高等数学课件(导数、微分)详细

x
x
x
当 x 0时 ,y在 1和 1之间振荡而 . 极限 x
f(x)在 x0处不 . 可导
六、小结
1. 导数的实质: 增量比的极限;
2 . f ( x 0 ) a f ( x 0 ) f ( x 0 ) a ; 3. 导数的几何意义: 切线的斜率;
4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导;
5、 曲 线 yex在 点 (0,1) 处 的 切 线 方 程 为
__________________.
二、在下列各题中均假定f (x0 ) 存在，按照导数的定 义观察下列极限，分析并指出A 表示什么？
1、lim f (x) f (x0 ) A；
xx0
x x0
2、lim f (h) A，其中f (0) 0且f (0)存在； h0 h
★ 函 数 f(x )在 点 x 0处 可 导 左 导 数 f (x 0 )和 右 导 数 f (x 0 )都 存 在 且 相 等 .
★ 如 果 f(x )在 开 区 间 a ,b 内 可 导 ， 且 f (a )及
f (b )都 存 在 ， 就 说 f(x )在 闭 区 间 a ,b 上 可 导 .
★
设函 f(x 数 ) ((x x)),,
xx0, xx0
讨论x在 0的点
可导 . 性
若 lim f(x 0 x )f(x 0)
x 0
x
lx i 0m (x 0 x x )(x 0)f (x0)存,在
若 lim f(x 0 x )f(x 0)
x 0
x
lx i 0m (x 0 x x )(x 0)f (x0)存,在
解 ylilm oa(x gh )loax g
h 0
h
lim
log a
(1
h) x
1
h0
h
x
x
1xlh im 0loag(1h x)h x
1 x
loga
e.
即 (lo axg )1 xloae g.
(lnx) 1 . x
例6 讨论 f(x ) 函 x在 x 数 0 处的 . 可
解 f(0h)f(0)h,
f (x0) tan, (为倾角)o
yf(x)
T
M
x0
x
切线方程为 y y 0 f ( x 0 ) x ( x 0 ).
法线方程为
1 yy0f(x0)(xx0).
例7 求等边双y曲 1在 线点 (1,2)处的切线 x2
斜率 ,并写出在该点方 处程 的和 切法 线.线方
解 由导数的几何意义, 得切线斜率为
3、lim f (x0 h) f (x0 h) A.
h0
h
三、证明：若f (x)为偶函数且f (0) 存在，则f (0) 0 .
四、
设函数
f
(x)
x k
sin
1 x
,
x
0问
k
满足什么条
0 , x 0
件， f ( x)在 x 0处 (1)连续； （2）可导；
（3）导数连续.
五、
设函数
播放
y
如图, 如果割线MN绕点 M旋转而趋向极限位置 MT,直线MT就称为曲线 C在点M处的切线.
yf(x)
N
T
CM
极限位置即
o
x0
xx
M 0 N , N M 0 . 设 T M (x 0 ,y 0 )N ,(x ,y ).
割线 MN的斜率为 tan yy0 f(x)f(x0),
N 沿 C 曲 M ,x 线 x 0 , xx0
记作 y, f(x),dy或df(x). dx dx
即 y lif m (x x ) f(x )
x 0
x
或 f(x ) lifm (x h )f(x ).
h 0
h
注意: 1 .f(x 0)f(x )x x 0.
2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近 函数.
播放
★ 单侧导数
x 0
x
lim f ( x 0 x ) f ( x 0 ) _________ .
x 0
x
2、 已 知 物 体 的 运 动 规 律 为s t2 (米 )， 则 该 物 体 在
t 2 秒 时 的 速 度 为 _______ .
3、 设
y1(x)
3
x2
,y2(x)
1 x2
, y3(x)
者的区别是：一个是数值，另一个是函数．两
者的联系是：在某点x0处的导数 f ( x0 )即是导 函数 f ( x)在x0处的函数值．
一、填空题：
练 习 题
1 、 设 f ( x ) 在 x x 0 处 可 导 ， 即 f ( x 0 ) 存 在 ， 则
lim f ( x 0 x ) f ( x 0 ) _________ ,
xx0
切线 MT的斜率为 kta nlim f(x )f(x 0). x x 0 xx 0
二、导数的定义
定义பைடு நூலகம்设函数 y f ( x)在点 x0的某个邻域内 有定义, 当自变量x在 x0处取得增量x (点 x0 x 仍在该邻域内)时, 相应地函数y取 得增量y f ( x0 x) f ( x0 ); 如果y与 x之比当x 0时的极限存在, 则称函数 y f ( x)在点 x0处可导, 并称这个极限为函 数 y f ( x)在点 x0处的导数, 记为y xx0 ,
h 0
h
li[ n m n 1 x n ( n 1 )x n 2 h h n 1 ]nn x1
h 0
2 !
即 ( x n ) n n 1 .x
更一般地 ( x ) x 1 . ( R )
例如,
(
x)
1
11
x2
2
1. 2x
( x1 )
(1)x11
1 x2 .
0
1
x
在 x1处不.可导
3.函数f(x)在连续点的左右 不导 存数 在都
(指摆动不 ), 则 定x0点不可. 导
例如, f(x)xsin1x, x0,
0, x0
y
1
－1/π 0 1/π
x
在 x0处不. 可导
4.若f(x0),且在x点 0的两个单侧导数 符号相, 反 则称x点 0为函f数 (x)的尖点 (不可导 ). 点
h
h
lim f(0h )f(0)lim h1,
h 0
h
h h 0
y yx
o
x
f(0h )f(0 ) h
lim
lim 1.
h 0
h
h h 0
即 f ( 0 ) f ( 0 ) ,函 y 数 f(x )在 x 0 点不 . 可
四、导数的几何意义
y
f (x0)表示曲线y f (x) 在点M(x0, f (x0))处的 切线的斜率 ,即
(3 )求极 yl限 i m y. x 0 x
例1 求 f( x 函 ) C ( C 为 数 ) 的 常 . 导 数 数
解 f(x)lh i0m f(xh h )f(x)lhim0ChC 0.
即 (C ) 0 .
例2 设函 f(x ) s数 ix ,n 求 (sx ) i及 n (sx ) ix n . 4
解 (sx i) n lis m ix n h )( sixn
h 0
h
h
limcos(x
h0
h) 2
sin 2
h
cx . os
2 即 (s x ) ic n x . os
(sixn) x coxsx
4
4
2. 2
例3 求y 函 x n (n 为 数正 )的.整 导数 数
解 (xn)lim (xh)nxn
k y x1 2
( 1 ) x
x1 2
1 x2
x1 2
4.
所求切线方程为 y24(x1), 即 4 x y 4 0 .
2
法线方程为 y21(x1), 即 2 x 8 y 1 0 5 .
42
五、可导与连续的关系
定理 凡可导函数都是连续函数.
证 设函 f(x)在 数 x0 点 可, 导
lxi m 0 x yf(x0)
一、问题的提出
1.自由落体运动的瞬时速度问题
如图, 求t0时刻的瞬时速, 度
取一邻t0的 近时 于t,刻 运动时 t, 间t 0 t
平均v速 s度 s s0 t t t 0
g 2
(t0
t
).
t
当 t t0时 , 取极限得
瞬时 v 速 lt it0m g(度 0 2 tt)g0t.
2.切线问题 割线的极限位置——切线位置
例如,
x2, x0
f(x)
,
x, x0
y
y x2
yx
0
x
在 x 0 处 ,x 不 0 为 f ( x ) 的 可 . 角 导
2.设函f数 (x)在点 x0连续 , 但
limylimf(x0 x)f(x0),
x x0
x0
x
称函f数 (x)在点 x0有无穷.导 (不数 可)导
例如,
y y3x1
f(x)3x1,
xyf(x0)
0 ( x 0 ) y f ( x 0 ) x x
l x 0 i y m l x 0 [ i f ( m x 0 ) x x ] 0
函 f(x ) 数 在 x 0 连 点 . 续
注意: 该定理的逆定理不成立.
★ 连续函数不存在导数举例
1.函数 f(x)连续 ,若f(x0)f(x0)则称x0点 为函f(数 x)的角,函 点数在角.点不
1.左导数:
f ( x 0 ) x lx 0 i 0 f ( m x x ) x f 0 ( x 0 ) l x 0 i f ( x m 0 x x ) f ( x 0 ) ;
2.右导数:
f ( x 0 ) x lx 0 i 0 f ( m x x ) x f 0 ( x 0 ) l x 0 i f ( x m 0 x x ) f ( x 0 ) ;
dy 或df(x)
dxxx0
dx
, xx0
即 y x x 0 l x 0 i x y m l x 0 if ( m x 0 x x ) f ( x 0 )
其它形式 f(x 0) lh i0f m (x 0 h h )f(x 0).
f(x0)x l ix0m f(x x ) x f0 (x0).
f
(x)
x2
,
x
1
,为了使函数
ax b , x 1
f ( x)在 x 1处连续且可导，a , b应取什么值.
六、
例4 求f( 函 x ) a x ( a 数 0 ,a 1 ) 的 . 导
解 (ax)lim axhax
h 0 h
ax
ah lim
1
h0 h
axln a.
即 ( a x ) a x la n .
(ex)ex.
例5 求 y 函 lo a x ( a g 数 0 ,a 1 ) 的 . 导
且 f ( x 0 ) f ( x 0 ) a ,
则f(x)在点x0可导，
且 f(x 0 ) a .
三、由定义求导数
步骤: ( 1 ) 求 y f 增 ( x x ) f ( x ) 量 ;
( 2 ) 算 y 比 f ( x 值 x ) f ( x ) ; x x
x23 x2 x5
,
则
它 们 的 导 数 分 别 为 dy 1 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ ，
dx
dy 2 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，dy 3 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
dx
dx
4、 设 f(x)x2,则 ff(x)________________； ff(x)_________________.
关于导数的说明：
★ 点导数是因变x0量 处在 的点 变化 ,它率 反映因 了变量随自变量 而的 变变 化化 的快 慢程.度
★ 如果y 函 f(x)在 数开 I内 区的 间每 处都 , 就 可称 导 f(函 x)在数 开 I内 区可 .间导
★ 对于任x一 I,都对应f(着 x)的一个确定 导数.这 值个函数叫做f原 (x)来 的函 导数 函 . 数
5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数.
6. 判断可导性
不连续,一定不可导.
直接用定义; 连续
看左右导数是否存在且相等.
思考题
函 数 f(x)在 某 点 x0处 的 导 数 f(x0) 与 导 函 数 f(x)有 什 么 区 别 与 联 系 ？
思考题解答
由导数的定义知， f ( x0 )是一个具体的 数值， f (x)是由于f ( x) 在某区间I 上每一 点都可导而定义在I 上的一个新函数，即 x I ，有唯一值f ( x) 与之对应，所以两
y
y
yf(x)
o
x
yf(x)
o
x0
x
例8 讨论函数 f(x)xsin1x, x0, 0, x0
在x0处的连续性与可 . 导性
解
sin1 x
是有界函, 数lxim 0xsin1x0
f(0 ) lifm (x ) 0 f(x)在 x0 处连 . 续
但x 在 0 处 x 0 有 y(0x)sin 01x0 sin 1