苏教版数学高一必修二 作业 2.1.6点到直线的距离

1．(2012·嘉兴高一检测)点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是__________．
解析：由题意可知d ＝|1＋1＋1|2
＝322. 答案：322
2．直角坐标系中第一象限内的一点P (x ，y )到x 轴、y 轴及直线x ＋y －2＝0的距离都相等，则x 等于________．
解析：由题意知，|x |＝|y |且|x ＋y －2|2
＝|x |. 又x ＞0，y ＞0，所以2x －2＝±2x ，x ＝2±2.
答案：2±2
3．(2012·南通模拟)已知点P (m ，n )在直线2x ＋y ＋1＝0上运动，则m 2＋n 2的最小值为________．
解析：要求m 2＋n 2的最小值，只需求m 2＋n 2的最小值，即直线2x ＋y ＋1＝0上的点
P (m ，n )与原点的最小值，也就是原点到直线的距离，由d ＝
122＋12＝55.知m 2＋n 2的最小值为15
. 答案：15
4．与直线2x ＋y ＋1＝0的距离为55
的直线方程是________． 解析：设所求直线方程为2x ＋y ＋c ＝0， 则|c －1|22＋12
＝55， ∴|c －1|＝1.∴c ＝0或c ＝2.
则所求直线方程为2x ＋y ＝0或2x ＋y ＋2＝0.
答案：2x ＋y ＝0或2x ＋y ＋2＝0
5．(2011·济宁高一检测)一直线过点P (2,0)，且点Q (－2，433
)到该直线的距离等于4，则该直线的倾斜角为________．
解析：当过P 点的直线垂直于x 轴时，Q 点到直线的距离等于4，此时直线的倾斜角为90°，当过P 点的直线不垂直于x 轴时，直线斜率存在，
设过P 点的直线为y ＝k (x －2)，即kx －y －2k ＝0.
由d ＝|－2k －433－2k |k 2＋1
＝4，解得k ＝33. ∴直线的倾斜角为30°.
答案：90°或30°
6．已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，若l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，求a 、b 的值．
解：∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2，
∴直线l 1的斜率存在，
∴k 1＝k 2，即a b ＝1－a .①
又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l 1∥l 2，
∴l 1、l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b ＝b ，②
则联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝23，
b ＝2. 7．已知直线l 1：3x －2y －1＝0和l 2：3x －2y －13＝0，直线l 与l 1，l 2的距离分别是d 1，d 2，若d 1∶d 2＝2∶1，求直线l 的方程．
解：由直线l 1，l 2的方程知l 1∥l 2，又由题意知，直线l 与l 1，l 2均平行 (否则d 1＝0或d 2＝0，不符合题意)．
设直线l ：3x －2y ＋m ＝0(m ≠－1且m ≠－13)，由两平行线间的距离公式，得d 1＝|m ＋1|13
，d 2＝|m ＋13|13
，又d 1∶d 2＝2∶1，所以|m ＋1|＝2|m ＋13|， 解得m ＝－25或m ＝－9.
故所求直线l 的方程为3x －2y －25＝0或3x －2y －9＝0.
8．(2012·滨州高一检测)求过点M (－2,1)，且与A (－1,2)，B (3,0)距离相等的直线方程．
解：法一：由题意可得k AB ＝－12
，线段AB 的中点为C (1，1)，满足条件的直线经过线段AB 的中点或与直线AB 平行．
当直线过线段AB 的中点时，由于M 与C 点的纵坐标相同，所以直线MC 的方程为y ＝1；
当直线与AB 平行时，其斜率为－12，由点斜式可得所求直线方程为y －1＝－12
(x ＋2)，即x ＋2y ＝0.
综上，所求直线的方程为y ＝1或x ＋2y ＝0.
法二：显然所求直线的斜率存在，设直线方程为y ＝kx ＋b ，根据条件有： ⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝－2k ＋b ，|－k －2＋b |k 2＋1＝|3k ＋b |k 2＋1，
化简得：⎩⎪⎨⎪⎧ b －2k ＝1，k ＝1－b ，或⎩⎪⎨⎪⎧
b －2k ＝1，k ＝－12， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝0，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧
k ＝－12，b ＝0. 故所求直线方程为y ＝1或x ＋2y ＝0.。