土木工程力学应力状态

研究方法： 三、研究方法：取单元体
单元体：ห้องสมุดไป่ตู้单元体：微小的正六面体 原始单元体： 原始单元体：单元体各侧面上应力均已知
四、主平面 主应力 主方向
主平面：单元体中剪应力等于零的平面 主平面： 主应力： 主应力：主平面上的正应力 主方向：主平面的法线方向 主方向：
五、应力状态的分类
单向应力状态：三个主应力中， 单向应力状态：三个主应力中，只有一个 主应力不等于零的情况 二向应力状态： 二向应力状态：三个主应力中有两个主应 力不等于零的情况 三向应力状态： 三向应力状态：三个主应力皆不等于零的 情况
§2 平面应力状态分析—解析法 平面应力状态分析— 一、斜截面上的应力
已知： 已知：单元体 σx，σy，τxy=τyx， α 研究与z轴平行的任一斜截面 上的应力 轴平行的任一斜截面c 上的应力。 研究与 轴平行的任一斜截面 e上的应力。 符号规则： 符号规则： θ 角：从x轴正方向反时针转至斜截面的 轴正方向反时针转至斜截面的 外法线方向为正，反之为负。 外法线方向为正，反之为负。 正应力：拉为正，压为负。 正应力：拉为正，压为负。 剪应力： 剪应力：使微元体或其局部产生顺时针方 向转动趋势者为正，反之为负。 向转动趋势者为正，反之为负。
σ max ≤ [σ ] τ max ≤ [τ ]
实际问题：杆件的危险点处于更复杂的 实际问题： 受力状态
σ
τ
薄壁圆筒承受内压
δ
σt
σx
破坏现象
脆性材料受压 和受扭破坏
钢筋混凝土梁
二、一点的应力状态
在受力构件内，在通过 在受力构件内， 同一点各个不同方位的 截面上， 截面上，应力的大小和 方向是随截面的方位不 同而按照一定的规律变 化 通过构件内某一点的各 个不同方位的截面上的 应力及其相互关系， 应力及其相互关系，称 为点的应力状态
2
α0对应σmax =
α0 + 90 对应σmin =
σ x +σ y
2
σ x +σ y
2
σ x −σ y 2 +τ xy − 2
2
三、最大和最小剪应力
dτα =0 dα σ x −σ y ⇔2 cos 2α − 2τ xy sin 2α = 0 2 σ x −σ y ⇔tg2α = 2τ xy
二、主应力
dσα =0 dα
⇔ −2
σ x −σ y
2 ⇔τα = 0
sin 2α − 2τ xy cos 2α = 0
2τ xy
⇔主方向tg2α = −
σ x −σ y
二、主应力
tg2α0 = − 2τ xy
σ x −σ y
σ x −σ y 2 +τ xy + 2
三、最大和最小剪应力
τmax
σ x −σ y 2 +τ xy =+ 2
2
τmin
σ x −σ y 2 +τ xy =− 2
2
例题： 例题： ：（1） 解：（ ）
谢谢大家 再见！ 再见！
第十章 应力状态分析
应力状态的概念 平面应力状态分析的解析法
§1 应力状态的概念 一、问题的提出
杆件在基本变形时横截面上应力的 分布规律
轴向拉压： 轴向拉压：
σ
τ
σ =
N A
M I ρ
p
圆轴扭转： 圆轴扭转：
τ =
n
平面弯曲： 平面弯曲：
σ τ
σ =
My Iz
QS z∗ τ = bI z
危险点处于单向应力状态或处于纯剪应 力状态，相应强度条件为： 力状态，相应强度条件为：
τβ = −
sin 2α − τxy cos 2α
σα +σ β = σ x +σ y = C 结论： 结论：两个相互垂直的截面正应力之和为常数 2、比较τα 、τβ : τα = −τβ 比较τ
结论：在相互垂直的两截面上的剪应力数值相 结论： 等，它们的方向是共同指向或背离这个 平面的交线（剪应力互等定理） 平面的交线（剪应力互等定理）
σα = τα =
σx + σy 2 σx − σy 2
+
σx − σy 2
cos 2α − τ xy sin 2α
sin 2α + τ xy cos 2α
֠讨论
1 、β=90ο + α
σβ = σx + σy 2 σx − σy 2 − σx − σy 2 cos 2α + τxy sin 2α
ΣΝ=0 σα dA+(τ xy dAcosα)sinα−(σx dAcosα)cosα +(τ yx dAsinα)cosα−(σy dAsinα)sinα=0 Σ T=0 τα dA−(τxy dAcosα)cosα−(σx dAcosα)sinα +(τyx dAsinα)sinα+(σy dAsinα)cosα=0