2020年高中物理竞赛辅导课件(电磁学)安培环路定理和应用(共25张PPT)
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的平面内半径为 r 的圆为安培环路
B dl
L
2rB oI
I
dB
dS '' dB'
dB ''
dS '
B 0 r R
B oI 2r
rR
B
无限长圆柱面电流外面的磁场与电流
都集中在轴上的直线电流的磁场相同
r
例3 求载流螺绕环内的磁场
设环很细，环的平均半径为R ， 总匝数为N，通有电流强度为 I
dI= 2rdr / 2 = rdr
磁场
dB = 0dI/2r =0dr/2
R1
o R2
阴影部分产生的磁场感应强度为
B
R1
0
1 2
0dr
0R1
2
其余部分：
B
R2
R1
1 2
0dr
1 2
0
(
R
2
R1 )
已知：B B则有R2 2R1
R1
o R2
安培环路定理及应用
一.定理表述
表述：在稳恒电流的磁场中，磁感应强度 B 沿任何
分析磁场结构，与长直螺旋管 类似，环内磁场只能平行与线 圈的轴线
根据对称性可知，在与环共 轴的圆周上磁感应强度的大 小相等，方向沿圆周的切线 方向。磁力线是与环共轴的 一系列同心圆。
B
R2
R1
L
p
设螺绕环的半径为R1, R2 ，共有N匝线圈。
以平均半径 R 作圆为安培回路 L,可得：
B dl L
电流密度
IS
(体)电流的(面)密度
如图 电流强度为I的电流通过截面S
若均匀通过 电流密度为 J I S
(面)电流的(线)密度
I
如图 电流强度为I的电流通过截线 l
l
若均匀通过 则
j I l
例: 一对同轴的无限长空心导体圆筒,内、外
半径分别为 R1 和 R2 ( 筒壁厚度可以忽略不 计 ) ,电流 I 沿内筒流去,沿外筒流回,如图所示。 (1) 计算两圆筒间的磁感应强度； (2) 求通过长度为 l 的一段截面(图中的斜线部 分)的磁通量。
闭合回路 L 的线积分，等于穿过这回路的所有电流强
度代数和的 o 倍
I n1
I2
L
数学表达式：
I1
B dl 0 Ii内
Ink
Ii
L
i
B dl 0
I i内
L
i
B 空间所有电流共同产生的
L 在场中任取的一闭合线
任意规定一个绕行方向
I3
dl L上的任一线元
I内 与L套连的电流
I1 I2 dl
作一安培回路如图：
bc和 da两边被电流平 面等分。ab和cd 与电 流平面平行,则有
dB' dB
dB' '
dl'
B dl L
B2l o jl
结果
B o j
2
p
l
dc
o dl''
ab
方向如图所示。
在无限大均匀平面电流的两侧的磁场都 为均匀磁场，并且大小相等，但方向相反。
作业：8—13，14, 15，16
2020 高中物理竞赛
电磁学
山大附中物理竞赛教研组 编
（含物理竞赛真题练习）
安培环路定理及应用
例：在截面均匀铜环上任意两点用两根长直导
线沿半径方向引到很远的电源上,求：环中心处 o 点
的磁感应强度。（湖北省物理竞赛夏令营）
E
解：如图所示的电流系统在
A
o 点激发的 B 为 5 段电流所 产生的 B 矢量的迭加。
任意回路
B dl
L
o
Ii
i
二. 安培环路定理在解场方面的应用
对于一些对称分布的电流，可以通过取 合适的环路 L，利用磁场的环路定理比较方 便地求解场量。(具体实施，类似于电场强度 的高斯定理的解题。)
例1 求:密绕长直螺线管内部的磁感强度
总匝数为 N 总长为 l
通过稳恒电流 ,电流强度为 I
解:(1)由安培环路定理
B dl B 2r 0I B 0I 2r
lI
(2)在截面上 r 处,取宽 为 dr ,长 l 的窄条,其面 积
dS =ldr
则 dm B dS 0 I ldr 2r
lI
dm
s
R2 0Il dr R1 2 r
0 Il ln R2 2r R1
祝大家竞赛顺利、学业有成
单位长度的电流）到处均匀。大小为
j
解：视为无限多平行 长直电流的场。
分析场点p的对称性
dB' dB
dB' '
p
做 po 垂线，取对称的
长直电流元，其合磁场 方向平行于电流平面。
dl' o dl''
无数对称电流元在 p点的总磁场方向平行于电流平面。
因为电流平面是无限大，故与电流平面等距离的 各点B的大小相等。在该平面两侧的磁场方向相反。
如图示的 I1 I2
L
Ii内 代数和
电流分布
i
与L绕行方向成右螺电流取正
如图示的电流 I1 取正
I
取负
2
证明步骤：
1. 在围绕单根载流导线的垂直平面内的圆回路。
L
B dl Brd
I
d B
B dl
L
L
oI rd 2r
oI
2. 在围绕单根载流导线的垂直平面内的任一回路。
B dl Brd
o 点在直电流 IAE 与 IFB 所在 延长线上。
I1
c o I2 D
R
B F
B AE B FB 0
又O点离IEF很远，此电流的磁场可不计。
I1电流在O点的磁场：
B1
L1
0
0 4
I1dl R2
0 I1L1 4R 2
B 方向：
I2电流在O点的磁场：
E
A
I1
c o I2 D
R
B F
B2
L2
B2R
oN I
B
B onI R1 r R2
R2
R1
n 为单位长度上的匝数。
其磁场方向与电流满足右手螺旋。
L
同理可求得 B 0 r R1
螺绕环管外磁场为零。
例4 无限大平板电流的磁场分布。设一无限大导
体薄平板垂直于纸面放置，其上有方向垂直于纸面朝外
的电流通过，面电流密度（即指通过与电流方向垂直的
B dl B内 dl Bdl B外 dl B dl
L
ab
bc
cd
da
B内ab 由安培环路定理
0
N l
abI
n N l
b B内a
c d
B 0nI
均匀场
例2 求无限长圆柱面电流的磁场分布(半径为 R )
分析场结构：有轴对称性
以轴上一点为圆心，取垂直于轴
0
0 4
I 2dl R2
0 I 2L2 4R 2
B 方向：
由电阻定理知, ACB 和 ADB的
电阻 R1 和 R2与其长度 L1 和 L2间
E A
有
I1
c o I2 D
R1 L1
R B
R2 L2
F
又R1和R2并联,故有
R1I1=R2I2
B
B1
B2
0 4R
2
( I 1 L1
I 2L2
)
0
例. 一半径为 R2 带电薄圆盘,其中半径为 R1
的阴影部分均匀带正电荷,面电荷密度为 + ,其 余部分均匀带负电荷,面电荷密度为 – ,当圆盘 以角速度 旋装转时,测得圆盘中心点 o 的磁感
应强度为零, 问 R1 与 R2 满足什么关系？
解：当带电圆盘转动时,可 看作无数个圆电流的磁场 在 o 点的迭加,
R1
o R2
半径为 r ,宽为 dr 的圆电流
L
I
dl
B
B dl
L
L
oI rd 2r
oI
d
3. 不围绕载流导线，在垂直平面内的任一回路
B dl B dl B dl
L
L1
L2
oI [ ()] 0
2
I
L1 L2
4. 围绕单根载流导线的任一回路 L
对 L上每一个线元 dl，可通过该垂直于导线的平面
作面参的考分， 量分dl解为则在此平面的分量dl//和垂直于 该平
B dl L
L// B dl//
L B dl dl B 0
B dl
L
L// B Hale Waihona Puke dl// 0IIL
n
1
I2
5设I. n有围LL所1BBI绕,有1n1I,多n电Idd2l根2流l,的I载3总流I0n场I0导nIIk1线n不穿的穿过任过回一回LL路BB回路nnL路L，1k 令为Lddl单lB根1I0,01导B穿线2过产回生B路nI的的Iik电磁n分流k场别
分析对称性 知内部场沿轴向
l B
I
方向与电流成右手螺旋关系
一个单位长度上
有 n匝的无限长
直螺线管。由于
是密绕， 每匝 视为圆线圈。
B
由对称性分析场结构
1. 只有轴上的分量； 2. 在与轴等距离的 平行线上磁感应 强度相等(因为是无限长) 。
l
因为
B内>> B外
B
取过场点的，每个边都相当小的，矩形环abcdIa
B dl
L
2rB oI
I
dB
dS '' dB'
dB ''
dS '
B 0 r R
B oI 2r
rR
B
无限长圆柱面电流外面的磁场与电流
都集中在轴上的直线电流的磁场相同
r
例3 求载流螺绕环内的磁场
设环很细，环的平均半径为R ， 总匝数为N，通有电流强度为 I
dI= 2rdr / 2 = rdr
磁场
dB = 0dI/2r =0dr/2
R1
o R2
阴影部分产生的磁场感应强度为
B
R1
0
1 2
0dr
0R1
2
其余部分：
B
R2
R1
1 2
0dr
1 2
0
(
R
2
R1 )
已知：B B则有R2 2R1
R1
o R2
安培环路定理及应用
一.定理表述
表述：在稳恒电流的磁场中，磁感应强度 B 沿任何
分析磁场结构，与长直螺旋管 类似，环内磁场只能平行与线 圈的轴线
根据对称性可知，在与环共 轴的圆周上磁感应强度的大 小相等，方向沿圆周的切线 方向。磁力线是与环共轴的 一系列同心圆。
B
R2
R1
L
p
设螺绕环的半径为R1, R2 ，共有N匝线圈。
以平均半径 R 作圆为安培回路 L,可得：
B dl L
电流密度
IS
(体)电流的(面)密度
如图 电流强度为I的电流通过截面S
若均匀通过 电流密度为 J I S
(面)电流的(线)密度
I
如图 电流强度为I的电流通过截线 l
l
若均匀通过 则
j I l
例: 一对同轴的无限长空心导体圆筒,内、外
半径分别为 R1 和 R2 ( 筒壁厚度可以忽略不 计 ) ,电流 I 沿内筒流去,沿外筒流回,如图所示。 (1) 计算两圆筒间的磁感应强度； (2) 求通过长度为 l 的一段截面(图中的斜线部 分)的磁通量。
闭合回路 L 的线积分，等于穿过这回路的所有电流强
度代数和的 o 倍
I n1
I2
L
数学表达式：
I1
B dl 0 Ii内
Ink
Ii
L
i
B dl 0
I i内
L
i
B 空间所有电流共同产生的
L 在场中任取的一闭合线
任意规定一个绕行方向
I3
dl L上的任一线元
I内 与L套连的电流
I1 I2 dl
作一安培回路如图：
bc和 da两边被电流平 面等分。ab和cd 与电 流平面平行,则有
dB' dB
dB' '
dl'
B dl L
B2l o jl
结果
B o j
2
p
l
dc
o dl''
ab
方向如图所示。
在无限大均匀平面电流的两侧的磁场都 为均匀磁场，并且大小相等，但方向相反。
作业：8—13，14, 15，16
2020 高中物理竞赛
电磁学
山大附中物理竞赛教研组 编
（含物理竞赛真题练习）
安培环路定理及应用
例：在截面均匀铜环上任意两点用两根长直导
线沿半径方向引到很远的电源上,求：环中心处 o 点
的磁感应强度。（湖北省物理竞赛夏令营）
E
解：如图所示的电流系统在
A
o 点激发的 B 为 5 段电流所 产生的 B 矢量的迭加。
任意回路
B dl
L
o
Ii
i
二. 安培环路定理在解场方面的应用
对于一些对称分布的电流，可以通过取 合适的环路 L，利用磁场的环路定理比较方 便地求解场量。(具体实施，类似于电场强度 的高斯定理的解题。)
例1 求:密绕长直螺线管内部的磁感强度
总匝数为 N 总长为 l
通过稳恒电流 ,电流强度为 I
解:(1)由安培环路定理
B dl B 2r 0I B 0I 2r
lI
(2)在截面上 r 处,取宽 为 dr ,长 l 的窄条,其面 积
dS =ldr
则 dm B dS 0 I ldr 2r
lI
dm
s
R2 0Il dr R1 2 r
0 Il ln R2 2r R1
祝大家竞赛顺利、学业有成
单位长度的电流）到处均匀。大小为
j
解：视为无限多平行 长直电流的场。
分析场点p的对称性
dB' dB
dB' '
p
做 po 垂线，取对称的
长直电流元，其合磁场 方向平行于电流平面。
dl' o dl''
无数对称电流元在 p点的总磁场方向平行于电流平面。
因为电流平面是无限大，故与电流平面等距离的 各点B的大小相等。在该平面两侧的磁场方向相反。
如图示的 I1 I2
L
Ii内 代数和
电流分布
i
与L绕行方向成右螺电流取正
如图示的电流 I1 取正
I
取负
2
证明步骤：
1. 在围绕单根载流导线的垂直平面内的圆回路。
L
B dl Brd
I
d B
B dl
L
L
oI rd 2r
oI
2. 在围绕单根载流导线的垂直平面内的任一回路。
B dl Brd
o 点在直电流 IAE 与 IFB 所在 延长线上。
I1
c o I2 D
R
B F
B AE B FB 0
又O点离IEF很远，此电流的磁场可不计。
I1电流在O点的磁场：
B1
L1
0
0 4
I1dl R2
0 I1L1 4R 2
B 方向：
I2电流在O点的磁场：
E
A
I1
c o I2 D
R
B F
B2
L2
B2R
oN I
B
B onI R1 r R2
R2
R1
n 为单位长度上的匝数。
其磁场方向与电流满足右手螺旋。
L
同理可求得 B 0 r R1
螺绕环管外磁场为零。
例4 无限大平板电流的磁场分布。设一无限大导
体薄平板垂直于纸面放置，其上有方向垂直于纸面朝外
的电流通过，面电流密度（即指通过与电流方向垂直的
B dl B内 dl Bdl B外 dl B dl
L
ab
bc
cd
da
B内ab 由安培环路定理
0
N l
abI
n N l
b B内a
c d
B 0nI
均匀场
例2 求无限长圆柱面电流的磁场分布(半径为 R )
分析场结构：有轴对称性
以轴上一点为圆心，取垂直于轴
0
0 4
I 2dl R2
0 I 2L2 4R 2
B 方向：
由电阻定理知, ACB 和 ADB的
电阻 R1 和 R2与其长度 L1 和 L2间
E A
有
I1
c o I2 D
R1 L1
R B
R2 L2
F
又R1和R2并联,故有
R1I1=R2I2
B
B1
B2
0 4R
2
( I 1 L1
I 2L2
)
0
例. 一半径为 R2 带电薄圆盘,其中半径为 R1
的阴影部分均匀带正电荷,面电荷密度为 + ,其 余部分均匀带负电荷,面电荷密度为 – ,当圆盘 以角速度 旋装转时,测得圆盘中心点 o 的磁感
应强度为零, 问 R1 与 R2 满足什么关系？
解：当带电圆盘转动时,可 看作无数个圆电流的磁场 在 o 点的迭加,
R1
o R2
半径为 r ,宽为 dr 的圆电流
L
I
dl
B
B dl
L
L
oI rd 2r
oI
d
3. 不围绕载流导线，在垂直平面内的任一回路
B dl B dl B dl
L
L1
L2
oI [ ()] 0
2
I
L1 L2
4. 围绕单根载流导线的任一回路 L
对 L上每一个线元 dl，可通过该垂直于导线的平面
作面参的考分， 量分dl解为则在此平面的分量dl//和垂直于 该平
B dl L
L// B dl//
L B dl dl B 0
B dl
L
L// B Hale Waihona Puke dl// 0IIL
n
1
I2
5设I. n有围LL所1BBI绕,有1n1I,多n电Idd2l根2流l,的I载3总流I0n场I0导nIIk1线n不穿的穿过任过回一回LL路BB回路nnL路L，1k 令为Lddl单lB根1I0,01导B穿线2过产回生B路nI的的Iik电磁n分流k场别
分析对称性 知内部场沿轴向
l B
I
方向与电流成右手螺旋关系
一个单位长度上
有 n匝的无限长
直螺线管。由于
是密绕， 每匝 视为圆线圈。
B
由对称性分析场结构
1. 只有轴上的分量； 2. 在与轴等距离的 平行线上磁感应 强度相等(因为是无限长) 。
l
因为
B内>> B外
B
取过场点的，每个边都相当小的，矩形环abcdIa