2019年河南省洛阳市中考数学一模试卷

一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.
1.（3分）下面几个数中，最小的数是（）
A.-3 B・・n C.2V2 D.0
I解答】解：-nV・3V0V2克，
・.・所给的几个数中，最小的数是・n.
故选：B.
2.（3分）目前世界上能制造的芯片最小工艺水平是5纳米，国产芯片的最小工艺水平理论
上是12纳米，已知1纳米=109米，用科学记数法将12纳米表示为（）米.
A.12X109
B. 1.2X1010
C. 1.2X108
D.0.12X108
【解答】解：.・.1纳米=109米，
•.•12纳米表示为：12X109米=1.2X108米.
故选：C.
3.（3分）如图的几何体是由五个小正方体组合而成的.则这个几何体的主视图是（）
□
【解答】解：从正面看第一层是三个正方形，第二层是左边一个正方形，如图所示:
4.（3分）下列运算正确的是（）
A.（x+y）2=J+y2
B.（—^xy2）5=—*
C.ESx2
D.J（_2）2=±2
【解答】解：A、（x+y）2=a2+2a?+v2.故错误：
8.(-扣，2)3=-pA正确:
C、故错误；
D、V(-2)2=2.故错误，
故选：B.
5.(3分)如图是成都市某周内日最高气温的折线统计图.关于这7天的日最高气温的说法
C.中位数是24C
【解答】解：由留可得,B.众数是28C D.平均数是26C
极差是：3O・2O=1OC，故选项A错误,
众数是28C,故选项8正确，
这组数按照从小到大排列是：20、22、24、26、28、28、30,故中位数是26。

，故选项C错误，
f—20+22+24+26+28+28+303』
平均数是：-------------------------=25-°C.故选项D错误，
故选：B.
6.(3分)“绿水青山就是金山银山”.某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了
迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%,结果提前30天完成了这一任务.设原计划每天绿化的而积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是() 60606060
x~(l+25%)x—30 B.(1+25%)X-x ~30
60x(1+25%)6060 60X(1+25%)
C.---------------=30
D.—-------------=30
X X X X
【解答】解：设原计划每天绿化的面积为X万平方米，则实际工作每天绿化的面积为(1+25%)x万平方米，
60 60
依题意得—击布=3。

・故选：A.
7. （3分）关于工的一元二次方程袜=。

有两个实数根，则北的取值范围是（A. AW-4
B. &V -4
C. &W4
D. Y4
【解答】解：根据题意得△=42・4旧0.
解得X4.
故选：C.
8.（3分）不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球.搅匀后从中摸
出一个球，放回挽匀，再摸出第二个球,两次都摸出白球的概率是（
2 A.—
9
1B.-34C.-95 D.—
9
【解答】解：画树状图得:
开始\
白
白
红
/K /T\ /T\
白白红白白红白白红
则共有9种等可能的结果，两次都摸到白球的有4种情况,
4
..•两次都摸到白球的概率为S.
故选：C.
9.（3分）如图，点8是直线，外一点，在/的另一侧任取一点K,以8为圆心，BK 为半径
作孤.交直线/于点M 、N ：再分别以M 、N 为圆心，以大于为半径作弧.两弧相
交于点P ：连接时交直线/于点A ：点C 是直线/上一点，点D 、E 分别是线段拈、BC 的中点：F 在CA 的延长线上，ZFDA=ZB, AC=S. AB=6.则四边形AEDF 的周长为
C. 16
D.
18
【解答】解；由题意得.BALMN 、
:.BC=>/AB 2 +AC 2=\0,
..NA4C=",点E 是线段BC 的中点,
:.AE=BE= ；BC=5,:.ZEAB=ZB.
ZFDA = ZB,
•.•NFOA = N£/出,
:.DF//AE,
.••点D 、E 分别是线段A8、BC 的中点,:.DE//AC . DE=
四边形AEDF 是平行四边形.
四边形 AEDF 的周长=2X (4+5) =18,故选：D.
10. （3分）-ABCD 周长为8厘米，点。

是边A8上一点，旦AQ= 1厘米.动点P 从点A
出发，沿折线A・D・C 运动.设动点P 运动的长度为、厘米，线段AQ. PQ 所围
成图形的而枳为y 平方厘米，作出y 与工之间的函数图象如图所示.根据图象可以判定点P 运动所在的图形是（
当 x=2cm 是，y =0.5cm 2.
D.
A
B.D 2C
选项C,当A = 2时，）=§X1X 归=号（s?2）,故选项C 不合题意:
选项D，当x=2时，1x1 X2=1(c/n2).故选项D不合题意：
根据图象可知当x=lew时，y=O.25cw2,而选项A当x=lew时，y=0.5(cm2),故选项A不合题意：
选项B,当x=2WxW4时，v=^X1X1=0.5(cm2),故选项8符合题意.
故选：B.
二、填空题(本大题共5小题，每题3分，满分15分)
11.(3分)计算：但+(n-3.14)°=-1.
【解答】解：用+(n-3.14)0
=-2+1
故答案为：・1.
12.(3分)如图，矩形ABCD.半圆O与直角三角形EOF分别是学生常用的直尺，量角器
与三角板的示意图.己知图中点M处的读数是145°,则/FND的读数为55°
【徘答】解：由题意：zcaw=145°,ZEOF=90a.
:.ZFOC=55Q,
7AD//BC.
•.•ZFND=ZFOC=55°,
故答案为55。

.
13.(3分)点Pi(-I,yi).Pi(3.y2),P3(5.yj)均在二次函数y=ar-2<a+c(a<0)
的图象匕则yi,J2,\3的大小关系是_挡=坦>担.
【解答】解：二次函数-2.Q+C(“V0)的图象的对称轴为直线.<=—亲=1,而P】(-1,yi)和P2(3,哗)到直线x=l的距离都为2.P3(5.y3)到直线x=l的距离为4,
所以yi=^*2>V3.
故答案为yi=y2>y3・
14.（3分）如图,边长为2的正方形ABCD以A为中心顺时针旋转45。

到图中正方形旭’
C，位置，则图中阴影部分的面积为—n+8V?-12.
5C
D9
【解答】解：设CD交9C于点
B C
D9
由题意易知:CB'=0B r=OD=DC=2方一2,
•'•S间=S_S^OCB_S^ODC1
=45%富②2_2对x（2龙-2）2
=tt+8\/2—12.
故答案为：n+趴，一12.
15.（3分）如图，在RtAXflC中，/AC8=90°,且AC=8,BC=6.点F是边AC上一
动点，以直线时为轴把AABP折叠，使得点A落在图中点A'处，当W4'C是直角三角形时，则线段CP的长是_4或3.
B
【解答】解：如留1，当N/U'C=90°时，
•.•以直线8P为轴把如「折叠，使得点A落在图中点*处，:.AP=A f户，
:.ZPAA f=ZAA f P,
VZ4CA r+NRU'=NCA'P+ZAA9P=90°，
:.ZPCA9=^PA f C,
:.PC=PA f,
:.PC=:AC=4,
如图2.当ZACA r=9(广时.
V^RtAABC^.ZACe=90c,且AC=8,BC=6.
•.•AB=10,
•.•以直线BP为轴把zM"折叠.使得点A落在图中点A'处，.••A'8=AB=10,PA=PA f,
.••A'C=4,
设PC=x,
•.•AP=8・x,
VA f C2+PC2=PA r2,
.,.42+x2=(8-x)七
解得：x=3,
:.PC=3,
综上所述：当W C是直角三角形时，则线段CP的长是4或3,故答案为：4或3.
三、解答题（本大题共8小题.满分共75分.）
16.（9分）先化简，再求值：己竺箜士（x+i一二），•其中x的值是不等式组「xU
x-1+1<5的一个整数解.
【解答】解："-4：+4专（A.+l-
x-l X-l
=E*（如_2_）
尤一1x-1x-1
_（a2）2,a—1
I（x+2）（x-2）
=潟
i~x<3①
l2x+l<5@f
解①得，x>-3.
解②得，x<2.
则不等式组的解集为：-3VxW2,
则x=・1或0,
当x=-1时，原式=_]+；=—3
当刀=0时.原式=漏=-1.
17.（9分）某城市响应“绿水青山就是金山银山”的号召，准备在全市宣传开展“垃圾分
类”活动，先对随机抽取的100名公民的年龄段分布情况和对“垃圾分类”所持态度进行调查，并将调查结果分别绘成条形图（图1）、扇形图（图2）.
（1）补全条形图：
（2）扇形图中态度为“一般”所对应的扇形的圆心角的度数是36°:
（3）这次随机调查中，年龄段是“25岁以下"的公民中“不赞成”的有5名，它占“25岁以下"人数的百分数是50%；
（4）如果把所持态度中的“很赞同”和“赞同”统称为“支持”，这个城市.总人口大约500万人，则对开展“垃圾分类”持“支持”态度的估计有多少万人?
图2
【解答】解：（1）25〜35岁的公民所占的百分比为：1・10%・3S%・25%・10%=20%,
（2）360° X（1・18%・39%・33%）=36°.
答：扇形图中态度为''一般”所对应的扇形的圆心角的度数是36°.
故答案为36°:
(3)5：(100X10%)=5：10=50任.
故答案为50%；
（4）500X（33%+39%）=500X72%=360（万人）.
答：对开展“垃圾分类”持“支持”态度的估计有360万人.
18.（9分）如图，一次函数y=2r-1与反比例函数y=§任第一象限相交于点A、与'轴相
交于点8,与），轴相交于点C,且AB=3BC.
（1）求点A的坐标及反比例函数的解析式：
（2）现以点A为中心，把线段AC逆时针旋转90"得到AC:
①清在图中作出线段AC
②靖直接写出C'的坐标,并判断C'是否在己知的双曲线上.
【解答】解：（1）由一次函数V=2r-1可知C（0.-1）,
：.oc=\.
作AD±x轴于D.
:.AD//OC.
:.△BOC—WDA,
AD AB
•0=赤=3，
•.•AO=3,
•.•O点的纵坐标为3,
代入y=2x-1得，3=2l1,解得x=2,
•.•A（2.3）,
.・•反比例函数y=§经过点A、
..•A=2X3=6,
..•反比例函数的解析式为）=?;
（2）①如图所示:
②作AF_Ly轴于F・C f ELAD于E,
V ZCAC7=90°,ZDAF=90°.
在zMCF和AAC F E中
(^CAF=Z.C9AE
\z-AFC=AAEC1 =90°
Uf=AC
.e.zMCF^AAC,E(A45),
:.AE=AF=2. EC=FC=3+1=4,
:.C(6,1),
..•6X1=A.
在已知的双曲线上.
:乂F
C f
19.（9分）如图，zlABC为。

的内接三角形，AB为的直径，过A作A8的垂线，交
8C的延长线于点。

，的切线CE交AD于点£
（1）求证：CE=
（2）若AB=2.连接殄并延长，交。

于点F.填空：
①当济'=_VI+j_时，四边形AOCE为正方形；
②当EF=3时,四边形AECF为菱形.
D
【解答】证明:（I）7AB1AD.OA是OO的半径
•.•EA与00相切，
又TEC与。

相切,
•.•EA=EC,
7.：.AB与。

的直径.
A ZACB=ZACD=9Q J,
•.•ZACE+ZECD=90°,ZE4C+ZD=9O G,
:.DE=CE・
又VE4=EC
:.DE=EA=EC,
即CE=羊AO,
(2)①当四边形AOCE是正方形时，AO=OC=CE=AE=\.
:.OE=V2,
V OF=L
：.EF=\^2+1,
故当EF=克+1时，四边形AOCE是正方形：
②当四边形AECF是菱形，
•••AF=CF=CE=AE,ACLEF.
设NAFO=/OAF=x,ZAOE=2x(三角形外角)，在RtAAEO中a+2a=90・•侦=30°•
:.』AEC=60°
:.AF=AC=CF=AE=CE,
：.^ACF是等边三角形，
A ZAFO=30Q,
•../AOE=60°.
A OG=|OA=§,
GF=§+1=3,
二欧=3,
故当以=3时，四边形AECF是菱形;
故答案为：®V2+1,@3.
20.（9分）如阱我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的慰额.图2中的线段8C就是悬挂
在墙壁AM上的某块匾额的截面示意图，己知8C=1米，ZMBC=3T.从水平地面点D处看点G仰角ZAZ）C=45°.从点E处看点8.仰角/AEB=53"且DE=2.2米・求匾额悬挂的高度A8的长.（参考数据：sin37°cos37°铝?.tan37°铝：）
「解答】解：过C作CFLAM于F,过C作C/71/1。

于乩则四边形AHCF是矩形，所以AF=CH・CF=AH・
在RtAfiCF中，BC=L/CBF=3T.
BF=BCcos37°=0.8,CF=BCsin37°=0.6,
在RtAFAE中，ZB£A=53°,所以AE=
在RtACDW中，ZCDH=45°,
CH=DH=FA=O.^+AB,
AD=AH+DH=0.6+0.S+AB=\A+AB,
AD=AE+DE=剥8+2.2, 1.4+AB=膈8+2.2,
AB=3.2
即匾额悬挂的高度是3.2米.
21.（9分）洛闵某科技公司生产和销售A、8两类套装电子产品，3套A类产品和2套"类
产品的总售价是24万元；2套A类产品和3套8类产品的总售价是26万元，公司生产 一套A类产品的成本是2.5万元：生产B类产品的成本如表：
套数1 2 3 4 …
总成本8121620 …
（1）该公司每套A类产品或B类产品的售价分别是多少万元？
（2）公司为了生产的方便，只安排生产某一类电子产品且销售顺利，设生产销售某类电子产品x套：
①公司销售x套A类产品的利润表达式是v,= 1.5.x-；
公司销售'套B类产品的利润表达式是y?=2r-4:
②怎样安排生产，才能使公司总利润最高.
【解答】解：（1）设每套A类产品的售价是”万元，每套B类产品的售价是b万元，（3a+2》=24；,,（□=4
〔2a+33=26’顼“=6‘
答：该公司每套A类产品或8类产品的售价分别是4万元、6万元：
（2）①由题意可得，
公司销售x套A类产品的利润表达式是义=（4-2.5）x=1.5.k,
公司销售、套B类产品的利润表达式是y2=6x-<4.r+4）=2r-4,
故答案为：1.5x, It-4；
②令1.5x>2v-4,得xV8,
即如果总套数小于8套，则安排生产A类产品利润最高：
令L5a=2x・4.得x=8,
即如果总套数等于8套，则安排生产A类产品和生产B类产品利润一样；
令L5x<2r-4>得刀>8.
即如果总套数大于8套，则安排生产B类产品利润最高.
22.（9分）（1）问题发现
如图1.在C和RtACDE中，ZACfi=ZDC£=90°，ZCAB=ZCDE=45^，点。

是线段A8上一动点，连接BE.
填空:
①裟的值为1:⑰ZDBE的度数为90'
（2）类比探究
如图2,在RtzMBC和RlZlCDE中，匕AC8=NDCE=90°,ZCAB=ZCD£=60J,
点。

是线段AB t一动点,
BE
连接BE.请判断京的值及ZDBE的度数.并说明理由:
AD
（3）拓展延伸
如图3,在（2）的条件下,将点D改为直线AB上一动点，其余条件不变，取线段DE 的中点连接屈W、CM.若AC=2,则当△CBAJ是直角三角形时.线段的长是多少？清直接写出答案.
图3
【解答】解：(1)VZ4C5=ZDCE=90°•ZCAB=ZCDE=45°,
:.ZABC=ZCAB=45°=ZCDE=ZCED,
:.AC=BC,CD=CE,
V Z/tCB=ZDC£=90u,
••• ZACD=ZBCE.
在△ACD和△8CE中,
AC=BC
jl ACD=匕BCE，
CD=CE
AzMCD^ABC£(SAS),
•.•BE=AD,ZCAB=ZCBE=45°,
BE
:.ZDBE=ZABC+/CBE=",—=h
AD
故答案为：1,90。

BE l n （2）——=V3. /D8E=90° AD
理由如下：V ZACB=ZDCE=W . ZCAB=ZCDE=60Q ,A ZACD= /BCE, /CED=/ABC=3b
\tanZABC=tan30c =能=亍
.. ZACB = /DCE=" ， ZCAB=ZCDE=60Q .\Rt2MCB^RtADC£
AC CD
, BC 一 CE
AC BC c ..——=—，且/ACD= ZBCE CD CE
•.MCDsWCE
BE BC l = —= V3, /CBE=ZCAD="AU /iC
.. ZDBE= /ABC+/CBE=90°
（3）若点D 在线段A8上，如图,
:.BE= y]3AD
Z A B E = 90°
•.•AC=2,匕AC8=90° , ZC/1B=9O U
•••AB=4, BC=2\/3
ZECD=ZABE=90° ,且点财是 DE 中点，
:.CM=BM=如.
.•.△C8M 是直角三角形
:.CM 2+BM 2=BC 2= （2有）2.
:.BM=CM= V6
/.D£=2v z6
9：DB2+BE2=DE2,
:.(A-AD)2+(^AD) 2=24
:.AD=v5+l
:.BE=沔AD=3+焰
若点D在线段8A延长线上，如图
同理可得：DE=2>j6.BE=v哼AD
\9BD2+BE2=DE2.
:.（4+AD）2+（V3AD）2=24,
/.AD=V3-1
:.BE=有AO=3T5
综上所述:BE的长为3+归或3—归
23.（12分）如图1,抛物线y=a\2-条+c交x轴于A,8两点，交y轴于点C.直线y=一*+3
经过点3 C.
（1）求抛物线的解析式：
（2）若点P为直线BC下方的抛物线上一动点（不与点8・C重合），则△PBC的面积能够等于△BOC的面积吗？若能，求出相应的点P的坐标：若不能，清说明理由：
（3）如图2,现把^日。

平移至如图所示的位置，此时三角形水平方向一边的两个端点点O'与点8'都在抛物线上，称点0'和点8'为ABOC在抛物线上的一“卡点对”;
如果把旋转一定角度，使得其余边位于水平方向然后平移.能够得到这个三角形在抛物线上新的“卡点对二请直接写出在已知抛物线上所有“卡点对•’的坐标.
【解答】解：（1）分别把x=0,y=0代入一次函数表达式得：点C、8的坐标分别为（0, 3）、（4,0）.
将点矶c的坐标代入二次函数表达式得：e；is+c=o解得:
故抛物线的表达式为：
（2）直线•和直线平行,
直线）=和抛物线的交点就是满足条件的点P,
x=2
解得:T
即当（2,-|）时，两个三角形而积相同：
（3）抛物线的对称轴为；
①当O'B'在水平位置时，如图2所示.
O' B f=4,则点8’和O'的横坐标分别为?、
将横坐标代入二次函数表达式得：）=会，
故此时的“卡点对”坐标为（L —）和＜-.—
216 216
②当O'C在水平位置时，
O f C=3,则点8'和0’的横坐标分别为4. 1.
将横坐标代入二次函数表达式得:）=0,
故此时的“卡点对”坐标为（1,0）和（4,0）；
③
当B'C'在水平位置时.
同理可得：此时的“卡点对”坐标为（0,3＞和（5,3）：
故抛物线上所有“卡点对”的坐标（二—）和（匕—）.<1> 0）和（4, 0）、（0,3）
216216
和（5,3）.。