高中数学 1.1.1 正弦定理教案 新人教A版必修5

§1.1.1 正弦定理
教学要求：
（一）知识与技能：
通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

（二）过程与方法：
让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

（三）情感态度与价值观：
培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用；
教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

教学过程： 一、复习准备：
1、讨论：在直角三角形中，边角关系有哪些？（三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数）如何解直角三角形？那么斜三角形怎么办？
2、由已知的边和角求出未知的边和角，称为解三角形。

已学习过任意三角形的哪些边角关系？（内角和、大边对大角）是否可以把边、角关系准确量化？
二、讲授新课：
1、教学正弦定理的推导：
（1）特殊情况：直角三角形中的正弦定理：
sin a A c =
，sin b
B c =，sin 1
C =， 即：sin a c A =， sin b c B =，sin c c C =，sin sin sin a b c
A B C ==。

（2）推广到斜三角形
证明一：（传统证法）在任意斜ABC ∆中：
111
sin sin sin 222ABC S ab C ac B bc A ∆===，
两边同除以abc 21即得：sin sin sin a b c
A B C
==
， 证明二：（外接圆法）如图所示，A D ∠=∠，∴2sin sin a a
CD R A D
===，
同理2sin b R B =，2sin c R C
=。

证明三：（向量法）当ABC ∆为锐角三角形时，过A 作单位向量垂直于AC ，
AC +CB =AB ，两边同乘以单位向量， j ⋅r (AC +CB )=j ⋅r
AB ，则：⋅AC +⋅CB =⋅AB ，
∴(
)()
A C -=-+ο
οο909090
∴A c C a sin sin =，∴
sin sin a c A C
=， 同理：若过C 作垂直于得：sin sin b c B C =，∴sin sin sin a b c
A B C
==
， 当ABC ∆为钝角三角形时，
A
C
B
j
A
C
B j
设90A ∠>o
，过A 作单位向量j 垂直于向量AC ，同样可证得：
sin sin sin a b c
A B C ==。

正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即：sin sin sin a b c
A B C
==。

【说明】：（1）正弦定理适合于任何三角形；
（2）可以证明
2sin sin sin a b c
R A B C
===（R 为ABC ∆的外接圆半径）
； （3）每个等式可视为一个方程：知三求一。

〖例1〗：已知在10,45,30,,ABC c A C a b B ∆===o
o
中，求和。

【说明】：正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题。

〖例2〗：在3,60,1ABC b B c ∆===o 中，，求：a 和,A C 。

〖例3〗：6,45,2ABC c A a ∆===o
中，，求b 和,B C 。

【说明】：正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。

中在ABC ∆，已知a 、b 和A 时解三角形的情况：
（1）当A 为锐角
（2）当A 为直角或钝角
三、巩固练习：
1、已知ABC ∆中，∠=o 60A ，3a =，求sin sin sin a b c
A B C
++++。

四、课堂小结：
1、两角和任意一边，求其它两边和一角；
2、两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角；
3、已知两边和其中一边对角解斜三角形有两解或一解。