专升本高数一模拟题

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成人专升本高等数学—模拟试题一
一、选择题(每小题4分,共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,把所选项前的字母填写在题后的括号中)
1.设函数⎪⎩⎪
⎨⎧=≠+=0
0)
1ln(sin )(x a
x x x x f 在0=x 出连续,则:a 等于
A :0
B :
2
1
C :1
D :2 2.设x y 2sin =,则:y '等于
A :x 2cos -
B :x 2cos
C :x 2cos 2-
D :x 2cos 2 3.过曲线x x y ln =上0M 点的切线平行于直线x y 2=,则:切点0M 的坐标为 A :)0,1( B :)0,(e C :)1,(e D :),(e e
4.设)(x f 为连续函数,则:'⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎰x
a dt t f )(等于 A :)(t f B :)()(a f t f - C :)(x f D :)()(a f x f - 5.若0x 为)(x f 的极值点,则:
A :)(0x f '必定存在,且0)(0='x f
B :)(0x f '必定存在,且)(0x f '不一定等于零
C :)(0x f '不存在,或0)(0='x f
D :)(0x f '必定不存在 6.
⎰dx x 2sin 1
等于
A :C x +-
sin 1 B :C x
+sin 1 C :C x +-cot D :C x +cot 7.平面1π:0132=++-z y x 与平面2π:022=++y x 的位置关系是 A :垂直 B :斜交 C :平行不重合 D :重合 8.设)tan(xy z =,则:x
z
∂∂ 等于 A :
)(cos 2xy y - B :)(cos 2xy y C :2)
(1xy y
- D :2)(1xy y +
9.设函数22
2
2=,=z
z x y x
∂∂则
2
:2:4:4:0A y B xy C y D
10.微分方程0=+'y y 的通解是 A :x
e y = B :x
e
y -= C :x
Ce y = D :x
Ce y -=
二、填空题(每小题4分,共40分)
11.=
∞→x
x
x 3sin lim
12.=--→1
1
lim
21x x x
13. 设x
e y x
+=1,则:=
'y
14. 设(2)
3()n f x x -=,则:()(x)n f =
15.

=+2
1
2
1dx x x
16.设y y xy x z -++=2
2
23,则:=∂∂x
z
17.设
⎰+=C x F dx x f )()(,则:⎰=
xdx x f cos )(sin
18.幂级数
∑∞
=1
!n n
x
n 的收敛半径为
19.微分方程096=+'-''y y y 的通解为 20.曲线x x y 63
-=的拐点坐标是
三、解答题
21.(本题满分8分)设)(lim 3)(2
3
x f x x x f x →+=,且)(lim 2x f x →存在,求:2
lim ()x f x →
22.(本题满分8分)设⎩⎨
⎧+==2
32sin t
t y t a x ,求:dx dy
23.(本题满分8分)计算:⎰dx x x ln 1
24.(本题满分8分)设2
3
2yx xy z +=,求:y
x z
∂∂∂2
25.(本题满分8分)求以x
e y =1、x
e y 22=为特解的二阶线性常系数齐次微分方程.
26.(本题满分10分)将函数2
()2x
f x x x
=
+-展开成x 的幂级数. 27.(本题满分10分)设D 是由曲线e x x y ==,ln 及x 轴所围成的的平面区域 求:
(1) 平面区域D 的面积S ;
(2) D 绕y 轴旋转一周所成的旋转体的体积V . 28.(本题满分10分)计算二重积分2
2
D
x dxdy y
⎰⎰
,其中D 由直线2,y y x ==及双曲线1xy =所围成.
成人专升本高等数学模拟试题—参考答案
1、C
---++
+-+0000000
sin sin lim ()lim =lim =1,
lim ()lim =lim =1
ln (1+x)ln (1+x)=0=lim ()=lim ()=(0)=a x x x x x x x x x x
x x
f x f x x
x x f x f x f →→→→→→→→==因为在处连续,所以1 2、B 3、D
''0=(xlnx)=1+ln , 2.1+lnx=2,=.==ln M ,x x e x e y x 因为y 有题意知切线在此点的斜率为所以解得把代入中得(e e )
4、C
5、A
6、C
'2211
(cotx)=-
,=-cot +sin sin dx x c x
x ⎰因为所以
7、A
{}{}11221212
=1,-2,3,=2,1,0,=12+(-2)1+30=0,n n n n ππππ⨯⨯⨯⊥r u u r
r u u r
g 平面的法线向量平面的法线向量因为
所以 8、B 9、A 10、D
11、3 12、2 13、2
(1+x)
x
xe 14、6x
(1)(2)'3'2()(1)'2'()())()=3()=())=(3)=6n n n n f x f x x x f x f x x x
---==因为(,所以(
15、
15
ln 22
22
222222
12
112111==(1)=ln (1)+C 121212
115ln (1)=ln 1222
x x dx dx d x x x x x x dx x x +++++=++⎰
⎰⎰⎰因为,所以
16、2-3x y 17、(sinx)+C F
(sin )cos (sin )(sin )(sinx)+C f x xdx f x d x F ==⎰⎰
18、0
+1(+1)!1
=!,lim
=lim =lim (+1)==,R==0!n n n n n n
a n a n n a n ρρ→∞→∞→∞∞令因为所以收敛半径
19、312(C +C x)e x
20、(0,0)
21、解:设2
=lim (x)x A f →,则有3
(x)=x +3(*)f xA
对(*)两边取极限
32
2
lim (x)=lim(x +3)x x f xA →→
于是有=8+6A A 解得:8
=-5A 所以2
8lim ()=-5
x f x → 22、解:322(sin )=cos =d(2)=(3+4)dt
dx d a t a tdt
dy t t t t =+Q
22(3+4)dt 3+4==cos cos dy t t t t dx a tdt a t

23、解:111
=x=(lnx)=ln (lnx)+C ln ln d d x x x ⎰⎰原式
24、解:32'3'
22=4=3+4x xy z xy yx z y yx z y x =+∴+Q 即
25、解:由题意知:1、2是二阶线性常系数齐次微分方程特征方程的两根,于是可知特征方程
为:
所以以x
e y =1、x
e y 22=为特解的二阶线性常系数齐次微分方程为:''
'
-3+2=0y y y
26、解:2111111
()(),(2)(1)32313112
x f x x x x x x x =
=-=--+-++-
01
1,22,212
n
n n x x x ∞
==-<<-∑ 01(1),1 1.1n n n x x x ∞
==--<<+∑ 0001111()(1)(1),1 1.3232
n n n n n n n n n n f x x x x x ∞∞∞===⎡⎤⎡⎤∴=--=---<<⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑ 27、解:区域D 如图阴影部分所示。

曲线x y ln =与x 轴及e x =的交点坐标分别为)1,(),0,1(e (1)平面区域D 的面积1)ln (d ln |1
1
=-==

e
e
x x x x x S .
(2)D 绕y 轴旋转一周所成的旋转体的体积V
1
2
2
1
1
222220
1()d d (1).
2
2
|
y y y V e e y
e e y e e
e πππ
π
πππ=⨯⨯-=-==-
=
+⎰⎰
28、解:画出区域D 的图形,如图,如图三个顶点分别为1
(,2),(1,1),(2,2)2
A B C
由积分区域的形状可知,采用先x 后y 的积分次序较好, 即先对x 积分.
22
223
122211111()3y
y y D
y
x x dxdy dy dx x dy y y
y ==⎰⎰
⎰⎰⎰ 2
2254111111127()()332464
y dy y y y =-=+=⎰
28题
2-3+2=0r r。

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