中美两国课程标准中高中函数内容的比较

中美两国课程标准中高中函数内容的比较
严卿;胡典顺;汪钰雯;纪静萍;黄舒娴
【摘要】美国于2010年颁布了《共同核心州立数学标准》,其高中函数部分的内容与中国《普通高中数学课程标准(实验)》相比,二者的知识点都有比较清晰、具体的要求,都重视函数的应用以及与信息技术的结合;而在课程实施的灵活性、内容编排的逻辑性与具体知识点的要求等多方面都有一定的区别.比较中美两国数学课程标准的高中函数内容,可以得到不少启示,在未来的课程改革中要处理好数学课程标准中函数内容的限定与自主的关系,函数知识的理解与应用的关系,函数知识与其它数学知识的关系.
【期刊名称】《数学教育学报》
【年(卷),期】2015(024)004
【总页数】6页(P19-24)
【关键词】共同核心州立数学标准;函数;中美比较
【作者】严卿;胡典顺;汪钰雯;纪静萍;黄舒娴
【作者单位】华中师范大学数学与统计学学院,湖北武汉430079;华中师范大学数学与统计学学院,湖北武汉430079;华中师范大学教师教育学院,湖北武汉430079;华中师范大学数学与统计学学院,湖北武汉430079;华中师范大学数学与统计学学院,湖北武汉430079;华中师范大学数学与统计学学院,湖北武汉430079
【正文语种】中文
【中图分类】G40-059.3
长期以来，美国认识到如果不提高基础教育，特别是数学教育的质量，美国就会失去全球化竞争力.强烈的危机感以及学生在第三次国际数学与科学教育研究（TIMSS），国际学生评估计划（Program for International Student Assessment，简称PISA）等国际比较项目中表现不佳，促使美国数学教育界不断地反思、比较，以改进自己的数学教育[1].近年来，全美数学教师理事会（National Council of Teachers of Mathematics，NCTM）公布了一系列的数学课程与数学标准，如《学校数学的原则和标准》（2000）、《课程焦点》（2006）、《高中数学焦点：推理与意义建构》（2009）等.这些课程与标准的出台旨在提高美国学生的数学成绩，建立具有国际竞争力的全美统一的优质数学教育.2010年，全美州长协会（National Governors Association，NGA）和各州教育长官理事会（The Council of Chief State School Officers，CCSSO）共同推出了《共同核心州立数学标准》（Common Core State Standards for Mathematics，简称CCSSM），标准的出台在美国引起了很大的反响[2~4].
进入新世纪，中国也相继成立了义务教育和普通高中课程标准研制小组.2003年4月，出台了《普通高中数学课程标准（实验）》.纵观两国数学课程标准，可以找到许多值得相互借鉴的地方.在《共同核心州立数学标准》中就明确指出借鉴了中国的课程标准；而在《普通高中数学课程标准（实验）》中虽然没有专门注明，但注重提供知识的实际背景、对于活动过程与问题解决的重视等都能看出对于美国数学教育的借鉴.以上也就体现了东西方教育“相向运动”的态势[5].目前，国内学者关于美国数学教育的研究有不少成果[6~14]，中美两国数学课程标准的比较及其相关研究也是研究的热点问题之一[15~19].显然，借鉴美国经验，既能为解决中国当前数学教育的问题提供参考，又能给课程改革以启示.
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型.通过函数的学习，学生可以理解数学知识来源于生活、而又应用于现实生活，能够加深对于数学本质的认识.和《美
国学校数学教育的原则和标准》（NCTM，2000）相比，《共同核心州立数学标准》中的函数部分脱离了代数而单独列出，足见其所受到的重视.中国《普通高中
数学课程标准（实验）》中，函数也占据着重要的地位.在编排顺序上，函数是必
修数学1中的主要内容，数学1又是其它内容的基础，且专门提到“函数的思想
方法将贯穿高中数学课程的始终”[20].距离《普通高中数学课程标准（实验）》
颁布已有10年，其中函数部分的相关内容始终是研究关注的重点领域[21~24].以中美两国课程标准中的“函数”内容为例，对中国《普通高中数学课程标准（实验）》（2003）（以下简称“中国《标准》”）和美国《共同核心州立数学标准》（2010）（以下简称“美国《标准》”）进行比较.希望通过比较研究能给中国数学课程标准的修订与教学改革提供一些参考.
美国《标准》函数部分的内容标准分为4大板块：
（1）理解函数；（2）建立函数；（3）线性函数，二次函数，指数函数模型；（4）三角函数.
中国《标准》关于函数的内容来自数学1中函数概念与基本初等函数Ⅰ以及数学4中的三角函数.主要内容包括：
（1）函数；（2）指数函数；（3）对数函数；（4）幂函数；（5）函数与方程；（6）函数模型及其应用；（7）实习作业；（8）三角函数等8个部分，以及“说明与建议”部分中相应内容的补充.
下面以美国《标准》的划分维度为依据进行比较.
2.1 理解函数
理解函数见表1.
美国《标准》中的“理解函数”部分涵盖内容很广，既包含了函数的概念、性质等，又涉及从线性函数、二次函数到指数函数、对数函数等各初等函数的性质.与此同时，美国《标准》中没有专门涉及各初等函数的板块.因此，在这里把中国《标准》
中（1）至（5）板块都归入该维度.
从而，这种结构上的不同带来的一个主要区别即是对于具体初等函数要求的不同.以指数函数为例，中国《标准》中包括引入，概念、性质以及解决简单实际问题，强调连贯、全面学习指数函数.而在《美国》标准中，则有“会画指数函数图象，会求截距和极端情况”“会根据指数的性质去理解指数函数的意义”等，主要侧重于对于指数函数特点的分析.此外，美国《标准》将各初等函数的分析放在同一板块中，有利于对其进行比较.
对于函数特点的分析，美国《标准》的要求更加丰富、具体.中国《标准》中所涉及的特点包括定义域、值域、单调性、最大（小）值、奇偶性、特殊点，美国《标准》中则多出了截距、正（负）区间、对称性、极端情况（当x趋向于无穷时的情况）、周期性、指定区间上的平均变化率、渐近线等.
对于函数的表征，两国《标准》都强调了绘制函数图象以及利用图象研究函数性质.中国《标准》明确要求会画指数函数和对数函数的图象，美国《标准》除此之外还要求会画平方根、立方根、分段函数、多项式函数、有理函数等的图象.此外中国《标准》只是提出“根据需要选择恰当方法表示函数”.美国《标准》指出运用因式分解、配方等方法研究函数性质，并“会比较两个使用不同形式表征的函数的性质”，这就要求能够熟练地在不同表征间转换和转译，要求更加具体也更高.
在结合实际方面，中国《标准》强调通过实例引出函数及初等函数内容，并利用实例帮助理解概念和性质.美国《标准》则侧重于实际背景下函数的运用，例如“在实际问题中根据实际意义确定函数的定义域”.
最后，在与相关数学知识的联系方面，两国《标准》都提到了函数与一元二次方程的关系，美国《标准》简单指出二者图象上的关系，中国《标准》则专门利用一个板块，介绍利用函数零点来判断方程根的情况，以及根据图象，利用二分法求解方程.此外，美国《标准》还通过函数引出了数列的基本内容.
2.2 建立函数
建立函数见表2.
美国《标准》中“建立函数”板块主要包括函数的运算、复合、变换以及反函数等.中国《标准》中相关内容较少，在此仅把“说明与建议”部分中反函数相关要求归入本维度.
反函数是高中数学中的难点概念之一[25]，对于该部分的内容，中国《标准》只是要求“以具体函数为例进行解释和直观理解”，与之相比，美国《标准》具体列出了关于反函数的几条标准，例如求反函数在特定点的值、反函数的存在条件等，并要求能求已知函数的反函数.两国《标准》都提到了指数函数与对数函数这一对重要反函数，美国《标准》还要求会将其用于解决现实问题.
美国《标准》要求会进行函数间的运算与复合，对于函数的变换要求会识别当解析式变化时图象的变化情况，并利用计算机研究参数改变时函数图象的变化.从“*”标记的情况与所给例子来看，美国《标准》这一板块的内容很重视函数与现实情境的联系.现实世界中的问题如果要转化为函数模型，往往不可能由某一种函数简单描绘，因此函数的运算、复合乃至变换就十分重要.
此外，虽然中国《标准》在数列部分提到了其与函数的联系，但数列安排在了数学5中.而美国《标准》继“理解函数”部分提出数列概念后，这里又进一步涉及了等差数列和等比数列的通项公式.数列既是函数在数学领域中的应用、又是函数在现实中的应用，美国《标准》很好地诠释了这一点.
2.3 线性函数二次函数指数函数模型
线性函数，二次函数，指数函数模型见表3.
美国《标准》中该板块要求在现实情境中，根据需要，在理解线性、二次和指数模型增长情况的前提下能够选择并利用合适的函数模型，重点在于能够识别这几种函数模型增长的差异.相应的，中国《标准》中“（6）函数模型及其应用”也包含了
指数函数、对数函数等增长差异的比较以及初等函数应用等内容，故归入此维度. 两国《标准》都注意到了对几种增长型函数进行比较分析的必要性，也都认识到这种比较是基于实际应用中的需要，其中美国《标准》在这一板块的标题上直接标注了“*”，开宗明义地指出了这部分就是为函数模型服务的，例如“根据具体情境
理解线性函数和指数函数中参数的意义”，正是由于现实情境的千差万别，导致会面对同种函数不同参数的情况，因此安排该知识点正是考虑到了函数的实际运用，与此同时，这种结合具体情境的安排对于学习者来说也是十分合理的，否则学习者恐怕难以理解为何要研究参数变化的情况.类似的，中国《标准》也提到“结合实
例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义”.
具体到条目中的要求，美国《标准》的表述更加详细.例如，对于线性函数和指数
函数的区别，要求证明二者在相等区间长度上函数值增长情况的不同；会在给定图象、关系描述或数据的情况下建立线性函数或指数函数模型；能够从图象或数表观察函数增长情况的区别.既有严格证明方面的要求，又要会识别图象或数据信息.相
对而言，中国《标准》中只是简单提出要“比较差异”、“体会不同增长的含义”，没有具体说明要比较几种函数的哪些方面，要求不明确.“收集函数模型实例、了
解函数的广泛应用”作为一条标准，很难界定需要怎样执行才算达到要求.
2.4 三角函数
三角函数见表4.
在美国《标准》中，三角函数是唯一单独列出的初等函数，中国标准中更是将其安排在了数学4中，体现了对其特殊性的认识与重要性的认可.
就具体内容来说，两国《标准》都由弧度制的定义入手，借助单位圆理解三角函数并推导出诱导公式，对于同角三角函数的关系式也做出了类似要求.对于三角函数
的性质，两国《标准》共同关注的都有周期性.此外中国《标准》强调了单调性、
最值以及图象与x轴的交点，美国《标准》则更重视三角函数的对称性、奇偶性.
中国《标准》要求利用计算机画出三角函数图象，并研究参数变化时对函数图象变化的影响.美国《标准》对反三角函数提出了明确要求，能够求解反三角函数，并
使用计算器求出数值.美国《标准》包含了和角与差角公式，相关内容中国《标准》则安排在了三角恒等变换中，由向量数量积引出.
在三角函数的应用方面，美国《标准》要求能根据给定周期现象的特点选择合适的三角函数模型，根据具体情境列出三角方程；中国《标准》只提到用三角函数解决简单实际问题，缺乏更加细致的要求.
中美《标准》中“函数”部分内容有很多相似之处，主要表现在以下几个方面：（1）知识点的要求都比较清晰、具体.中国《标准》中体现在“指数函数”、“对数函数”以及“函数与方程”部分的内容比较细致，美国《标准》在函数的表征、函数的运算与复合函数、反函数、初等函数比较等方面都有十分详尽的要求.另外，两国标准都提供了一些具体例子来配合说明，例如，美国《标准》在谈到数列是定义在整数子集上的特殊函数时联系了斐波那契数列的例子，中国《标准》在“运用函数图象理解和研究函数的性质”时也附加了一个关于变速跑步的参考案例. （2）都很重视函数的应用.中国《标准》中函数、初等函数的概念强调了解其实际背景，对于指数函数具体给出了几个背景实例如细胞分裂等，对于指数函数、分段函数、三角函数等也都要求能够简单应用，并且安排了“函数模型及其应用”板块，要求收集函数模型实例，体会其广泛应用.美国《标准》直观上通过“*”标记了大量与函数模型有关的内容，并且在涉及这些内容的地方安排了具体实例，如在复合函数部分安排了这样一个例子：随着时间变化的气球温度的函数由随着时间变化的高度函数与随着高度变化的温度函数合成.这种例子的安排能够帮助学生了解该知
识点是如何应用于实际的.
（3）都强调利用信息技术帮助理解和分析函数性质.例如美国《标准》要求“会使用计算机绘制复杂函数的图象，并会从图象中得到函数的主要特征”、“会使用计
算机来验证和解释参数对于函数图象的影响”以及使用计算器求解反三角函数；中国《标准》中也有“能借助计算器或计算机画出具体指数函数、对数函数的图象，探索并理解指数函数、对数函数的单调性与特殊点”、“利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异”以及借助计算机研究参数对于三角函数图象变化的影响等.
两国《标准》“函数”部分内容也有很多不同之处，主要表现在以下几个方面：（1）标准实施中的灵活程度不同.美国《标准》虽然规定了函数部分的内容及要求，但并没有限定哪一个年级必须执行哪些知识点，课程设置有一定的自由度.中国《标准》则把除三角函数外的内容都列入了数学1中.数学1是数学2至数学5的基础，这样一来，函数课程的开设时间就相对被限定了.
（2）板块（或内容）间的逻辑关系不同.两国《标准》中三角函数部分都被相对独立地安排，其余板块以及之间联系都有很大不同.美国《标准》“理解函数”部分
侧重整个函数内容基础知识的学习，之后的“建立函数”与“线性函数，二次函数，指数函数模型”则是在此基础上的深入，且明显立足于函数的实际应用，即这3
个板块体现了从学习知识到应用知识的递进过程，反映了由理解知识到在现实中应用知识，并在应用中加深理解的构想.与之不同，中国《标准》将几种基本初等函
数单独设立了板块，前4个板块都主要强调函数的理解，第五板块“函数与方程”是函数在数学中的一个应用，其后才又专门设置了“函数模型及其应用”.
（3）知识点的广度、深度不同.广度上，主要体现在美国《标准》相比中国《标准》多出了函数的运算、复合及变换这部分的内容，以及在绘制函数图象方面，要求能画平方根、立方根、多项式函数等的图象；中国《标准》则多出了用二分法求相应方程近似解.另外，美国《标准》没有涉及映射的概念.深度方面，美国《标准》在
反函数与表征方面有较高要求，如求已知函数的反函数（包括反三角函数）以及比较两个使用不同形式表征的函数的性质等.而中国《标准》则在对数函数、函数与
方程等内容上有更高的要求.
4.1 处理好函数内容的限定与自主的关系
美国《标准》是基于当前各州教育水平参差不齐，内容广而浅的现状而制定.要通过一部标准解决这些问题，对于标准中的知识点做出多大程度上的限定是关键.针对教育水平参差不齐的现状，《标准》中知识点呈现十分具体、详细的特点；针对内容浅显的问题，《标准》中很多知识点的要求也都有一定的难度.这样一来，内容比较固定，内容上允许的自由度较小.与此同时，美国《标准》并没有规定该部分内容在课程实施中的时间、顺序，就这一点来说，又留出了一定的自主空间，使得各州可以灵活安排实施.
而在中国《标准》中，内容上同样比较固定，但相比美国《标准》多了按照模块划分的限制.函数所在的数学1作为其它必修内容的基础，被限定在高中数学课程的最开始，相关内容则分散在不同模块中，给教学带来了一些问题.例如，不等式是函数的基础，但却被安排在数学5，因此不得不提前给学习者讲授这一部分的内容[26].又如，三角函数和三角恒等变换安排在数学4中，而解三角形则被安排在数学5中，和数列、不等式放在一起，而数列也由此与函数分割开.归根结底，模块化的安排是为了让知识编排呈现螺旋形上升，帮助学习者逐步理解.然而，根据美国《标准》的附录A——《基于共同核心州立标准的高中数学课程设计》（Designing High School Mathematics Courses Based on the Common Core State Standards）所给出的4种课程编排模式，单是“理解函数”部分的知识点就被分散到了不同年级的内容当中[27]，螺旋上升的程度相比中国《标准》有过之而无不及.既然如此，又何必要作出模块化的限定呢？
4.2 处理好函数知识的理解与应用的关系
重视函数模型是两国《标准》共同的特点，如何贯彻这一点，处理好知识理解与应用的关系，两国《标准》的方式有所不同，主要体现在“结论”部分所指出的两国
《标准》板块间逻辑关系的区别上.美国《标准》的编排从总体上看呈现由理解知
识到应用知识的递进过程，具体到其中侧重于应用的两个部分（“建立函数”，“线性函数、二次函数、指数函数模型”），也体现了知识理解与应用的结合——由实际情境中运用函数的需求引出了复合函数、初等函数的比较等知识点，详
细而有条理，内容充实，而不是空谈应用.
中国《标准》在理解函数的内容中并没有忽视应用，强调由实例引出函数和初等函数的概念，这是该《标准》的一个特点，但落脚点仍在帮助学生更好地理解函数的概念与性质.至于之后安排的“函数模型及其应用”部分，其一内容太少，涉及的
现实问题单一；其二缺乏具体相关知识点支撑，难以达到一定深度；其三该部分被放到最后，与其它内容割裂，容易流于形式.据此，建议联系具体函数知识点，适
当增加现实情境中运用函数的内容，并力求详细、清晰，从而为函数模型的深入学习与运用创造条件.
4.3 处理好函数知识与其它数学知识的关系
函数的思想方法贯穿了高中数学中的许多知识点.F·克莱因曾提出，用函数的思想
方法统领数学教育的内容.联系函数与相关数学知识，不仅对后者的学习有所帮助，也能加深对函数本身的理解.美国《标准》把“数列”的内容纳入函数中，此外还
涉及了导数、方程等内容，并用“（+）”标明了与高等数学（如微积分，高级统计学，离散数学等）有联系的部分.相对而言，中国《标准》只是安排了“函数与
方程”这一板块.虽然在选修与必修中的大量内容（方程、不等式、线性规划、数列、算法、信息安全与密码、优选法与试验设计等）中都蕴含了函数的思想方法，但由于模块化的安排所限，难以及时、灵活地与函数相关内容进行互动.因此，在
函数内容中，对于这些部分，不妨做出适当引申，简单指出其与相关知识的联系.
此外，由于这些内容相比函数本身往往更加接近现实情境，也可以结合函数的应用
来一并考虑.
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