2014届高考数学(理)一轮复习：第一篇 第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件 含答案

第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件
A级基础演练（时间：30分钟满分：55分）
一、选择题（每小题5分，共20分）
1．（2012·福建）下列命题中,真命题是
( )．
A．∃x0∈R，e x0≤0
B．∀x∈R，2x〉x2
C．a＋b＝0的充要条件是错误!＝－1
D．a〉1，b〉1是ab>1的充分条件
解析因为∀x∈R,e x>0，故排除A；取x＝2，则22＝22，故排除B；a＋b＝0，取a＝b＝0，则不能推出错误!＝－1，故排除C。

应选D。

答案D
2．（2013·徐州模拟）命题“若f（x)是奇函数，则f(－x）是奇函数”
的否命题是（)．
A．若f（x)是偶函数，则f（－x)是偶函数
B．若f(x）不是奇函数，则f(－x）不是奇函数
C．若f（－x)是奇函数,则f（x)是奇函数
D．若f(－x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数
解析否命题既否定题设又否定结论，故选B。

答案B
3．（2012·重庆）已知f(x）是定义在R上的偶函数,且以2为周期,则“f（x）为［0，1］上的增函数”是“f（x）为[3，4]上的减函数”的( ）．
A．既不充分也不必要条件B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件D．充要条件
解析∵x∈［0，1]时，f（x)是增函数,又∵y＝f（x)是偶函数，∴x∈［－1,0]时，f(x)是减函数．当x∈［3，4］时，x－4∈[－1，0]，∵T＝2，∴f(x)＝f（x－4)．∴x∈［3,4]时，f(x)是减函数，充分性成立．反之：x∈[3，4］时，f（x）是减函数,x－4∈［－1，0]，∵T＝2，∴f（x）＝f(x－4），∴x∈［－1,0]时,f（x)是减函数，∵y ＝f(x)是偶函数，∴x∈[0，1］时，f（x)是增函数，必要性亦成立．答案D
4．方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是
( ）．
A．0<a≤1 B．a〈1
C．a≤1 D．0〈a≤1或a<0
解析法一（直接法)当a＝0时,x＝－错误!符合题意．
当a≠0时，若方程两根一正一负(没有零根)，
则错误!⇔错误!⇔a〈0；
若方程两根均负，则错误!⇔错误!⇔0〈a≤1.
综上所述,所求充要条件是a≤1.
法二（排除法)当a＝0时，原方程有一个负实根,可以排除A，D；当a＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B，所以选C。

答案C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．（2012·盐城调研)“m〈错误!"是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的________条件．
解析x2＋x＋m＝0有实数解等价于Δ＝1－4m≥0，即m≤错误!。

答案充分不必要
6．（2012·扬州模拟)下列四个说法:
①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；
②命题“设a，b∈R，若a＋b≠6，则a≠3或b≠3”是一个假命题;
③“x>2"是“错误!<错误!"的充分不必要条件；
④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．
其中说法不正确的序号是________．
解析①逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系，故①错误；②此命题的逆否命题为“设a，b∈R，若a＝3且b＝3,则a＋b＝6”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，②错误；③错误!
〈1
2
,则错误!－错误!＝错误!<0,解得x<0或x>2，所以“x〉2”是“错误!
〈1
2
”的充分不必要条件，③正确；④否命题和逆命题是互为逆否命题，真假性相同，故④正确．
答案①②
三、解答题(共25分）
7．（12分）分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假．
（1）若ab＝0，则a＝0或b＝0；
（2)若x2＋y2＝0，则x，y全为零．
解(1)逆命题:若a＝0或b＝0，则ab＝0，真命题．
否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0，真命题．
逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0，真命题．
(2)逆命题：若x,y全为零，则x2＋y2＝0，真命题．
否命题：若x2＋y2≠0,则x，y不全为零,真命题．
逆否命题：若x，y不全为零,则x2＋y2≠0,真命题．
8．(13分)已知p:x2－8x－20≤0,q：x2－2x＋1－a2≤0(a〉0）．若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解p：x2－8x－20≤0⇔－2≤x≤10，
q:x2－2x＋1－a2≤0⇔1－a≤x≤1＋a.
∵p⇒q，q⇒/ p，
∴｛x｜－2≤x≤10}｛x|1－a≤x≤1＋a｝．
故有错误!且两个等号不同时成立，解得a≥9。

因此，所求实数a的取值范围是［9,＋∞）．
B级能力突破（时间：30分钟满分:45分）
一、选择题(每小题5分，共10分）
1．(2013·皖南八校模拟）“m＝错误!"是“直线（m＋2)x＋3my＋1＝0与直线（m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互垂直”的
（)．
A．充分必要条件B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件
解析由两直线垂直的充要条件知（m＋2)(m－2）＋3m(m＋2)＝0，解得m＝－2或错误!，∴m＝错误!时，两直线垂直，反过来不成立．答案B
2．(2012·潍坊二模)下列说法中正确的是
( )．
A．命题“若am2<bm2，则a<b”的逆命题是真命题
B．若函数f(x）＝ln错误!的图象关于原点对称,则a＝3
C．∃x∈R，使得sin x＋cos x＝错误!成立
D．已知x∈R，则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件
解析A中命题的逆命题是“若a<b，则am2〈bm2”是假命题,因为m＝0时，上述命题就不正确，故A错误；B选项，若f(x）的
图象关于原点对称，则f（x）为奇函数,则f(0)＝ln(a＋2)＝0,解得a ＝－1，故B错误;C选项,sin x＋cos x＝2sin错误!∈[－错误!,错误!]，且错误!∈［－错误!,错误!]，因此C是真命题．选项D，“x〉1”是“x>2”的必要不充分条件．故选C.
答案C
二、填空题（每小题5分,共10分）
3．(2012·长沙模拟)若方程x2－mx＋2m＝0有两根，其中一根大于3一根小于3的充要条件是________．
解析方程x2－mx＋2m＝0对应的二次函数f(x）＝x2－mx＋2m，∵方程x2－mx＋2m＝0有两根，其中一根大于3一根小于3，∴f(3)〈0，解得m〉9，即：方程x2－mx＋2m＝0有两根，其中一根大于3一根小于3的充要条件是m>9。

答案m>9
4．已知集合A＝错误!，B＝{x｜－1<x〈m＋1，x∈R｝,若x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是________．
解析A＝错误!＝{x｜－1〈x〈3}，
∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，∴A B,
∴m＋1〉3,即m>2。

答案(2,＋∞)
三、解答题(共25分)
5．(12分)求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0。

证明充分性：若a＋b＋c＝0，∴b＝－a－c，
∴ax2＋bx＋c＝0化为ax2－（a＋c)x＋c＝0，
∴（ax－c）（x－1)＝0，
∴当x＝1时，ax2＋bx＋c＝0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1。

必要性:若方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，
∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0，∴a＋b＋c＝0.
综上可知，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
6．(13分)已知全集U＝R，非空集合A＝错误!,
B＝错误!。

(1)当a＝错误!时,求(∁U B）∩A；
（2）命题p：x∈A,命题q:x∈B，若q是p的必要条件,求实数a 的取值范围．
解(1)当a＝错误!时，
A＝错误!＝错误!，
B＝错误!＝错误!,
∴∁U B＝错误!。

∴（∁U B)∩A＝错误!。

（2)∵a2＋2>a，∴B＝｛x｜a〈x<a2＋2}．
①当3a＋1〉2，即a>错误!时，A＝｛x｜2<x<3a＋1｝．∵p是q的充分条件，∴A⊆B。

∴错误!，即错误!〈a≤错误!.
②当3a＋1＝2,即a＝错误!时，A＝∅,不符合题意；
③当3a＋1〈2,即a〈错误!时,A＝｛x｜3a＋1〈x<2}，由A⊆B得错误!,∴－错误!≤a〈错误!。

综上所述,实数a的取值范围是
错误!∪错误!。