数学全等三角形角平分线辅助知识点及练习题及答案

数学全等三角形角平分线辅助知识点及练习题及答案
一、全等三角形角平分线辅助
1．如图1，在ABC 中，AF ，BE 分别是BAC ∠和ABC ∠的角平分线，AF 和BE 相交于D 点．
（1）求证：CD 平分ACB ∠；
（2）如图2，过F 作FP AC ⊥于点P ，连接PD ，若45ACB ∠=︒，67.5PDF ∠=︒，求证：PD CP =；
（3）如图3，若23180BAF ABE ∠+∠=︒，求证：BE BF AB AE -=-．
2．如图1，已知正方形ABCD 的边长为1，点E 在边BC 上，若∠AEF=900，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F
（1）图1中若点E 是边BC 的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF ，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；
（2）如图2，若点E 在线段BC 上滑动（不与点B ，C 重合）．
①AE=EF 是否总成立？请给出证明；
②在如图2的直角坐标系中，当点E 滑动到某处时，点F 恰好落在抛物线2y x x 1=-++上，求此时点F 的坐标．
3．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容.2．线段垂直平分线.我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线MN 是线段AB 的垂直平分线，P 是MN 上任一点，连结PA 、PB ，将线段AB 沿直线MN 对称，我们发现PA 与PB 完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段的距离相等．已知：如图，MN ⊥AB ，垂足为点C ，AC ＝BC ，点P 是直线MN 上的任意一点．求证：PA ＝PB ．分析：图中有两个直角三角形APC 和BPC ，只要证明这两个三角形全等，便可证明PA ＝PB ．
定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．
定理应用：
（1）如图②，在△ABC中，直线m、n分别是边BC、AC的垂直平分线，直线m、n的交点为O．过点O作OH⊥AB于点H．求证：AH＝BH．
（2）如图③，在△ABC中，AB＝BC，边AB的垂直平分线l交AC于点D，边BC的垂直平分线k交AC于点E．若∠ABC＝120°，AC＝15，则DE的长为．
4．如图，已知等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延长线于点D，试说明：BF＝2CD．
5．如图，已知B (-1, 0)，C (1, 0)，A 为y 轴正半轴上一点，AB =AC ，点D 为第二象限一动点，E 在BD 的延长线上，CD 交AB 于F ，且∠BDC =∠BAC .
（1）求证：∠ABD =∠ACD ；
（2）求证：AD 平分∠CDE ；
（3）若在D 点运动的过程中，始终有DC =DA +DB ，在此过程中，∠BAC 的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC 的度数？
6．已知：等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°；AC=BC；∠1=∠3；BE⊥AD。

求证：BE=AD。

7．如图所示，在四边形ABCD 中，AC 平分,DAB CD CB ∠=，求证：
180B D ∠+∠=．
8．如图，在ABO ∆中，OA OB =，90AOB ∠=︒，AD 平分OAB ∠，OE AD ⊥于E ，交AB 于F .求证：（1）OD BF =；（2）2AD OF DE -=.
9．如图，在ABC ∆中，2ABC C ∠=∠，BE 平分ABC ∠，交AC 于E ，AD BE ⊥于D ，求证：2AC BD =.
10．已知：如图，在ABC ∆中，AB AC >，AD 平分BAC ∠，CD AD ⊥于D ，E 是BC 的中点，求证：()12
DE AB AC =-.
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一、全等三角形角平分线辅助
1．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析．
【分析】
（1）过D 点分别作三边的垂线，垂足分别为G 、H 、K ，根据角平分线的定义可证得DG=DH=DK ，从而根据角平分线的判定定理可证得结论；
（2）作DS AC ⊥，DT BC ⊥，在AC 上取一点Q ，使QDP FDP ∠=∠，通过证明SQD TFD △≌△和QDP FDP △≌△得到22.5PDC PCD ∠=∠=︒，从而根据等角对等边判断即可；
（3）延长AB 至M ，使BM BF =，连接FM ，通过证明AFC AFM △≌△得到AC AM =，再结合CE EB =即可得出结论．
【详解】
（1）证明：如图所示，过D 点分别作三边的垂线，垂足分别为G 、H 、K ，
∵AF ，BE 分别是BAC ∠和ABC ∠的角平分线，
∴DG DH DK ==，
∴CD 平分ACB ∠；
（2）证明：如图，作DS AC ⊥，DT BC ⊥，在AC 上取一点Q ，使QDP FDP ∠=∠． ∵CD 平分ACB ∠，
∴DS DT =，
∵67.5QDP FDP ∠=∠=︒，45ACB ∠=︒，
∴13545180QDF ACB ∠+∠=︒+︒=︒，
在四边形QDFC 中，180CQD DFC ∠+∠=︒，
又∵180DFT DFC ∠+∠=︒，
∴CQD DFT ∠=∠，
在SQD 和TFD △中，
90CQD DFT DS DT
DSQ DTF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩
∴SQD TFD △≌△，
∴QD FD =，
在QDP △和FDP 中
QD FD QDP FDP DP DP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴QDP FDP △≌△，
∴45QPD FPD ∠=∠=︒
又∵QPD PCD PDC ∠=∠+∠，22.5PCD ∠=︒，
∴22.5PDC PCD ∠=∠=︒，
∴CP PD =；
（3）证明：延长AB 至M ，使BM
BF =，连接FM ． ∵AF ，BE 分别是BAC ∠和ABC ∠的角平分线， ∴22180BAF ABE C ∠+∠+∠=︒，
又∵23180BAF ABE ∠+∠=︒，
∴C ABE CBE ∠=∠=∠，
∴CE EB =，
∵BM BF =，
∴BFM BMF ABE CBE C ∠=∠=∠=∠=∠，
在AFC △和AFM △中，
C BMF CAF BAF AF AF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴AFC AFM △≌△，
∴AC AM =，
∴AE CE AB BM +=+，
∴AE BE AB BF +=+，
∴BE BF AB AE -=-．
【点睛】
本题考查角平分线的性质与判断，以及全等三角形的判定与性质，灵活结合角平分线的性质构造辅助线是解题关键．
2．（1）△AGE 与△ECF （2）①成立②
)
2?21， 【分析】
（1）取AB 的中点G ，连接EG ，利用ASA 能得到△AGE 与△ECF 全等．
（2）①在AB 上截取AG=EC ，由ASA 证得△AGE ≌△ECF 即可证得AE=EF ．
②过点F 作FH ⊥x 轴于H ，根据FH=BE=CH 设BH=a ，则FH=a －1，然后表示出点F 的坐
标，根据点F 恰好落在抛物线2y x x 1=-++上得到有关a 的方程求得a 值即可求得点F 的
坐标．
【详解】
解：（1）如图，取AB 的中点G ，连接EG ，则△AGE 与△ECF 全等．
（2）①若点E 在线段BC 上滑动时AE=EF 总成立．证明如下：如图，
在AB 上截取AG=EC ，
∵AB=BC ，
∴BG=BE ．
∴△GBE 是等腰直角三角形．
∴∠AGE=180°－45°=135°．
又∵CF 平分正方形的外角，
∴∠ECF=135°．
∴∠AGE=∠ECF ．
又∵∠BAE+∠AEB=∠CEF+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠CEF ．
∴△AGE ≌△ECF （ASA ）．
∴AE=EF ．
②过点F 作FH ⊥x 轴于H ，
由①知，FH=BE=CH ，设BH=a ，则FH=a －1．
∴点F 的坐标为F （a ，a －1）．
∵点F 恰好落在抛物线2y x x 1=-++上，
∴2a 1a a 1-=-++．
∴a2=2．∴a2
=（负值不合题意，舍去）．
∴a121
-．
-=-．∴点F的坐标为(2,21)
3．（1）见解析；（2）5
【分析】
定理证明：先证明△PAC≌△PBC，然后再运用三角形全等的性质进行解答即可；（1）连结AO、BO、CO利用线段的垂直平分线的判定和性质即可解答；
（2）连接BD，BE，证明△BDE是等边三角形即可解答.
【详解】
解：定理证明：
∵MN⊥AB，
∴∠PCA＝∠PCB＝90°．
又∵AC＝BC，PC＝PC，
∴△PAC≌△PBC（SAS），
∴PA＝PB．
定理应用：（1）如图2，连结OA、OB、OC．
∵直线m是边BC的垂直平分线，
∴OB＝OC，
∵直线n是边AC的垂直平分线，
∴OA＝OC，
∴OA＝OB
∵OH⊥AB，
∴AH＝BH；
（2）如图③中，连接BD，BE．
∵BA＝BC，∠ABC＝120°，
∴∠A＝∠C＝30°，
∵边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，
∴DA＝DB，EB＝EC，
∴∠A＝∠DBA＝30°，∠C＝∠EBC＝30°，
∴∠BDE＝∠A+∠DBA＝60°，∠BED＝∠C+∠EBC＝60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴AD＝BD＝DE＝BE＝EC，
∵AC＝15＝AD+DE+EC＝3DE，
∴DE＝5，
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，掌握并灵活运用数学基本知识是解答本题的关键.
4．见解析
【分析】
作BF的中点E，连接AE、AD，根据直角三角形得到性质就可以得出AE＝BE＝EF，由BD 平分∠ABC就可以得出∠ABE＝∠DBC＝22.5°，从而可以得出∠BAE＝∠BAE＝∠ACD＝22.5°，∠AEF＝45°，由∠BAC＝90°，∠BDC＝90°就可以得出A、B、C、D四点共圆，求出AD＝DC，证△ADC≌△AEB推出BE＝CD，从而得到结论．
【详解】
解：取BF的中点E，连接AE，AD，
∵∠BAC＝90°，
∴AE＝BE＝EF，
∴∠ABD＝∠BAE，
∵CD⊥BD，
∴A，B，C，D四点共圆，
∴∠DAC＝∠DBC，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠DAC＝∠BAE，
∴∠EAD＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝45°，
∴∠ABD＝∠DBC＝22.5°，
∴∠AED＝45°，
∴AE＝AD，
在△ABE 与△ADC 中，
ABE DAC BAE ACD AE AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABE ≌△ADC ，
∴BE ＝CD ，
∴BF ＝2CD ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，四点共圆，直角三角形的性质，角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
5．（1）见解析；（2）见解析；（3）∠BAC 的度数不变化．∠BAC=60°．
【解析】
【分析】
（1）根据三角形内角和定理等量代换可得结论；（2）作AM ⊥CD 于点M ，作AN ⊥BE 于点N ，证明△ACM ≌△ABN 即可；（3）用截长补短法在CD 上截取CP=BD ，连接AP ，证明△ABD ≌△ACP ，由全等性质可知△ADP 是等边三角形，易知∠BAC 的度数.
【详解】
（1）∵∠BDC=∠BAC ，∠DFB=∠AFC ，
又∵∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC=180°，
∴∠ABD=∠ACD ；
（2）过点A 作AM ⊥CD 于点M ，作AN ⊥BE 于点N ．
则∠AMC=∠ANB=90°．
∵OB=OC ，OA ⊥BC ，
∴AB=AC ，
∵∠ABD=∠ACD ，
∴△ACM ≌△ABN （AAS ）
∴AM=AN ．
∴AD 平分∠CDE ．（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）；
（3）∠BAC 的度数不变化．
在CD 上截取CP=BD ，连接AP ．
∵CD=AD+BD，
AD=PD．
∵AB=AC，∠ABD=∠ACD，BD=CP，
∴△ABD≌△ACP．
∴AD=AP；∠BAD=∠CAP．
∴AD=AP=PD，即△ADP是等边三角形，
∴∠DAP=60°．
∴∠BAC=∠BAP+∠CAP=∠BAP+∠BAD=60°．
【点睛】
本题考查了三角形的综合，主要考查了三角形内角和定理、全等三角形的证明和性质，等腰等边三角形的性质和判定，采用合适的方法添加辅助线构造全等三角形是解题的关键. 6．见解析.
【解析】
【分析】
延长AC、BE交于F，首先由ASA证明△AEF≌△AEB，得到BE=BF，然后再次通过ASA证
明△ACD≌△BCF，得到AD=BF，问题得解.
【详解】
证明：延长AC、BE交于F，
∵∠1=∠3，BE⊥AE，
在△AEF和△AEB中，，
∴△AEF≌△AEB(ASA)，
∴FE=BE，
∴BE=BF，
∵∠ACD=∠BED=90°，∠ADC=∠BDE，
∴∠1=∠2，
在△ACD和△BCF中，，
∴△ACD≌△BCF（ASA），
∴AD=BF ，
∴BE=AD.
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线，两次证明全等是解题关键，也考查学生的推理能力，题目比较好，有一定的难度．
7．详见解析
【解析】
【分析】
过点C 分别作CE AB ⊥于E ，CF AD ⊥于F ，由条件可得出△CDF ≌△CEB ，可得∠B=∠FDC ，进而可证明∠B+∠ADC=180°．
【详解】
证明：过点C 分别作CE AB ⊥于E ，CF AD ⊥于F ，
∵AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，CF AD ⊥于F ，
∴CF=CE ，
在Rt △CDF 与Rt △CEB 中，CF=CE CD=CB
⎧⎨
⎩ ∴CBE CDF ∆∆≌， CBE CDF ∴∠=∠，
180ADC CDF ∠+∠=︒，
A C 180
B D ∴∠+∠=︒ .
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据HL 证明△CDF ≌△CEB 进而得出∠B=∠FDC ．
8．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)连接DF，证△FAE≌△OAE，推出AF=AO，∠AFO=∠AOF，求出OD=DF，求出BF=DF，即可得出答案；
(2)在AD上截AG=OF，连接OG，证△AGO≌△OFB，推出GO=BF=OD，求出DE=GE，AD-OF=DG=2DE即可．
【详解】
(1)连接DF，
∵OE⊥AD，
∴∠AEF=∠AEO=90°，
∵AD平分∠FAO，
∴∠EAF=∠OAE，
又∵AF=AF，
∴△EAF≌△OAF(ASA)，
∴AF=AO，∠AFO=∠AOF，
∵AD⊥OF，
∴EF=EO，
∴DF=DO，
∴∠DFO=∠DOF，
∵∠AFO=∠AOF，
∴∠AFD=∠AOB=90°，
∵∠AOB=90°，AO=BO，
∴∠B=45°，
∴∠FDB=∠AFO-∠B=45°=∠B，
∴BF=DF，
∴OD=BF；
(2)在AD上截AG=OF，连接OG，
∵∠OAB=∠B=45°，AD平分∠OAB，
∴∠OAG=22.5°，
∵OD=DF，
∴∠DFO=∠DOF，
∵∠FDB=45°=∠DFO+∠DOF，
∴∠FOB=22.5°=∠OAG，
∴△AGO≌△OFB(SAS)，
∴GO=BF=OD，
∵OE⊥AD，
∴DE=GE，
∴AD-OF=DG=2DE．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质，线段垂直平分线性质的应用，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
9．详见解析
【解析】
【分析】
延长BD至N，使DN=BD，易得AD垂直平分BN，继而证得AE=EN，则可证得结论．【详解】
延长BD至N，使DN=BD，连接AN．
∵AD⊥BE，
∴AD垂直平分BN，
∴AB=AN，
∴∠N=∠ABN，
又∵BE平分∠ABC，∠ABC=2∠C，
∴∠ABN=∠NBC=∠C，
∴∠NBC=∠C，
∴AN∥BC，
∴∠C=∠NAC，
∴∠NAC=∠N，
∴AE=EN，
∵BE=EC，
∴AC=BN=2BD．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质以及平行线的判定与性质．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
10．见解析.
【解析】
【分析】
延长CD交AB于点F，然后利用“角边角”证明△ADC和△ADF全等，根据全等三角形对应
边相等可得CD=DF，AC=AF，再根据三角形的中位线定理进行证明即可.
【详解】
如图，延长CD交AB于点F，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠FAD，
∵CD⊥AD，
∴∠ADC=∠ADF=90°，
又AD＝AD
∴△ADC≌△ADF(ASA)，
∴CD=DF，AC=AF，
∵点E是BC的中点，
∴DE是△BCF的中位线，
∴DE=1
BF，
2
∵BF=AB-AF=AB-AC，
∴DE=1
(AB-AC)．
2
【点睛】
本题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，作辅助线并证明DE是三角形的中位线是解题的关键．。