2019届山东省泰安市高三上学期期末考试数学(文)试题 PDF版

１７． （１２ 分）
已知
ａ，ｂ，ｃ
分别是△ＡＢＣ
三个内角
Ａ，Ｂ，Ｃ
的对边，且
２ａｓｉｎ
(
Ｃ
＋
π ３
)
＝
槡３ｂ．
（１）求角 Ａ 的值．
（２）若 ｂ ＝ ，３ ｃ ＝ ４，点 Ｄ 在 ＢＣ 边上，ＡＤ ＝ ＢＤ，求 ＡＤ 的长．
１８． （１２ 分）
已知等差数列｛ａｎ｝的前 ｎ 项和为 Ｓｎ，且 ａ２ ＝ ，３ Ｓ４ ＝ １６，数列｛ｂｎ｝满足 ａ１ｂ１ ＋ ａ２ｂ２ ＋ …
槡 槡 槡 ｓｉｎＡｓｉｎＣ ＋ ３ｓｉｎＡｃｏｓＣ ＝ ３ｓｉｎＡｃｏｓＣ ＋ ３ｃｏｓＡｓｉｎＣ 槡 分 ｓｉｎＡｓｉｎＣ ＝ ３ｃｏｓＡｓｉｎＣ ４ 因为 ｓｉｎＣ≠０ 所以 槡 ｓｉｎＡ ＝ ３ｃｏｓＡ 槡 分 ｔａｎＡ ＝ ３ ５
高三年级考试
试卷类型：Ａ
数 学 试 题（文科）
２０１９ １
一、选择题（本大题共 １２ 小题，每小题 ５ 分，共 ６０ 分． 在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的． ）
１． 设集合 Ｕ ＝ ｛１，２，３，４｝，Ｍ ＝ ｛１，２，３｝，Ｎ ＝ ｛２，３，４｝，则 （ ） Ｕ Ｍ∩Ｎ ＝ ｛，｝ ｛，｝ Ａ． １ ２ Ｂ． ２ ３
＋ ａｎｂｎ ＝ ｎ．
（１）求｛ｂｎ｝的通项公式；
（２
）求数列｛ｂｎ ＋ ａｎ
１
｝的前
ｎ
项和
Ｔ
ｎ
．
１９． （１２ 分）
如图 １，在平行四边形 ＡＢＣＤ 中，ＡＢ ＝ ， ２ＡＤ ∠ＤＡＢ ＝ ６０°，点 Ｅ 是 ＡＢ 的中点，点 Ｆ 是
ＣＤ 的中点． 分别沿 、 ＤＥ ＢＦ 将△ＡＤＥ 和△ＣＢＦ 折起，使得平面 ＡＤＥ∥平面 ＣＢＦ（点 、Ａ Ｃ
＝
２ ５
ｔａｎ
β
－
π ４
＝
１ ４
Hale Waihona Puke ｔａｎα＋
π ４
Ａ．
１ ６
Ｂ．
２２ １３
Ｃ．
３ ２２
Ｄ．
１３ １８
５． 已知数列｛ａｎ｝中，ａ１ ， ＝ １ ａｎ ＋１ ＝ ２ａｎ （ ）， ＋ １ ｎ∈Ｎ Ｓｎ 为其前 ｎ 项和，则 Ｓ５ 的值为
Ａ． ６３
Ｂ． ６２
Ｃ． ６１
Ｄ． ５７
６． 设 Ｄ 是△ＡＢＣ 所在平面内一点，Ａ→Ｂ ＝ ，则 ２Ｄ→Ｃ
槡槡 ∴
ｓｉｎＢ
＝
ｂｓｉｎＡ ａ
＝
３ ２
３ １３
高三数学试题（文）参考答案 第 １ 页（共 ６ 页）
槡 分 ∴ ｃｏｓＢ ＝ １ － ｓｉｎ２ Ｂ ＝ ５ ９
槡２ １３ 在 中， ， △ＡＢＤ ∵ ＡＤ ＝ ＢＤ ∴ ∠Ｂ ＝ ∠ＢＡＤ． 故 （ ） 分 ｓｉｎ∠ＡＤＢ ＝ ｓｉｎ π － ２Ｂ ＝ ２ｓｉｎＢｃｏｓＢ １０ 在△ＡＢＤ 中，由正弦定理得
{ 在平面直角坐标系 ｘＯｙ 中，曲线 Ｃ 的参数方程为 ｘ ＝２ｃｏｓβ （β 为参数）． 以坐标原 ｙ ＝ ２ｓｉｎβ ＋ １
点为极点，ｘ
轴正半轴为极轴建立极坐标系．
直线
ｌ
的极坐标方程为
（ ρｃｏｓ α
－
π ４
）＝
槡２
．
（１）求曲线 Ｃ 的极坐标方程与直线 ｌ 的直角坐标方程；
（２）已知直线 ｌ 与曲线 Ｃ 交于 、Ｍ Ｎ 两点，与 ｘ 轴交于点 Ｐ． 求｜ ＰＭ｜ ·｜ ＰＮ｜ ．
Ａ．
Ｂ→Ｄ ＝ Ａ→Ｃ －
３ ２
Ａ→Ｂ
Ｂ．
Ｂ→Ｄ ＝
３ ２
Ａ→Ｃ
－
Ａ→Ｂ
Ｃ．
Ｂ→Ｄ ＝
１ ２
Ａ→Ｃ
－
Ａ→Ｂ
Ｄ．
Ｂ→Ｄ ＝ Ａ→Ｃ －
１ ２
Ａ→Ｂ
高三数学试题（文）第 １ 页（共 ４ 页）
７．
函数
ｆ（ｘ）＝
ｌｎ
｜ｘ ｘ
｜
的图象大致是
８． ９．
ＡＣ若某．．几ｍ若若，何ｎｍｍ体是⊥的两ββ，三，条ｍα视∥不⊥图α同β，，如的则则图直αｍ所⊥线⊥示β，αα ，，则β ，该γ 几是 何三 体个 的不ＢＤ表．．同若若面的积ｍα平⊥∥为面γα，，，则αｎ⊥∥下βα列，，则则为β真ｍ⊥∥命γｎ题的是
在平面 ＢＦＤＥ 的同侧），连接 ＡＣ、ＣＥ，如图 ２ 所示．
（１）求证：ＣＥ⊥ＢＦ； （２）当 ＡＤ ＝ ２，且平面 平面 ＣＢＦ⊥ ＢＦＤＥ 时，求三棱锥 Ｃ － ＢＥＦ 的体积．
高三数学试题（文）第 ３ 页（共 ４ 页）
２０． （１２ 分）
已知椭圆 ： （ ）的离 Ｃ１
ｘ２ ａ２
＋
ｙ２ ｂ２
ＥＯ⊥ＢＦ．
所以 平面 分 ＢＦ⊥ ＣＯＥ． ５ 所以 ； 分 ＢＦ⊥ＣＥ ６ （２）由（１）知 ＣＯ⊥ＢＦ，又平面 平面 ＣＢＦ⊥ ， ＢＦＤＥ 则 平面 分 ＣＯ⊥ ＢＦＤＥ． ９ 因为 ＡＤ ＝ ２ 由（１）知△ＣＢＦ，△ＥＢＦ 均为正三角形，且边长均为 ２
∠ＤＡＢ ，点 ＝ ６０° Ｆ 是 ＣＤ 的 中 点，所 以 ＣＦ ＝ ， ＣＢ
∠ＦＣＢ
＝
，所以 ６０°
△ＣＢＦ
是等边三角形．
分 ２
连接 ，由 ， ，得 ＥＦ ＢＦ ＝ ＣＢ ＝ ＢＥ ∠ＥＢＦ ＝ ∠ＣＦＢ ＝ ６０°
是等边三角形 分 △ＢＥＦ
． ３
取 ＢＦ 的中点 Ｏ，连接 ＯＣ、ＯＥ，如图所示，则ＣＯ⊥ＢＦ，
… ａ１ ｂ１ ＋ ａ２ ｂ２ ＋ 可得： ① － ②
＋ ａｎ －１ｂｎ －１ ＝ ｎ － １
分 ② ４
ａｎｂｎ ＝ １
（ ） 分 ∴
ｂｎ
＝
１ ２ｎ －
１
５
当 ｎ ＝ １ 时，ｂ１ ＝ １，满足（）式
分 ∴
ｂｎ
＝
１ ２ｎ －
图象关于点（－
π １２
，０）对称，则下列判断正确的是
Ａ．
要得到函数
ｆ（ｘ）的图象，只需将
槡 ｙ ＝ ２ｃｏｓ２ｘ
的图象向右平移 π 个单位 ６
Ｂ． 函数 ｆ（ｘ）的图象关于直线 对称 ｘ ＝ １５２π
Ｃ．
当 ［ ｘ∈ －
π ，π ］时，函数
６６
ｆ（ｘ）的最小值为 －槡２
Ｄ．
函数
ｆ（ｘ）在［π６
，π ３
证明：直线 ｌ 过定点，并求出该定点的坐标．
２１． （１２ 分）
设 ，函数 （） ａ∈Ｒ
ｆ ｘ ＝ ａｌｎｘ － ｘ．
（１）若 ｆ（ｘ）无零点，求实数 ａ 的取值范围．
（）若 ，证明： （） ２ ａ ＝１
ｘｆ ′ ｘ ＜ ｅｘ － ２ｘ２ ．
请考生在第 ２２、２３ 题中任选一题作答． 如果多做，则按所做的第一题记分． ２２． ［选修 ４ －４：坐标系与参数方程］（１０ 分）
＝１
ａ ＞ｂ ＞０
心率为槡２，抛物线 ２
：Ｃ２ ｙ２
＝
－
４ｘ
的准线被椭
圆 Ｃ１ 截得的线段长为槡２． （１）求椭圆 Ｃ１ 的方程； （２）如图，点 、Ａ Ｆ 分别是椭圆 Ｃ１ 的左
顶点、左焦点，直线 ｌ 与椭圆 Ｃ１ 交于不同的 两点 、Ｍ Ｎ （Ｍ、Ｎ 都 在 ｘ 轴 上 方）． 且
∠ＡＦＭ ＝ ∠ＯＦＮ．
Ｄ． ２
１２．
定义在（０，＋
∞ ）上的函数
ｆ（ｘ）满足
ｘ２ ｆ
′（ｘ）＞ １，ｆ（２）＝
５ ２
，则关于
ｘ
的不等式
ｆＡ（．ｘ）（＜－３∞－，１１ｘ）的解集为Ｂ． （－ ∞ ，２） Ｃ． （０，１）
Ｄ． （０，２）
高三数学试题（文）第 ２ 页（共 ４ 页）
二、填空题：本大题共 ４ 小题，每小题 ５ 分，共 ２０ 分． １３． 函数 ｆ（ｘ）＝ ｌｎｘ ＋ １ 在点（１，１）处的切线方程为 ▲ ．
又 （， ） 分 ∵ Ａ∈ ０ π
∴
Ａ
＝
π ３
６
（２）由题意得：
ａ２ ＝ ｂ２ ＋ ｃ２ － ２ｂｃｃｏｓＡ
＝ １６
＋
９
－２
×４
×３
×
１ ２
＝ １３
槡 分 ∴ ａ ＝ １３ ７
又ａ ｓｉｎＡ
＝
ｂ ｓｉｎＢ
２ａｓｉｎ
Ｃ
＋
π ３
＝ ３ｂ
变形为 ( ) 槡 ２ｓｉｎＡ
ｓｉｎＣｃｏｓ
π ３
＋ ｃｏｓＣｓｉｎ
π ３
＝ ３ｓｉｎＢ
槡 槡 ［ （ ）］ ｓｉｎＡｓｉｎＣ ＋ ３ｓｉｎＡｃｏｓＣ ＝ ３ｓｉｎ π － Ａ ＋ Ｃ 槡 槡 （ ） 分 ｓｉｎＡｓｉｎＣ ＋ ３ｓｉｎＡｃｏｓＣ ＝ ３ｓｉｎ Ａ ＋ Ｃ ２
１４．
抛物线
ｙ２
＝
４ｘ
的焦点到双曲线
ｘ２
－
ｙ２ ３
＝１
的渐近线的距离是
▲
．
若实数 ， 满足{ ，则 的最小值为 ｘ ＋ ｙ －１≥０
１５．
ｘｙ
ｘ － ｙ － ２≤０
ｚ
＝
－
１ ３
ｘ
＋ｙ
▲ ．
ｙ≤１
１６． 在△ＡＢＣ 中，Ｄ 是 ＢＣ 的中点，Ｈ 是 ＡＤ 的中点，过点 Ｈ 作一直线 ＭＮ 分别与边 ， ＡＢ ＡＣ
（ 槡） Ａ．
１０ ＋ ２ ２
２
π ＋１
Ｂ．
１３π ６
（ 槡） Ｃ．
１１ ＋ ２ ２
π ＋１
（ 槡） Ｄ．
１１ ＋ ２ ２
２
π ＋１
１０．
已知函数 ｆ（ｘ）＝ （ Ａｓｉｎ ωｘ ＋ φ）（Ａ ＞ ０，ω ＞ ，０ ｜ φ ｜
＜
π ）的最大
２
值为槡２
，其图象相邻两条对称轴
之间的距
离为
π ２
，且
ｆ
（ｘ）的
高三数学试题（ 文） 参考答案及评分标准 ２０１９ １
一、选择题
题 号
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２
答 案
ＤＡＢＣＤＡＤＣＣＡＤＤ
二、填空题
槡 １３． ｙ ＝ ｘ
１４．
２３
１５．
－ １
１６．
９ ４
三、解答题
１７． （１２ 分）
( ) 解：（）由 槡 １
３ｄ
＝ １６．
２
解得： ， ａ１ ＝ １ ｄ ＝ ２ （ ）· 分 ∴ ａｎ ＝ １ ＋ ｎ － １ ２ ＝ ２ｎ － １ ３ … ∵ ａ１ ｂ１ ＋ ａ２ ｂ２ ＋ ＋ ａｎｂｎ ＝ ｎ ① 当 时，有 ｎ≥２
交于 ， ，若 ， ，其中 ， ，则 的最小值是 Ｍ Ｎ Ａ→Ｍ ＝ ｘ Ａ→Ｂ Ａ→Ｎ ＝ ｙ Ａ→Ｃ
ｘ ｙ∈Ｒ ｘ ＋ ４ｙ
▲ ．
三、解答题：共７０ 分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 第１７ ～２１ 题为必考题，
每个试题考生都必须作答． 第 、 ２２ ２３ 题为选考题，考生根据要求作答．
］上单调递增
１１．
设 Ｆ１、Ｆ２ 分别是双曲线 （ ）· （ Ｏ→Ｐ ＋ ＯＦ→２ Ｆ２→Ｐ ＝ ０ Ｏ
ｘ２ － ｙ２ ＝ １ 的左、右焦点，若双曲线右 为坐标原点），且 ，则 ４
｜ ＰＦ→１ ｜ ＝ λ ｜ ＰＦ→２ ｜ λ
支上存 的值为
在
一
点
Ｐ，使
Ａ．
１ ３
Ｂ．
１ ２
Ｃ． ３
ＡＤ ｓｉｎＢ
＝
ＡＢ ｓｉｎ∠ＡＤＢ
即 ＡＤ ｓｉｎＢ
＝
４ ２ｓｉｎＢｃｏｓＢ
槡 分 ∴
ＡＤ
＝
２ ｃｏｓＢ
＝４
５ １３
１２
１８． （１２ 分）
解：（１）∵设ａ等２ 差＝ ３数，Ｓ列４ ｛＝ａ１ｎ６｝的公差为 ｄ，
{ 分 ａ１ ＋ ｄ ＝ ３
∴
４ａ１
＋
４
× ２
１ ３
－
１ ５
＋
＋
１ ２ｎ －
１
－
１ ２ｎ ＋
１
１０
（ ） ＝
１ ２
１
－
１ ２ｎ ＋
１
分 ＝
ｎ ２ｎ ＋
１

１２
高三数学试题（文）参考答案 第 ２ 页（共 ６ 页）
１９． （１２ 分）
解：（１ ）因 为 四 边 形 ＡＢＣＤ 为 平 行 四 边 形，ＡＢ ＝ ， ２ＡＤ
１

６
（）设 （ ）·（ ） （ ） 分 ２
ｃｎ
＝
ｂｎ ＋１ ａｎ
＝
２ｎ － １
１
２ｎ ＋ １
＝
１ ２
１ ２ｎ －
１
－
１ ２ｎ ＋
１
８
… ∴ Ｔｎ ＝ ｃ１ ＋ ｃ２ ＋ ＋ ｃｎ
［（ ） （ ） … （ ）］ 分 ＝
１ ２
１
－
１ ３
＋
３． 已知函数 ｆ（ｘ）＝ ｌｎｘ ＋ ｘ２ － ２，则 ｙ ＝ ｆ（ｘ）的零点所在的区间为
（，） （，） （，） （，） Ａ． ０ １ Ｂ． １ ２ Ｃ． ２ ３ Ｄ． ２ ４
已知 （ ） ， （ ） ，则 （ ）的值为 ４．
ｔａｎ α ＋ β
Ｃ． ｛２，４｝
Ｄ． ｛１，４｝
已知命题 ： ， ，则 为 ２．
ｐ ｘ０ ∈Ｒ ｘ２０ ＋ ４ｘ０ ＋ ６ ＜ ０
ｐ
， Ａ． ｘ∈Ｒ ｘ２ ＋ ４ｘ ＋ ６≥０
， Ｂ． ｘ０ ∈Ｒ ｘ２０ ＋ ４ｘ０ ＋ ６ ＞ ０
， Ｃ． ｘ∈Ｒ ｘ２ ＋ ４ｘ ＋ ６ ＞ ０
， Ｄ． ｘ０ ∈Ｒ ｘ２０ ＋ ４ｘ０ ＋ ６≥０
２３． ［选修 ４ －５：不等式选讲］（１０ 分）
已知函数 （） ， ｆ ｘ ＝ ｜ ｘ － １ ｜ ＋ ｜２ｘ － ｍ ｜ ｍ∈Ｒ．
（１）当 ｍ ＝３ 时，解不等式 （） ｆ ｘ ≥３．
（２）若存在 ｘ０ 满足 （ｆ ｘ０）＜ ２ － ｜ ｘ０ － １ ｜ ，求实数 ｍ 的取值范围．
高三数学试题（文）第 ４ 页（共 ４ 页）