【数学】黑龙江省七台河市2018届高三上学期期末联考数学(理)试题含解析

2017-2018学年度上学期期末联合考试
高三数学（理科）试卷
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以，因此，故选C.
点睛：集合是高考中必考的知识点，一般考查集合的表示、集合的运算比较多．对于集合的表示，特别是描述法的理解，一定要注意集合中元素是什么，然后看清其满足的性质，将其化简；考查集合的运算，多考查交并补运算，注意利用数轴来运算，要特别注意端点的取值是否在集合中，避免出错．
2. 复数（是虚数单位），则（）
A. B. C. -1 D.
【答案】D
【解析】因为复数，所以，故选D.
点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数，共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化，转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分．
3. 已知条件，条件，则“”是“非”的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件【答案】A
【解析】由条件知，，由条件知，因为
，反之不成立，所以“”是“非”的充分不必要条件，故选A.
4. 设实数满足不等式，则的最小值是（）
A. -1
B.
C. 2
D.
【答案】B
【解析】作出可行域如下图所示：
设，则只需求的最小截距，平移直线，当直线经过点时，
的截距最小，此时，故选B.
5. 若，则等于（）
A. B. C. 1 D.
【答案】B
【解析】由定积分定义知：,解得，故选B.
6. 已知平面向量，满足，，与的夹角为，以为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条长度为（）
A. 2
B.
C. 1
D.
【答案】B
【解析】因为与的夹角为，所以此平行四边形的两条对角线中较短的一条长度为，而
，故选B.
7. 已知公差不为零的等差数列中，有，数列是等比数列，，则
（）
A. 16
B. 8
C. 4
D. 2
【答案】A
【解析】在等差数列中，，由得，所以或
，因为等比数列中，，所以，又因为，故选A.
8. 甲、乙两个射手的奥运预选赛的6次射击的成绩统计如下图的茎叶图，设甲、乙两组数据的平均数分别为，，标准差分别为，，则（）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】A
【解析】因为，，所以
，因为
，所以，故选A.
9. 已知函数，则以下判断中正确的是（）
A. 函数的图象可由函数的图象向左平移而得到
B. 函数的图象可由函数的图象向左平移而得到
C. 函数的图象可由函数的图象向右平移而得到
D. 函数的图象可由函数的图象向左平移而得到
【答案】A
【解析】因为，所以函数
的图象可由函数的图象向左平移而得到，故选A.
10. 2017年江苏南京第二师范学院建设65周年院庆前夕，学院从8女4男中选出6人排练民
族舞《小河淌水》以备院庆演出.如果按性别分层抽取，则不同的抽取方法种数为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据分层抽样，需从男生中抽取4人，女生中抽取2人，故不同的抽样方法共有
种，故选C.
11. 已知函数在定义域内是增函数，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
在定义域R上是增函数，则需在每段上都是增函数，且左边的最大值小于等于右边的最小值，故当时，恒成立，即且，解得，故选A.
点睛：解分段函数单调性问题时，需要考虑两段函数都是增函数或减函数，其次考虑两段函数的分界点，如果是增函数，则左侧函数的最大值要小于等于右侧函数的最小值，反之，左侧函数的最小值要大于等于右侧函数的最大值.
12. 已知抛物线的焦点，直线与交于两点，且，则直线的斜率可能为（）
A. B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】设A、B两点坐标分别为
，
由题意，设直线AB的方程为，代入抛物线方程得：，因为直线与抛物线有两个交点，所以，，，把代入即可解得
，故选A.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 设等差数列的前项和为，则，，，成等差数列.类比以上结论有：设等比数列的前项积为，则，_________，成等比数列.
【答案】
【解析】由于等差数列的特征是差，等比数列的特征是比，因此运用类比推理的思维方法可
得：，，成等比数列，应填答案。

14. 如图所示是一个中国古代的铜钱，直径为，中间是边长为的正方形，现向该铜钱上任投一点，则该点恰好落在正方形内的概率为__________．
【答案】
【解析】由圆的直径为知圆的面积，正方形面积，所以现向该铜钱上任投一点，则该点恰好落在正方形内的概率为，故填.
点睛：解决此类问题，首先要分析试验结果是不是无限个，其次要分析每个结果是不是等可能的，符合以上两点才是几何概型问题，确定是几何概型问题后，要分析时间的度量是用长度还是面积，体积等，然后代入几何概型概率公式即可.
15. 已知展开式的所有项系数之和为81，则的常数项为
__________．
【答案】-2
【解析】因为展开式的所有项系数之和为81，所以，解得，所以
中的常数项为，故填.
16. 若圆上有且只有两个点到直线的距离等于1，则半径的取值范围是__________．
【答案】
【解析】试题分析：平面内到直线的距离等于1的点在与已知直线平行，且距离等于1的两条平行线上，故只需圆与两条平行线有两个公共点即可，由图知，当时满足题意.
考点：1、直线和圆的位置关系；2、点到直线的距离.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 设的内角所对的边长分别为，且，求的值.
【答案】4
【解析】试题分析：
．
考点：三角恒等变换.
18. 2017年7月4日，外交部发言人耿爽就印军非法越境事件召开新闻发布会，参加的记者总人数为200人，其他区性的分类如下：
因时间的因素，此次招待会只选10位记者向耿爽提问，但每位记者至多提问一次.按照分层抽样法，欧美恰有1位记者得到提问机会.
（1）求的值；
（2）求前四次提问中，中国大陆记者得到提问的人数的分布列及数学期望.
【答案】(1)；（2）分布列见解析，期望为．
【解析】试题分析：（1）由题意知抽样比为，欧美恰有一位提问，故，从而求出；（2）按照分层抽样法，则中国大陆将有3位记者得到提问机会，则的可能取值为0,1,2,3，按照超几何分布即可求出其分布列和期望.
试题解析：
由（1）∵，∴，∴.
（2）按照分层抽样法，则中国大陆将有3位记者得到提问机会，其他地区将有7位记者得到提问机会.
设为前四次提问中中国大陆记者得到提问的人数，则的可能取值为0,1,2,3.；
；；；.
∴的分布列为：
则.
19. 如图所示，平面图形中，其中矩形的边长分别为，，等腰梯形
的边长分别为，.现将该平面图形沿着折叠，使梯形与矩形垂直，再连接，得到如图所示的空间图形，对此空间图形解答如下问题：
（1）证明：；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】试题分析：（1）因为，根据面面垂直的性质，可证明平面，即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量及平面的法向量，利用法向量夹角即可求出......................
试题解析：
解法一：（1）证明：∵四边形是矩形，∴.
∵平面平面，平面平面，∴平面.
∵平面，∴.
（2）如图所示，作，，垂足分别为，过分别作，，交
分别于，连接.
∵为直角三角形，且，，∴.
在等腰梯形中，易求，
而，
由题可知，在平面的射影为，
∴.
可知平面与平面所成二面角为，而.
解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，（1）则，，，，
，.
，，
∵，
∴.
（2）设平面的法向量为，
则，即，
不妨取，则.
同理可得平面的法向量为.
.
二面角的角的余弦值为.
20. 实轴长为的椭圆的中心在原点，其焦点，在轴上，抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，两曲线在第一象限内相交于点，且，的面积为3.
（1）求椭圆和抛物线的标准方程；
（2）过点作直线分别与抛物线和椭圆交于，，若，求直线的斜率.
【答案】（1），；（2）．
【解析】试题分析：（1）根据实轴长为且，的面积为3列方程求出c,即可求椭圆方程，再根据点A的坐标求抛物线方程；（2）设直线的方程为，分别联立椭圆和抛物线方程，根据根与系数的关系得和，再根据，联立条件即可求出.
试题解析：
（1）设椭圆方程为，，，
由题意知，
解得，∴.椭圆的方程为.
∵，∴，代入椭圆的方程得，
将点坐标代入得抛物线方程为.
（2）设直线的方程为，，，
由，得，化简得.
联立直线与抛物线的方程得，
∴.①
联立直线与椭圆的方程，
得，
∴.②
∴，
整理得：，∴，所以直线的斜率为.
点睛：求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立的方程，求出即可，注意
的应用；涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用．
21. 已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）对任意的，，恒有，求正实数的取值范围.
【答案】（1）①当时，所以增区间是；②当时，增区间是与
，减区间是；③当时，增区间是与，减区间是
；
④当时，增区间是，减区间是；（2）．
（1）先确定函数定义域然后求导，再对参数a分类讨论，求出和
【解析】试题分析：
的解，即可求出单调区间；（2）由（1）知在上为减函数.若，则原不等式恒成立，若，不妨设，则，，
所以原不等式即为：对任意的，恒成立，转化为研究
在的单调性，再利用导数即可求出正实数的取值范围.
试题解析：
（1），
令，则，.
①当时，，所以增区间是；
②当时，，
所以增区间是与，减区间是；
③当时，，
所以增区间是与，减区间是；
④当时，，
所以增区间是，减区间是.
（2）因为，所以，
由（1）知在上为减函数.
若，则原不等式恒成立，∴.
若，不妨设，则，，
所以原不等式即为：，
即对任意的，恒成立.
令，
所以对任意的，有恒成立，
所以在闭区间上为增函数.
所以对任意的，恒成立.
而，
，化简即，即，其中.
∵，∴，∴只需.
即对任意恒成立.
令，，恒成立.
∴在闭区间上为减函数，则，
∴，解得.
点睛：处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. 选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以为极
点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.
（1）若，判断两曲线的位置关系；
（2）若曲线上的点到曲线的最大距离为3，求的值.
【答案】（1）相交；（2）1．
【解析】试题分析：（1）l化为普通直角坐标系下方程后，利用圆心到直线的距离判断其位置关系；（2）先求圆心到直线的距离d，最大距离为.
试题解析：
由已知得曲线的普通方程为，表示圆；曲线的普通方程为
，表示直线.
（1）若，则圆心到直线的距离，故两曲线相交.
（2）由圆心到直线的距离，得最大距离为，
∴，.
23. 选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）若不等式的解集为，求实数的值；
（2）在（1）的条件下，若存在实数使成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）．
【解析】试题分析：（1）根据不等式解的端点就是对应方程的根即可求解；（2）分离参数，转化为求的最小值即可解决.
试题解析：
（1），，即得，得.
（2）∵，∴.
∵，且存在实数使，
∴.。