2021年高三数学上学期第一次考试

2021年高三数学上学期第一次考试
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合，集合，则
A. B. C. D.
2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为
A． B． C． D．
3．下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是
A. B. C. D.
4．已知点在角的终边上，且，则的值为
A. B. C. D.
5．下列说法错误的是
A．若，则；
B．“”是“”的充分不必要条件；
C．命题“若，则”的否命题是：“若，则”；
D．已知，，则“”为假命题.
6．设函数的定义域为，是的极小值点,以下结论一定正确的是
A．B．是的极大值点
C．是的极小值点D．是的极大值点
7．设,函数的导数是,若是偶函数，则
A. 1
B. 0
C.
D.
8．已知函数，若，则实数
A. B. C. D. 或
9．已知函数的图像是下列四个图像之一，且其导函数的图像如右图
所示，则该函数的图像是
10．函数的图象如图所示，为了得到函数的图象，只需将的图象
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
11．定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立，则
A． B．
C． D．
12．函数与函数的图象所有交点的横坐标之和为
A．8 B．9 C．16
D．17
第Ⅱ卷
二、填空题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题中横线上) 13．已知，且，则．
14．已知奇函数的图象关于直线对称，当时，，则．
15．一物体沿直线以速度的单位为：秒，的单位为：米/秒的速度做变速直线运动，则该物体从时刻秒至时刻秒间运动的路程是．
16．若实数满足，则的最小值为．
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
已知．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若是第二象限的角，化简三角式，并求值．
18.（本小题满分12分）
提高立交桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。

在一般情况下，立交桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数。

当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当时，车流速度是车流密度的一次函数．（Ⅰ）当时，求函数的表达式；
（Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）．
19．（本小题满分12分）
已知函数的最小正周期为.
（Ⅰ）求函数，的单调增区间；
（Ⅱ）证明：无论为何值，直线与函数的图象不相切.
20．（本小题满分12分）
设32
()22,()(10cos 1)()f x x x x g x a x a R =-+=+∈.
（Ⅰ）求的值域；
（Ⅱ）若，，使得成立，求实数的取值范围.
21．（本小题满分12分）
已知函数
（Ⅰ）若实数，求函数在上的极值；
（Ⅱ）记函数，设函数的图像与轴交于点，曲线在点处的切线与两坐标轴所围成图形的面积为则当时，求的最小值.
22．（本小题满分12分）
已知函数的定义域为，对定义域内的任意，满足，当时，为常数，且是函数的一个极值点.
（Ⅰ）若时，，求实数的取值范围；
（Ⅱ）求证：.
高三第一次月考数学答案 一、 选择题 BACCB DADBC BD
二、 填空题 13. 14. 15. 16.
三、 解答题
17.解：（Ⅰ），解得：………………2分
……………………4分
（Ⅱ）1sin 1sin |cos ||cos |
x x x x +-==+ 是第二象限的角，
上式 ………………7分
，由及
， ……9分
，即 ………10分
18．解：（Ⅰ）由题意：当时，； …… ………2分
当时，设
再由已知得解得，所以………5分
故函数的表达式为 ………6分
（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得 ………8分
当时，为增函数，故当时，其最大值为
当时，
当时，在的最大值为
综上，当当时，在的最大值为………11分
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.…12分
19.解：（Ⅰ）2
()sin 22cos sin 2cos 21f x x x x x ωωωω=+=++
………………2分
的最小正周期为,，
即 …………3分
由，得…………5分
又，时，取时，取
的单调增区间为 ……………7分
（Ⅱ）
， …………10分
而直线的斜率为
在图象上不存在点，使得该点的导数为4，
即无论取得何值，直线与函数的图象相切.…………12分
20.解：（Ⅰ）令，则，
，在上单调递增…………3分
时，取得最小值，时，取得最大值1；
的值域为. …………………………6分
（Ⅱ），在单调增
的值域为
由时，
，，使得成立，
故有的值域是的值域的子集； …………………7分
当时，，
； ……………………9分
当时，，
；
当时，显然不符合题意；
综上，实数的取值范围为.
21.解：（Ⅰ），当时，由得
若则，在恒成立，
在单调递增，无极值； …………………3分
若，则当时，单调递减；当时单调递减，
所以时，有极小值，
无极大值. ………6分 （Ⅱ），令，则即
点处切线的斜率为
点处切线方程为 ………………8分
令得，令，得
2
11(1)()|1|||(1)2224(1)
a a S a a a a a --+∴=+=>-- …………………10分
令，244141()(4)4)2444t t S t t t t ++∴==++≥= 当且仅当即时，取等号，此时，的最小值为. ………12分
22．解：（Ⅰ）由题意对定义域内的任意，，为奇函数，
当时，，
则当时，，
由解得，经验证，满足题意； ……………3分
时， 当时，
令，
则当时，恒成立，转化为在上恒成立，………5分
，令，
，在上单调递增，
，，在上单调递增，
， 即实数的取值范围为.…………8分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当时，，即则
令，则，即…………10分
当时，可得 2122ln 2ln11,ln 3ln 21,1121
⨯⨯->-->-++
将以上不等式两端分别相加得：
即成立.……
……12分
232ln 4ln 31,,ln(1)ln 1311n n n n ⨯->-+->-++
40675 9EE3 黣23623 5C47 屇 ^31214 79EE 秮36125 8D1D 贝23177 5A89 媉B+27726 6C4E 汎B-27642 6BFA 毺。