人教版七年级上册数学组卷

七年级初中数学组卷
一．选择题（共2小题）
1．（2018•台湾）已知a=（﹣）﹣，b=﹣（﹣），c=
﹣﹣，判断下列叙述何者正确？（）
A．a=c，b=c B．a=c，b≠c C．a≠c，b=c D．a≠c，b≠c 2．（2018春•泗洪县期末）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得1，即：如图所示．如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值有（）
A．3个B．4个C．5个D．6个
二．解答题（共38小题）
3．（2018•凉山州模拟）我们常用的数是十进制数，如4657=4×103+6×102+5×101+7×100，数要用10个数码（又叫数字）：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，在电子计算机中用的二进制，只要两个数码：0与1，如二进制中110=1×22+1×21+0×20等于十进制的数6，110101=1×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1×20等于十进制的数53．那么二进制中的数101011等于十进制中的哪个数？
4．（2018•包河区二模）观察下列关于自然数的等式：
①2×0+1=12，
②4×2+1=32，
③8×6+1=72，
④16×14+1=152；
（1）请按规律写出第⑤个式子：；
（2）根据你发现的规律写出第n个等式，并验证其正确性．5．（2018•合肥模拟）阅读材料：求31+32+33+34+35+36的值
解：设S=31+32+33+34+35+36①
则3S=32+33+34+35+36+37②
用②﹣①得，3S﹣S=（32+33+34+35+36+37）﹣（31+32+33+34+35+36）=37﹣3
∴2S=37﹣3，即S=∴31+32+33+34+35+36=
以上方法我们成为“错位相减法”，请利用上述材料，解决下列问题：（一）棋盘摆米
这是一个很著名的故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏？阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒…按这个方法放满整个棋盘就行”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了，结果国王输了
（1）国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放粒米（用幂表示）
（2）设国王输给阿基米德的米粒数为S，求S
（二）拓广应用：
1．计算：+++…+（仿照材料写出求解过程）
2．计算：+++…+= （直接写出结果）6．（2017秋•綦江区期末）计算：|4﹣4|+（）﹣（+5）．
7．（2017秋•宁江区期末）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a与b，规定a☆b=ab2+2ab+a．如：1☆3=1×32+2×1×3+1=16．
（1）求（﹣2）☆3的值；
（2）若（☆3）=8，求a的值．
8．（2017秋•漳州期末）对于有理数a、b，定义运算：a⊕b=ab﹣2a﹣2b+1．
（1）计算：5⊕4的值；
（2）计算：[（﹣2）⊕6]⊕3的值；
（3）定义的新运算“⊕”交换律是否还成立？请写出你的探究过程．9．（2017秋•漳州期末）在完成芗里芗亲“我要巡逻”的任务时，王平在一条笔直的东西走向的大道上巡逻，他从某岗亭出发，巡逻了一段时间停留在A处，规定以岗亭为原点，约定向东为正方向，这段时间行走的纪录如下（单位：米）：+100，﹣200，+350，﹣150，+600，﹣140．
（1）A在岗亭哪个方向？距岗亭多远？
（2）王平最后返回岗亭，这次他共巡逻多少米？
10．（2017秋•余姚市期末）给定一列数，我们把这列数中的第一个
数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，依此类推，第n个数记为a n（n为正整数），如下面这列数2，4，6，8，10中，a1=2，a2=4，a3=6，a4=8，a5=10．规定运算sum（a1：a n）=a1+a2+a3+…+a n．即从这列数的第一个数开始依次加到第n个数，如在上面的一列数中，sum（a1：a3）=2+4+6=12．
（1）已知一列数1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6，7，﹣8，9，﹣10，则a3= ，sum（a1：a10）= ．
（2）已知这列数1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6，7，﹣8，9，﹣10，…，按照规律可以无限写下去，则a2018= ，sum（a1：a2018）= ．
（3）在（2）的条件下否存在正整数n使等式|sum（a1：a n）|=50成立？如果有，写出n的值，如果没有，说明理由．11．（2018春•工业园区期末）观察下列等式：
①1×3+1=4；②3×5+1=16；③5×7+1=36；…
根据上述式子的规律，解答下列问题：
（1）第④个等式为；
（2）写出第n个等式，并验证其正确性．
12．（2017秋•朝阳区期末）观察下面的等式：
﹣1=﹣|﹣+2|+3；
3﹣1=﹣|﹣1+2|+3；
1﹣1=﹣|1+2|+3；
（﹣）﹣1=﹣|+2|+3；
（﹣2）﹣1=﹣|4+2|+3
回答下列问题：
（1）填空：﹣1=﹣|5+2|+3；
（2）已知2﹣1=﹣|x+2|+3，则x的值是；
（3）设满足上面特征的等式最左边的数为y，求y的最大值，并写出此时的等式．
13．（2017秋•海珠区期末）如图，数轴上有点a，b，c三点（1）用“＜”将a，b，c连接起来．
（2）b﹣a 1（填“＜”“＞”，“=”）
（3）化简|c﹣b|﹣|c﹣a+1|+|a﹣1|
（4）用含a，b的式子表示下列的最小值：
①|x﹣a|+|x﹣b|的最小值为；
②|x﹣a|+|x﹣b|+|x+1|的最小值为；
③|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|的最小值为．
14．（2017秋•大兴区期末）我们用“⊗”表示一种新运算符号，观察下列式子，解决问题：
2⊗5=2×2+4=8
3⊗4=2×3+3=9
3⊗（﹣1）=2×3﹣2=4
﹣3⊗（﹣5）=2×（﹣3）﹣6=﹣12
（1）请你用含a，b的式子表示这个规律：a⊗b= ；（2）（﹣⊗6）⊗（﹣4）的值是；
（3）如果x⊗（﹣3）=3⊗x，求x的值．
15．（2017秋•大兴区期末）已知：数轴上点A表示的数是8，点B 表示的数是﹣4．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左运动，动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左运动．P，Q两点同时出发．
（1）经过多长时间，点P位于点Q左侧2个单位长度？
（2）在点P运动的过程中，若点M是AP的中点，点N是BP的中点，求线段MN的长度．
16．（2017秋•浠水县期末）已知数轴上三点A，O，B表示的数分别为﹣3，0，1，点P为数轴上任意一点，其表示的数为x．
（1）如果点P到点A，点B的距离相等，那么x= ；
（2）当x= 时，点P到点A，点B的距离之与是6；
（3）若点P到点A，点B的距离之与最小，则x的取值范围是；（4）在数轴上，点M，N表示的数分别为x1，x2，我们把x1，x2之差的绝对值叫做点M，N之间的距离，即MN=|x1﹣x2|．若点P 以每秒3个单位长度的速度从点O沿着数轴的负方向运动时，点E 以每秒1个单位长度的速度从点A沿着数轴的负方向运动、点F以每秒4个单位长度的速度从点B沿着数轴的负方向运动，且三个点同时出发，那么运动秒时，点P到点E，点F的距离相等．17．（2017秋•漳州期末）已知，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动7cm到达A点，再从A点向右移动12cm到达B点，把点A到点B的距离记为AB，点C是线段AB的中点．
（1）点C表示的数是；
（2）若点A以每秒2cm的速度向左移动，同时C、B点分别以每秒1cm、4cm的速度向右移动，设移动时间为t秒，
①点C表示的数是（用含有t的代数式表示）；
②当t=2秒时，求CB﹣AC的值；
③试探索：CB﹣AC的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
18．（2018春•宿松县期末）如图，观察下面的数阵图与相应的等式，探究其中的规律．
（1）在横线上分别写出与点阵对应的等式．
①13=1
②13+23=（1+2）+（2+4）=9
③13+23+33=（1+2+3）+（2+4+6）+（3+6+9）=36
④13+23+33+43= ．
⑤13+23+33+43+53= ．
（2）13+23+33+43+…+103的值是多少？
（3）通过以上规律猜想写出13+23+33+43+…+n3= （直接写出结果）
19．（2017秋•嵩县期末）同学们都知道：|3﹣（﹣2）|表示3与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为3与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：
（1）数轴上表示x与3的两点之间的距离可以表示为．
（2）如果|x﹣3|=5，则x= ．
（3）同理|x+2|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣2与1所对应的点的距离之与，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+2|+|x﹣1|=3，这样的整数是．
（4）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x+3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由．20．（2017秋•兴仁县期末）已知数轴上的点A与点B之间的距离为32个单位长度，点A在原点的左边，距离原点5个单位长度，点B在原点的右边．
（1）点A所对应的数是，点B对应的数是；（2）若已知在数轴上的点E从点A出发向左运动，速度为每秒2个单位长度，同时点F从点B出发向左运动，速度为每秒4个单位长度，在点C处点F追上了点E，求点C对应的数．21．（2017秋•浉河区期末）如图，点A、B都在数轴上，且AB=6（1）点B表示的数是；
（2）若点B以每秒2个单位的速度沿数轴向右运动，则2秒后点B 表示的数是；
（3）若点A、B都以每秒2个单位沿数轴向右运动，而点O不动，t秒后有一个点是一条线段的中点，求t．
22．（2017秋•嘉祥县期末）观察下列两个等式：2﹣=2×+1，5﹣=5×+1，给出定义如下：我们称使等式a﹣b=ab+1的成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为（a，b），如：数对（2，
），（5，），都是“共生有理数对”．
（1）数对（﹣2，1），（3，）中是“共生有理数对”的是；（2）若（m，n）是“共生有理数对”，则（﹣n，﹣m）“共生有理数对”（填“是”或“不是”）；
（3）请再写出一对符合条件的“共生有理数对”为；（注意：不能与题目中已有的“共生有理数对”重复）
（3）若（a，3）是“共生有理数对”，求a的值．
23．（2017秋•遂宁期末）设有理数在数轴上对应点如图所示，化简|b﹣a|+|a+c|+|c﹣b|．
24．（2017秋•南京期末）（1）列举两个数，满足这两个数的与为正数，积为负数，归纳所有满足条件的两个数有什么共同特征？（2）列举三个数，满足这三个数的与为正数，积为负数，归纳所有满足条件的三个数有什么共同特征？
25．（2017秋•抚州期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示（1）比较a、b、|c|的大小（用“＞”连接）；
（2）若n=|b+c|﹣|c﹣1|﹣|b﹣a|，求1﹣2017•（n+a）2018的值；
（3）若a=，b=﹣2，c=﹣3，且a、b、c对应的点分别为A、B、C，问在数轴上是否存在一点M，使M与B的距离是M与A的距离的3倍，若存在，请求出M点对应的有理数；若不存在，请说明理由．
26．（2017秋•胶州市期末）已知如图，在数轴上有A，B两点，所
表示的数分别为﹣10，﹣4，点A以每秒5个单位长度的速度向右运动，同时点B以每秒3个单位长度的速度也向右运动，如果设运动时间为t秒，解答下列问题：
（1）运动前线段AB的长为；运动1秒后线段AB的长为；
（2）运动t秒后，点A，点B运动的距离分别为与；（3）求t为何值时，点A与点B恰好重合；
（4）在上述运动的过程中，是否存在某一时刻t，使得线段AB的长为5，若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．27．（2017秋•宁江区期末）某路公交车从起点经过A、B、C、D 站到达终点，一路上下乘客如下表所示．（用正数表示上车的人数，负数表示下车的人数）
起点A B C D终点
上车的人数181512750
下车的人数0﹣3﹣4﹣10﹣11
（1）到终点下车还有人；
（2）车行驶在那两站之间车上的乘客最多？站与站；（3）若每人乘坐一站需买票1元，问该车出车一次能收入多少钱？写出算式．
28．（2017秋•常熟市期末）如图，在数轴上，点A表示﹣10，点B表示11，点C表示18．动点P从点A出发，沿数轴正方向以每秒2个单位的速度匀速运动；同时，动点Q从点C出发，沿数轴负
方向以每秒1个单位的速度匀速运动．设运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，P、Q两点相遇？相遇点M所对应的数是多少？（2）在点Q出发后到达点B之前，求t为何值时，点P到点O的距离与点Q到点B的距离相等；
（3）在点P向右运动的过程中，N是AP的中点，在点P到达点C 之前，求2CN﹣PC的值．
29．（2017秋•黔南州期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且表示数a的点、数b的点到原点的距离相等．
（1）用“＞”“=”“＜”填空：b 0，a+b 0，a﹣c 0，b﹣c 0；
（2）化简|a+b|+|c﹣a|﹣|b|．
30．（2017秋•朝阳区期末）对于任意有理数a，b，定义运算：a ⊙b=a（a+b）﹣1，等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，2⊙5=2×（2+5）﹣1=13；（﹣3）⊙（﹣5）=﹣3×（﹣3﹣5）﹣1=23．
（1）求（﹣2）⊙3的值；
（2）对于任意有理数m，n，请你重新定义一种运算“⊕”，使得5⊕3=20，写出你定义的运算：m⊕n= （用含m，n的式子表示）．
31．（2017秋•宜春期末）对于有理数a，b，定义一种新运算“⊗”，规定a⊗b=|a|﹣|b|﹣|a﹣b|．
（1）计算﹣2⊗3的值；
（2）当a，b在数轴上位置如图所示时，化简a⊗b
32．（2017秋•甘井子区期末）（1）填空：﹣×（1×2×3﹣0×1×2）=
﹣×（2×3×4﹣1×2×3）=
﹣×（3×4×5﹣2×3×4）=
（2）请按以上规律，写出一个新的算式并求出结果
（3）请从以下两个问题中任选一个解答，选择①解答正确的4分，选择②解答正确得2分
①﹣1×2+（﹣2）×3+（﹣3）×4+…+（﹣n）×（n+1）= （用含有n的式子表示）
②﹣×（1×2×3﹣0×1×2）+（﹣）×（2×3×4﹣1×2×3）+…+（﹣）×（7×8×9﹣6×7×8）= ．
33．（2017秋•宜春期末）探索规律，观察下面算式，解答问题：第1个等式：1=12；
第2个等式：1+3=22；
第3个等式：1+3+5=32；
第4个等式：1+3+5+7=42；
（1）按以上规律列出第5个等式；
（2）请猜想1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）= ；（n为正整数）；（3）请用上述规律计算：61+63+65+…+197+199．34．（2017秋•相城区期末）如图，将一条数轴在原点O与点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示﹣10，点B表示
10，点C表示18，我们称点A与点C在数轴上相距28个长度单位．动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒．问：
（1）动点P从点A运动至C点需要多少时间？
（2）P、Q两点相遇时，求出相遇点M所对应的数是多少；（3）求当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等．
35．（2017秋•黄埔区期末）已知M、N在数轴上，M对应的数是﹣3，点N在M的右边，且距M点4个单位长度，点P、Q是数轴上两个动点；
（1）直接写出点N所对应的数；
（2）当点P到点M、N的距离之与是5个单位时，点P所对应的数是多少？
（3）如果P、Q分别从点M、N出发，均沿数轴向左运动，点P每秒走2个单位长度，先出发5秒钟，点Q每秒走3个单位长度，当P、Q两点相距2个单位长度时，点P、Q对应的数各是多少？36．（2018春•徐州期中）（1）填空：31﹣30=3（）×2，32﹣31=3（）×2，33﹣32=3（）×2，…
（2）探索（1）中式子的规律，试写出第n个等式，并说明第n个
等式成立；
（3）计算：3+32+33+ (32018)
37．（2018春•东台市期中）观察并计算
（1）①1×2×3×4+1= 2②3×4×5×6+1= 2限填正整数
（2）猜想：写出一个反应上述等量关系的等式．
（3）说明你猜想的理由．
（4）应用：计算：10×11×12×13+1
38．（2018春•兴化市期中）观察下列关于自然数的等式：
①32﹣4×12=5；②52﹣4×22=9；③72﹣4×32=13；…
根据上述规律解决下列问题：
（1）请仿照①、②、③，直接写出第4个等式：；
（2）请写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明该等式成立．
39．（2018春•铜山区期中）（1）填空：
21﹣20= =2（）；
22﹣21= =2（）；
23﹣22= =2（）；
（2）探索（1）中式子的规律，试写出第n个等式；
（3）计算20+21+22+ (21000)
40．（2017秋•上杭县期中）已知：有理数m所表示的点到原点距离是4个单位，a、b互为相反数、c，d互为倒数．
（1）求m的值；
（2）求：2a+2b﹣3cd+m的值．
七年级初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共2小题）
1．（2018•台湾）已知a=（﹣）﹣，b=﹣（﹣），c=
﹣﹣，判断下列叙述何者正确？（）
A．a=c，b=c B．a=c，b≠c C．a≠c，b=c D．a≠c，b≠c 【考点】1A：有理数的减法．
【专题】17：推理填空题．
【分析】根据有理数的减法的运算方法，判断出a、c，b、c的关系即可．
【解答】解：∵a=（﹣）﹣=﹣﹣，b=﹣（﹣）=﹣+，c=﹣﹣，
∴a=c，b≠c．
故选：B．
【点评】此题主要考查了有理数的减法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．
2．（2018春•泗洪县期末）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确
的．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得1，即：如图所示．如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值有（）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【考点】19：有理数的加法；1C：有理数的乘法；1D：有理数的除法．
【专题】2A：规律型；511：实数．
【分析】首先根据题意，应用逆推法，用1乘以2，得到2；用2乘以2，得到4；用4乘以2，得到8；用8乘以2，得到16；然后分类讨论，判断出所有符合条件的m的值为多少即可．
【解答】解：根据分析，可得
则所有符合条件的m的值为：128、21、20、3．
故选：B．
【点评】此题主要考查了探寻数列规律问题，考查了逆推法的应用，注意观察总结出规律，并能正确的应用规律．
二．解答题（共38小题）
3．（2018•凉山州模拟）我们常用的数是十进制数，如4657=4×103+6×102+5×101+7×100，数要用10个数码（又叫数字）：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，在电子计算机中用的二进制，只要两个数码：0与1，如二进制中110=1×22+1×21+0×20等于十进制的数6，110101=1×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1×20等于十进制的数53．那么二进制中的数101011等于十进制中的哪个
数？
【考点】1E：有理数的乘方．
【专题】11：计算题．
【分析】利用新定义得到101011=1×25+0×24+1×23+0×22+1×21+1×20，然后根据乘方的定义进行计算．
【解答】解：101011=1×25+0×24+1×23+0×22+1×21+1×20=43，
所以二进制中的数101011等于十进制中的43．
【点评】本题考查了有理数的乘方：有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．
4．（2018•包河区二模）观察下列关于自然数的等式：
①2×0+1=12，
②4×2+1=32，
③8×6+1=72，
④16×14+1=152；
（1）请按规律写出第⑤个式子：32×30+1=312；
（2）根据你发现的规律写出第n个等式，并验证其正确性．
【考点】1G：有理数的混合运算；37：规律型：数字的变化类．【专题】2A：规律型；511：实数．
【分析】（1）仿照上述式子确定出第5个等式即可；
（2）归纳总结得到一般性规律，验证即可．
【解答】解：（1）律写出第⑤个式子为：32×30+1=312；
故答案为：32×30+1=312；
（2）根据题意得：第n个等式为2n（2n﹣2）+1=（2n﹣1）2；
左边=22n﹣2n+1+1，右边=22n﹣2n+1+1，
∵左边=右边，
∴2n（2n﹣2）+1=（2n﹣1）2．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，以与规律型：数字的变化类，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．（2018•合肥模拟）阅读材料：求31+32+33+34+35+36的值
解：设S=31+32+33+34+35+36①
则3S=32+33+34+35+36+37②
用②﹣①得，3S﹣S=（32+33+34+35+36+37）﹣（31+32+33+34+35+36）=37﹣3
∴2S=37﹣3，即S=∴31+32+33+34+35+36=
以上方法我们成为“错位相减法”，请利用上述材料，解决下列问题：（一）棋盘摆米
这是一个很著名的故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏？阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒…按这个方法放满整个棋盘就行”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了，结果国王输了
（1）国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放263粒米（用幂表示）
（2）设国王输给阿基米德的米粒数为S，求S
（二）拓广应用：
1．计算：+++…+（仿照材料写出求解过程）
2．计算：+++…+= n﹣+（直接写出结果）
【考点】1G：有理数的混合运算；37：规律型：数字的变化类．【专题】11：计算题；511：实数．
【分析】（一）（1）根据棋盘百米特点写出即可；
（2）根据题意表示出S，利用阅读材料中的方法计算即可；（二）1、原式利用材料中的方法计算即可求出值；
2、结合1计算即可求出值．
【解答】解：（一）（1）国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放263粒米；
故答案为：263；
（2）根据题意得：S=1+21+22+…+264，①
则有2S=21+22+…+265，②
②﹣①得：S=265﹣1；
（二）1、设S=+++…+，①
则有4S=1++++…+，②
②﹣①得：3S=1﹣，
则S=﹣；
2、根据题意得：原式=1+1+…+1﹣（+++…+）=n﹣+，
故答案为：n﹣+
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．（2017秋•綦江区期末）计算：|4﹣4|+（）﹣（+5）．
【考点】1G：有理数的混合运算．
【专题】11：计算题；511：实数．
【分析】原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值．
【解答】解：原式=|﹣|+（﹣+﹣）×12﹣4﹣5=﹣6+8﹣2﹣4﹣5=﹣8．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．（2017秋•宁江区期末）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a与b，规定a☆b=ab2+2ab+a．如：1☆3=1×32+2×1×3+1=16．
（1）求（﹣2）☆3的值；
（2）若（☆3）=8，求a的值．
【考点】1G：有理数的混合运算．
【专题】11：计算题；511：实数．
【分析】（1）原式利用题中的新定义化简，计算即可得到结果；（2）已知等式利用题中的新定义化简，即可求出a的值．
【解答】解：（1）（﹣2）☆3=﹣2×32+2×（﹣2）×3+（﹣2）=﹣32；
（2）☆3=×32+2××3+=8a+8=8，
解得：a=0．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．（2017秋•漳州期末）对于有理数a、b，定义运算：a⊕b=ab﹣2a﹣2b+1．
（1）计算：5⊕4的值；
（2）计算：[（﹣2）⊕6]⊕3的值；
（3）定义的新运算“⊕”交换律是否还成立？请写出你的探究过程．【考点】1G：有理数的混合运算．
【专题】11：计算题；23：新定义；511：实数．
【分析】（1）按照给定的运算程序，一步一步计算即可；
（2）先按新定义运算，先计算（﹣2）⊕6、再将所得结果﹣19与3计算规定运算可得；
（3）成立，按新定义分别运算即可说明理由．
【解答】解：（1）5⊕4=5×4﹣2×4﹣2×5+1
=20﹣8﹣10+1
=21﹣18
=3；
（2）原式=[﹣2×6﹣2×（﹣2）﹣2×6+1]⊕3
=（﹣12+4﹣12+1）⊕3
=﹣19⊕3
=﹣19×3﹣2×（﹣19）﹣2×3+1
=﹣24；
（3）成立，
∵a⊕b=ab﹣2a﹣2b+1、b⊕a=ab﹣2b﹣2a+1，
∴a⊕b=b⊕a，
∴定义的新运算“⊕”交换律还成立．
【点评】此题是定义新运算题型．直接把对应的数字代入所给的式子可求出所要的结果．
9．（2017秋•漳州期末）在完成芗里芗亲“我要巡逻”的任务时，王平在一条笔直的东西走向的大道上巡逻，他从某岗亭出发，巡逻了一段时间停留在A处，规定以岗亭为原点，约定向东为正方向，这段时间行走的纪录如下（单位：米）：+100，﹣200，+350，﹣150，+600，﹣140．
（1）A在岗亭哪个方向？距岗亭多远？
（2）王平最后返回岗亭，这次他共巡逻多少米？
【考点】11：正数与负数；13：数轴．
【专题】1：常规题型．
【分析】（1）根据题意，将题目中的数据相加，即可解答本题；
（2）根据题意与（1）中的结果即可解答本题．
【解答】解：（1）（+100）+（﹣200）+（+350）+（﹣150）+（+600）+（﹣140）
=（100+350+600）+（﹣200﹣150﹣140）
=1050+（﹣490）
=560，
答：A在岗亭的东边，距岗亭560米；
（2）|+100|+|﹣200|+|+350|+|﹣150|+|+600|+|﹣140|+560
=100+200+350+150+600+140+560
=2100，
答：这次他共巡逻2100米．
【点评】本题考查数轴、正数与负数，解答本题的关键是明确题意，列出相应的式子，找出所求问题需要的条件．
10．（2017秋•余姚市期末）给定一列数，我们把这列数中的第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，依此类推，第n个数记为a n（n为正整数），如下面这列数2，4，6，8，10中，a1=2，a2=4，a3=6，a4=8，a5=10．规定运算sum（a1：a n）=a1+a2+a3+…+a n．即从这列数的第一个数开始依次加到第n个数，如在上面的一列数中，sum（a1：a3）=2+4+6=12．
（1）已知一列数1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6，7，﹣8，9，﹣10，则a3= 3 ，sum（a1：a10）= ﹣5 ．
（2）已知这列数1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6，7，﹣8，9，﹣10，…，按照规律可以无限写下去，则a2018= ﹣2018 ，sum（a1：a2018）= ﹣1009 ．
（3）在（2）的条件下否存在正整数n使等式|sum（a1：a n）|=50成立？如果有，写出n的值，如果没有，说明理由．
【考点】1G：有理数的混合运算；37：规律型：数字的变化类．【专题】2B：探究型．
【分析】（1）根据题意与题目中的数据可以解答本题；
（2）根据题意与题目中的数据可以解答本题；
（3）根据题意与数字的变化规律，利用分类讨论的数学思想可以解答本题．
【解答】解：（1）由题意可得，
a3=3，
sum（a1：a10）
=1+（﹣2）+3+（﹣4）+…+9+（﹣10）
=﹣5，
故答案为：3，﹣5；
（2）由题意可得，
a2018=﹣2018，
sum（a1：a2018）
=1+（﹣2）+3+（﹣4）+…+2017+（﹣2018）
=[1+（﹣2）]+[3+（﹣4）]+…+[2017+（﹣2018）]
=（﹣1）+（﹣1）+…+（﹣1）
=﹣1009，
故答案为：﹣2018，﹣1009；
（3）在（2）的条件下存在正整数n使等式|sum（a1：a n）|=50成立，
当n为奇数时，
|sum（a1：a n）|=|﹣+n|=50，
解得，n=99，
当n为偶数时，
|sum（a1：a n）|=|﹣|=50，解得，n=100．
【点评】本题考查有理数的混合运算、数字的变化类，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法，发现题目中数字的变化规律，利用分类讨论的数学思想解答．
11．（2018春•工业园区期末）观察下列等式：
①1×3+1=4；②3×5+1=16；③5×7+1=36；…
根据上述式子的规律，解答下列问题：
（1）第④个等式为7×9+1=64 ；
（2）写出第n个等式，并验证其正确性．
【考点】1G：有理数的混合运算；37：规律型：数字的变化类．【专题】2A：规律型；51：数与式．
【分析】（1）由已知等式知，两个连续奇数的积加上1，等于序数平方的4倍，根据此规律写出即可；
（2）由（1）中规律可得第n个等式，再根据整式的运算即可验证．【解答】解：（1）∵第①个等式为1×3+1=4×12，
第②个等式为3×5+1=16=4×22，
第③个等式为5×7+1=36=4×32，
∴第④个等式为7×9+1=4×42=64，
故答案为：7×9+1=64；
（2）由（1）知第n个等式为：（2n﹣1）（2n+1）+1=4n2，
∵左边=4n2﹣1+1=4n2=右边，
∴（2n﹣1）（2n+1）+1=4n2．
【点评】本题是对数字变化规律的考查，平方差公式的应用，仔细观察数据的变化情况是解题的关键．
12．（2017秋•朝阳区期末）观察下面的等式：
﹣1=﹣|﹣+2|+3；
3﹣1=﹣|﹣1+2|+3；
1﹣1=﹣|1+2|+3；
（﹣）﹣1=﹣|+2|+3；
（﹣2）﹣1=﹣|4+2|+3
回答下列问题：
（1）填空：﹣3 ﹣1=﹣|5+2|+3；
（2）已知2﹣1=﹣|x+2|+3，则x的值是0 ；
（3）设满足上面特征的等式最左边的数为y，求y的最大值，并写出此时的等式．
【考点】15：绝对值；1A：有理数的减法．
【专题】2A：规律型．
【分析】（1）根据a﹣1=﹣|2﹣a+2|+3即可求解；
（2）由（1）的规律即可求解；
（3）由（1）可得|4﹣a|=4﹣a，根据非负数的性质即可求解．【解答】解：观察可知：a﹣1=﹣|2﹣a+2|+3，
则（1）﹣3﹣1=﹣|5+2|+3；
（2）已知2﹣1=﹣|x+2|+3，则x的值是0；
（3）由a﹣1=﹣|2﹣a+2|+3，可得|4﹣a|=4﹣a，
则4﹣a≥0，解得a≤4，
即y的最大值是4，
此时的等式是4﹣1=﹣|﹣2+2|+3．
故答案为：﹣3；0．
【点评】考查了有理数的减法，非负数的性质，关键是得到算式的特征是a﹣1=﹣|2﹣a+2|+3．
13．（2017秋•海珠区期末）如图，数轴上有点a，b，c三点（1）用“＜”将a，b，c连接起来．
（2）b﹣a ＜1（填“＜”“＞”，“=”）
（3）化简|c﹣b|﹣|c﹣a+1|+|a﹣1|
（4）用含a，b的式子表示下列的最小值：
①|x﹣a|+|x﹣b|的最小值为b﹣a ；
②|x﹣a|+|x﹣b|+|x+1|的最小值为b+1 ；
③|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|的最小值为b﹣c ．
【考点】13：数轴；15：绝对值；18：有理数大小比较．
【专题】27：图表型．
【分析】（1）比较有理数的大小可以利用数轴，它们从左到右的顺序，即从小到大的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；
（2）先求出b﹣a的范围，再比较大小即可求解；
（3）先计算绝对值，再合并同类项即可求解；
（4）根据绝对值的性质以与题意即可求出答案．
【解答】解：（1）根据数轴上的点得：b＞a＞c；
（2）由题意得：b﹣a＜1；
（3）|c﹣b|﹣|c﹣a+1|+|a﹣1|
=b﹣c﹣（a﹣c﹣1）+a﹣1
=b﹣c﹣a+c+1+a﹣1
=b；
（4）①当x在a与b之间时，|x﹣a|+|x﹣b|有最小值，
∴|x﹣a|+|x﹣b|的最小值为：x﹣a+b﹣x=b﹣a；
②当x=a时，
|x﹣a|+|x﹣b|+|x+1|=0+b﹣x+x﹣（﹣1）=b+1为最小值；
③当x=a时，
|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|=0+b﹣a+a﹣c=b﹣c为最小值．
故答案为：＜；b﹣a；b+1；b﹣c．
【点评】考查了数轴，通过比较，可以发现借助数轴用几何方法化简含有绝对值的式子，比较有关数的大小有直观、简捷，举重若轻的优势．
14．（2017秋•大兴区期末）我们用“⊗”表示一种新运算符号，观察下列式子，解决问题：
2⊗5=2×2+4=8
3⊗4=2×3+3=9
3⊗（﹣1）=2×3﹣2=4
﹣3⊗（﹣5）=2×（﹣3）﹣6=﹣12
（1）请你用含a，b的式子表示这个规律：a⊗b= 2a+b ；（2）（﹣⊗6）⊗（﹣4）的值是 6 ；
（3）如果x⊗（﹣3）=3⊗x，求x的值．
【考点】1G：有理数的混合运算；37：规律型：数字的变化类．【专题】11：计算题；511：实数．
【分析】（1）原式根据已知的新定义计算即可求出值；
（2）原式利用已知的新定义计算即可求出值；
（3）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值．【解答】解：（1）根据题意得：a⊗b=2a+b；
（2）根据题中的新定义得：原式=5⊗（﹣4）=10﹣4=6；
（3）已知等式利用题中的新定义化简得：2x﹣3=6﹣x，
解得：x=3，
故答案为：（1）2a+b；（2）6
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．（2017秋•大兴区期末）已知：数轴上点A表示的数是8，点B 表示的数是﹣4．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左运动，动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左运动．P，Q两点同时出发．
（1）经过多长时间，点P位于点Q左侧2个单位长度？
（2）在点P运动的过程中，若点M是AP的中点，点N是BP的中点，求线段MN的长度．
【考点】13：数轴．
【专题】2B：探究型．
【分析】（1）根据题意可以列出相应的等式，从而可以解答本题；（2）根据题意可以用代数式表示出点M与点N表示的数，从而可以求得MN的长度．
【解答】解：（1）设经过t秒，点P位于点Q左侧2个单位长度，6t﹣[4t+8﹣（﹣4）]=2，
解得，t=7
答：经过7秒，点P位于点Q左侧2个单位长度；
（2）由题意可得，
经过时间t，点P表示的数为：8﹣6t，
∵点M是AP的中点，点N是BP的中点，
∴点M表示的数是：，
点N表示的数是：，
∴MN=|（8﹣3t）﹣（2﹣3t）|=|8﹣3t﹣2+3t|=6，
即线段MN的长度是6．
【点评】本题考查数轴，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数轴的知识解答．
16．（2017秋•浠水县期末）已知数轴上三点A，O，B表示的数分别为﹣3，0，1，点P为数轴上任意一点，其表示的数为x．
（1）如果点P到点A，点B的距离相等，那么x= ﹣1 ；（2）当x= ﹣4或2 时，点P到点A，点B的距离之与是6；（3）若点P到点A，点B的距离之与最小，则x的取值范围是﹣3≤x≤1 ；
（4）在数轴上，点M，N表示的数分别为x1，x2，我们把x1，x2之差的绝对值叫做点M，N之间的距离，即MN=|x1﹣x2|．若点P 以每秒3个单位长度的速度从点O沿着数轴的负方向运动时，点E 以每秒1个单位长度的速度从点A沿着数轴的负方向运动、点F以每秒4个单位长度的速度从点B沿着数轴的负方向运动，且三个点同时出发，那么运动或2 秒时，点P到点E，点F的距离相等．【考点】13：数轴；15：绝对值．
【分析】（1）根据数轴上两点间的距离的表示列出方程求解即可；（2）根据AB的距离为4，小于6，分点P在点A的左边与点B的右边两种情况分别列出方程，然后求解即可；
（3）根据两点之间线段最短可知点P在点AB之间时点P到点A，。