宁夏银川一中2014届高三第四次模拟考试 数学(理) Word版含答案

绝密★启用前
2014年普通高等学校招生全国统一考试
理 科 数 学
(银川一中第四次模拟考试)
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I 卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1．已知{}}2
2
2,1,2
x
M y y x N x y ⎧⎪===+=⎨⎪⎩则M N ⋂=
A ．{(1,1),(1,1)}-
B ．{1}
C ．
D ． [0,1]
2．i 为虚数单位，则2014
11i i +⎛⎫
= ⎪
-⎝⎭
A. i
B. 1-
C. i -
D.1
3．已知D 是ABC ∆的边BC 上（不包括B 、C 点）的一动点，且满足AD AB AC αβ=+，则1
1
α
β
+
的
最小值为
A. 3
B. 5
C. 6
D. 4
4．设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项 和n S =
A ．2744
n n + B ．2533n n + C ．2324
n n + D ．2
n n +5. 4
1(1)(1)x x
++的展开式中含3
x 的项的系数为
A ．4 B. 5 C. 6 D ．7
6．下列四个判断：
①某校高三一班和高三二班的人数分别是,m n ，某次测试数学平均分分别是,a b ，则这两个班的数学平均分为
2
a b
+； ②10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a ,中位数为b ,众数为c ，则有b a c >>； ③从总体中抽取的样本122211
11(,),(,),,(,),,n n
n n i i i i x y x y x y x x y y n n ====∑∑若记，则回归直线y =bx a
+必过点（,x y ）；
④已知ξ服从正态分布(0N ,2)σ，且(20)0.4P ξ-≤≤=，则(2)0.2P ξ>=. 其中正确判断的个数有： A ．3个
B ．0个
C ．2 个
D ．1个
7．在ABC ∆中，设命题B
c
A b C a p sin sin sin :==，命题ABC q ∆:是等边三角形，那么命题p 是命题q 的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
8． 若双曲线22
21(0)y x b b
-=>的一条渐近线与圆22
(2)1x y +-=至多有一个交点，则双曲线离心率的
取值范围是
A ．(1,2] B. [2,)+∞
C.
D. )+∞ 9．已知锐角βα,满足：5
1
cos sin =
-ββ， 3tan tan 3tan tan =⋅++βαβα，则cos α= A
B ．
C
D
10．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一
些有趣的性质，如:若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上.设抛物线
px y 22=p (＞)0，弦AB 过焦点，△ABQ 为其阿基米德三角形，则△ABQ 的面积的最小值为
A ．22
p B ．2p C ．22p D ．2
4p
11．假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进入同一部手机，若这两条短信进人手机的
时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为 A ．
425 B ．825 C ．2425 D ．1625
12．若存在正实数M ，对于任意(1,)x ∈+∞，都有()f x M ≤，则称函数()f x 在(1,)+∞ 上是有界函数．下
列函数： ①1()1f x x =
-； ②2()1x f x x =+； ③ln ()x
f x x
=； ④()s i n f x x x =. 其中“在(1,)+∞上是有界函数”的序号为
A. ②③
B. ①②③
C. ②③④
D. ③④
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．等差数列}{n a 中12014a =，前n 项和为n S ,
10
121210
S S -
2-=， 则2014S 的值为____.
14. 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为 .
15. 已知0a >,,x y 满足约束条件()133
x x y y a x ⎧≥⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
,若2z x y =+的最小值为1,
则a =_______
16．下表是某数学老师及他的爷爷、父亲和儿子的身高数据：
因为儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 ．
参考公式: 回归直线的方程是：
∧
∧+=a x b y
ˆ， 其中
x b y a x x
y y x x
b n
i i
n
i i i
∧
∧
==∧
-=---=
∑∑,)()
)((2
1
1
；其中i y 是与i x 对应的回归估计值.
服务时间/小时
参考数据：
18(3
1
2
=-∑=i i
x x
，18))((3
1
=--∑=i i i y y x x .
三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 17. （本小题满分
12分）
在ABC ∆中,,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，且满足sin 2A A
=. (1)求A 的大小；
(2)现给出三个条件：①2a =； ②45B =︒；③c =.
试从中选出两个可以确定ABC ∆的条件，写出你的选择并以此为依据求ABC ∆的面积 (只需写出一个选定方案即可,选多种方案以第一种方案记分) . 18.（本小题满分12分）
某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段[)75,80，[)80,85，[)85,90，[)90,95，[]95,100（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示． （1）求抽取的200位学生中，参加
社区服务时间不少于90小时的学生人 数，并估计从全市高中学生中任意选取 一人，其参加社区服务时间不少于90 小时的概率；
（2）从全市高中学生（人数很多）．．．．．．．．．．．．． 中任意选取3位学生，记ξ为3位学生 中参加社区服务时间不少于90小时的 人数．试求随机变量ξ的分布列和数学 期望E ξ和方差D ξ． 19. （本小题满分12分）
在正三角形ABC 中，E 、F 、P 分别是AB 、AC 、BC 边上的点，满足AE:EB ＝CF:FA ＝CP:PB ＝1:2（如图1）.将△AEF 沿EF 折起到EF A 1∆的位置，使二面角A 1－EF －B 成直二面角，连结A 1B 、A 1P （如图2） （1）求证：A 1E ⊥平面BEP ；
（2）求直线A 1
E 与平面A 1BP 所成角的大小； （3）求二面角B －A 1P －
F 的余弦值.
20.（本小题满分12分）
已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12
，右焦点到右顶点的距离为1．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）是否存在与椭圆C 交于,A B 两点的直线l ：()y kx m k =+∈R ，使得22OA OB OA OB +=-成立？若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由. 21.（本小题满分12分）
已知函数21()e 1x f x ax +=-+，a ∈R ．
（1）若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与直线e 10x y ++=垂直，求a 的值； （2）求函数()f x 的单调区间；
（3）设32e a <，当[0,1]x ∈时，都有()f x ≥1成立，求实数a 的取值范围．
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22.（本小题满分10分）选修4—1: 几何证明选讲．
如图，D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 上的点， 且不与△ABC 的顶点重合，已知AE 的长为m ，AC 的 长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程x 2－14x ＋mn ＝0 的两个根．
(1)证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；
(2)若∠A ＝90°，且m ＝4，n ＝6，求C ，B ，D ，E 所在圆的半径． 23.（本小题满分10分）选修4—4;坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线221:1C x y +=，以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线:(2sin )6l cos ρθθ-=.
（1）将曲线1
C 上的所有点的横坐标、2倍后得到曲线2C .试写出直线l 的直角坐标方程和曲线2C 的参数方程；
（2）在曲线2C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，并求出此最大值. 24．（本小题满分10分）选修4—5，不等式选讲
已知函数()|1||f x x x a =-+-
（1）若a=1，解不等式()2f x ≥；
（2）若1,,()|1|2a x R f x x >∀∈+-≥，求实数a 的取值范围。

银川一中2014届高三第四次模拟数学（理科）试卷参考答案
一、选择题：1--5: C B D A B 6--10: D C A C B 11-12: D A 二、填空题：
13. 2014 14. 12 15.
1
2
16．185 cm .
理科数学试卷 第5页(共6页)
三．解答题：
17. 解:(Ⅰ)依题意得2sin()23
A π
+=,即sin()13
A π
+
= ∵0A π<<, ∴
43
3
3
A π
π
π
<+
<
, ∴3
2
A π
π
+
=
, ∴6
A π
=
． ----6分
(Ⅱ)方案一：选择①② 由正弦定理
sin sin a b A B =
，得sin sin a
b B A
==
,sin sin()sin cos cos sin A B C C A B A B A B π++=∴=+=+=
．
11sin 21224
S ab C ∴=
=⨯⨯=. ---------12分 方案二：选择①③ 由余弦定理22
22cos b c bc A a +-=,有222334b b b +-=,则
2b =
,c =
所以111
sin 2222
S bc A ==⨯⨯=．
说明:若选择②③,
由c =
得，sin 1C B ==>不成立,这样的三角形不存．
18.解：（Ⅰ）根据题意，参加社区服务时间在时间段[)90,95小时的学生人数为 2000.060560
⨯⨯=（人），参加社区服务时间在时间段[]95,100小时的学生人数为2000.020520⨯⨯=（人）．所以抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为80人． 所以从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率估计为6020802.2002005
P +=== …………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，从全市高中生中任意选取1人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率为2
.
5
由已知得，随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3．
所以003
32327(0)()()55125P C ξ==⋅=
；11
232354(1)()()55125P C ξ==⋅=；
22132336(2)()()55125P C ξ==⋅=；33
03238(3)()()55125
P C ξ==⋅=．
随机变量ξ的分布列为
因为 ξ~2
(3)5B ，，所以355E np ξ==⨯=． 2318(1)35525
D np p ξ=-=⨯⨯=…12分
19. 解：不妨设正三角形ABC 的边长为 3 .
(1)在图1中，取BE 的中点D ，连结DF ． ∵AE :EB=CF :FA=1:2，∴AF=AD=2，而∠A=60
,∴△ADF 是正三角形， 又AE=DE=1，∴EF⊥AD
在图2中，A 1E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A
1EB 为二面角A 1-EF-B 的平面角．
由题设条件知此二面角为直二面角，∴A 1E⊥BE．……………………….3分 又BE∩EF=E，∴A 1E⊥平面BEF ，即A 1E⊥平面BEP ……………………..4分
(2)建立分别以ED 、EF 、EA 为x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系，则E(0,0,0),A(0,0,1),
B(2,0,0),F(0, 3,0), P (1,
则(0,0,1)AE =-,(2,0,1),(1AB BP =-=-． 设平面ABP 的法向量为1111(,,)n x y z =，
由1n ⊥平面ABP 知，11,n AB n BP ⊥⊥，即1111
20,
0.x z x -=⎧⎪⎨-=⎪⎩
，(3,1n =
111cos ,||||(AE n AE n AE n ⋅<>=
==⋅,
1,120AE n <>=, 所以直线A 1E 与平面A 1BP 所成的角为600
…………8分
(2) (0,3,1),(1,0,0)AF PF =-=-，设平面AFP 的法向量为2222(,,)n x y
z =． 由2n ⊥平面AFP
知，22,n AF n PF ⊥⊥，即
22220,
0.
x z -=⎧⎪-=令21y =，得220,x z ==2(0,1n =．
1211127
cos ,8
||||(n n n n n n ⋅<>=
==⋅,
所以二面角B-A 1P-F 的余弦值是7
8
-………………………………12分
20.解：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22
221x y a b
+=()0a b >>，半焦距为c . 依题意12c e a ==，由右焦点到
右顶点的距离为1，得1a c -=．解得1c =，2a =．所以222
3b a c =-=．
所以椭圆C 的标准方程是22
143
x y +=．………4分 （Ⅱ）解：存在直线l ，使得22OA OB OA OB +=-成立.理由如下：
由22,1,4
3y kx m x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=．
222(8)4(34)(412)0km k m ∆=-+->，化简得2234k m +>．
设1122(,),(,)A x y B x y ，则122
834km x x k +=-+，2122
412
34m x x k -=+． 若22OA OB OA OB +=-成立，即2
2
22OA OB OA OB +=-，等价于0OA OB ⋅=．所以
12120x x y y +=．1212()()0x x kx m kx m +++=，
2
2
1212(1)()0k x x km x x m ++++=，22
2
22
4128(1)03434m km k km m k k
-+⋅-⋅+=++, 化简得，22
71212m k =+．将227112k m =-代入2
234k m +>中，227
34(1)12
m m +->，解得，234m >．又由22
7121212m k =+≥，2127
m ≥，
从而2
127m ≥，m ≥
m ≤ 所以实数m 的取值范围是2(,[21,)7
-∞+∞． …12分 21.解：（Ⅰ）由已知得21()2e x f x a +'=-．因为曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线与直线e 10x y ++=垂直，所以(0)e f '=．所以(0)2e e f a '=-=．所以e a =．……3分
（Ⅱ）函数()f x 的定义域是(),-∞+∞，21()2e x f x a +'=-．
（1）当0a ≤时，()0f x '>成立，所以)(x f 的单调增区间为(),-∞+∞． （2）当0a >时，
令()0f x '>，得11ln 222a x >
-，所以()f x 的单调增区间是11
(ln ,)222a -+∞； 令()0f x '<，得11ln 222a x <-，所以()f x 的单调减区间是11
(,ln )222
a -∞-．
综上所述，当0a ≤时，)(x f 的单调增区间为(),-∞+∞；
当0a >时，()f x 的单调增区间是11
(ln
,)2
22a -+∞， ()f x 的单调减区间是11
(,ln )222
a -∞-． …………8分
（Ⅲ）当0x =时，(0)e 11f =+≥成立，a ∈R ． “当(0,1]x ∈时，21()e 11x f x ax +=-+≥恒成立”
等价于“当(0,1]x ∈时，21
e x a x
+≤恒成立．”
设21
e ()x g x x
+=，只要“当(0,1]x ∈时，min ()a g x ≤成立．”
21
2
(21)e ()x x g x x
+-'=．令()0g x '<得，12x <且0x ≠，又因为(0,1]x ∈，所以函数()g x 在1(0, )2上为减函数； 令()0g x '>得，12x >，又因为(0,1]x ∈，所以函数()g x 在1
(,1]2
上为增函数． 所以
函数()g x 在12x =处取得最小值，且2
1()2e 2g =．所以22e a ≤． 又因为a 32e <，所以实数a 的取值
范围2
2(,e ]-∞． ………12分
22. (1)连结DE ，根据题意在△ADE 和△ACB 中，
AD ×AB ＝mn ＝AE ×AC ，
即
AD AC ＝AE
AB
.又∠DAE ＝∠CAB ，从而△ADE △ACB . 因此∠ADE ＝∠ACB .所以C ，B ，D ，E 四点共圆．
(2)m ＝4，n ＝6时，方程x 2
－14x ＋mn ＝0的两根为 x 1＝2，x 2＝12.故AD ＝2，AB ＝12.
取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连结DH .因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH ，由于∠A ＝90°，故GH ∥AB ，HF
∥AC .从而HF ＝AG ＝5，DF ＝12
(12－2)＝5.
故C ，B ，D ，E 四点所在圆的半径为5 2.
23. 解(Ⅰ) 由题意知，直线l 的直角坐标方程为：260x y --=，………………2分 ∵曲线2C
的直角坐标方程为：22()12y
+=，
∴曲线2C
的参数方程为：()2sin x y θ
θθ
⎧=⎪⎨
=⎪⎩为参数.………………5分 (Ⅱ) 设点P
的坐标,2sin )θθ，则点P 到直线l 的距离为：
|4sin()6|
d π
θ-+==7分
∴当5in()1,36s ππθθ-==时，点3(,1)2P -
，此时max d =
=分 24．解：(1)、当1=a 时，由2)(≥x f ,得11≥-x ,解得,20≥≤x x 或
故2)(≥x f 的解集为{}
20≥≤x x x 或
（2）、令1)()(-+=x x f x F ,则⎪⎩⎪
⎨⎧≥--<≤+-<++-=a x a x a x a x x a x x F ,231,21,23)(所以当1=x 时，)(x F 有最小值
1)1(-=a F ，只需21≥-a 解得3≥a 所以实数a 的取值范围为),3[+∞.。