ型结构流图如下图所示：
系统函数可以写作：
1
1
113
112121)3)(2()1)(2()(------⨯--=----=z
z z z z z z z z H
由此可以画出系统的一种级联型结构流图如下图所示：
19. 已知FIR 滤波器系统函数为12456()10.8 1.5 1.50.8H z z z z z z -----=+-+--，求：(1) 该滤波器的h (n )及阶数N ；(2) 判断系统是否具有线性相位，若是线性相位，求出相位函数和画出线性相位网络结构图；若不是线性相位，画出直接型网络结构图。

解：（1）对H(z)求Z 反变换可得：
)6()5(8.0)4(5.1)2(5.1)1(8.0)()(-----+---+=n n n n n n n h δδδδδδ
滤波器阶数N=7
（2）因为h(n)=-h(N-n-1)，而且h(n)为实数，所以该FIR 滤波器是第二类线性相位。

相位函数为：
ωπ
ωπ
ωθ32
)21(
2
)(--=---
=N 滤波器线性相位结构流图如下：
六、证明题（本大题共1小题，每小题7分，共7分）
20. 若x (n )为实序列，且x (n )= x (N -n )，已知X(k)＝DFT[x (n )]N ，证明：X(k)为实偶对称序列，即证明X(k)=X(N -k) 且X(k)为实序列。

解1：∵x(n)可写作x(n)=x ep (n)+x op (n)，由x (n )= x (N -n )知，x op (n)=0，即x(n)=x ep (n)； 从而，由DFT 的共轭对称性， DFT[x ep (n)]=Re[X(k)]，即X(k)为实序列。

由X(k)为实序列，即有X(k)=X *(N -k)= X(N -k)。

解2：因为：∑-=-=
10
2)()]([N n nk j N
e
n x n x DFT π∑-=-=10
]2sin 2)[cos
(N n nk N
j nk N n x π
π k=0，1，…，N-1
由于x （n ）是关于N 的实偶序列，而nk N
π
2sin
是关于N 的奇序列，所以有： 02sin )(1
=∑-=N n nk N n x π亦即：∑-==1
02cos )()]([N n nk N n x n x DFT π
为实序列；
又有：
)
(2cos )(]
2sin 2sin 2cos 2)[cos ()(2cos )()(1
1
1
0k X nk N n x k N n k N n n x k N n N n x k N X N n N n N n ∑∑∑-=-=-===+=-=-π
π
ππππ
七、设计题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
21. 用窗函数法设计一个FIR 线性相位低通滤波器，要求阻带最小衰减为40dB ，过渡带宽度为400Hz ，采样频率为4kHz ，确定设计要求滤波器的窗函数类型和长度；并构造逼近的频率响应函数()j d H e ω。

解：由题知π
π
2.04000
2==t B 由阻带最小衰减为40dB 和满足指标条件下N 最小的原则，滤波器窗函数应选择汉宁窗， 由附表可求得滤波器单位脉冲响应长度：312.02.6==
π
π
N 设该FIR 低通滤波器的通带截止频率为ωc ，由滤波器阶数N=31知，该滤波器群延时为：
152
1
=-=
N α 容易构造此滤波器所逼近的理想频率响应函数为：
⎩
⎨
⎧≤<≤=-πωωωωωω
c c
j j d e e H 0 )15（ 22. 用双线性变换法设计IIR 数字低通滤波器，要求通带频率低于0.25π时，容许幅度差在2dB 之内，频率在0.6π到π之间阻带衰减大于15dB ，试采用巴特沃斯原型滤波器进行设计，采样间隔T=1s 。

附：已知归一化低通巴特沃斯滤波器的传输函数为：
N ＝1时， ； N ＝2时，； ()11a H p p =+()a H p =
N ＝3时， 巴特沃斯模拟滤波器阶数N 计算公式为：
；sp k = 解：（1）将数字滤波器指标转换为相应的模拟滤波器指标（同时预畸变）
s rad tg tg T p p /8284.02
25.0222===Ωπ
ω， dB p 2=α s rad tg tg T s s /7528.22
6.0222===
Ωπω,dB s 15=α （2）计算模拟滤波器阶数N
3230.38284
.07528
.2==ΩΩ=
p s sp λ 2363.71101101.01.0=--=p
s a a sp k 6481.15215
.08595
.03230.3lg 2363.7lg lg lg ===
≥
sp
sp k N λ 取N=2
（3）由给出的归一化原型巴特沃思低通滤波器传递函数可得所设计的模拟滤波器归一化传递函数为：
（4）求出3dB 频率：
s rad s N
s c s
/1702.14251.07528.24251.0)
110
(211.0=⨯=⨯Ω=-Ω=Ω-
α
s rad p N
p c p
/9472.01435.18284.01435.1)
110
(211.0=⨯=⨯Ω=-Ω=Ω-
α
由教材知（p158）：若选取Ωc =1.1702rad/s ，则阻带指标刚好满足要求，通带指标有富
余，若选取Ωc =0.9472rad/s ，则通带指标刚好满足要求，阻带指标有富余。

因为巴特沃斯曲线是单调的，为计算简单，取s rad c /1=Ω去归一化。

（验证：由N
p c p
211.0)
110
(-
-Ω=Ωα，可得：
s rad N
c p p
/8745.08745.01)110
(211.0=⨯=-Ω=Ω'α
lg lg sp
sp
k N λ≥()21
(1)(1)
a H p p p p =
+++s sp p
λΩ
=Ω10.12(101)p
N
c
p α-Ω=Ω-1
0.12(10
1)
s
N
c s α-
Ω=Ω-(
)a H p =
s rad p /8745.0=Ω'比由题目求得的s rad p /8284.0=Ω大，即通带指标有富余；
由N
s c s
21
1.0)
110
(-
-Ω=Ωα，可得：
s rad N
c s s
/3523.23523.21)110
(211.0=⨯=-Ω=Ω'α
s rad s /3523
.2=Ω'比由题目求得的s rad s /7528.2=Ω小，即阻带指标有富余。

） （5）去归一化求得模拟滤波器传递函数为：
1
21
)
()(2
++=
==Ω=
s s p H s H s s
p a a c
（6）用双线性变换法将H a (s)转换成数字滤波器系统函数H(z)：
2
12
121212
111212
11
1
211112
2774.07664.01)1(1277.01716.268284.7)1)1()1)(1(22)1(4)1(1)112(2)112(1
)
()(1
---------------+-=+-+=
+-+=+++-+-+=
++-++-=
=-z z z z z z z z z z z z z z z s H z H z z s a （。