2020版高考数学新增分大一轮新高考专用讲义：第七章 7.1 不等关系与不等式含解析

§7.1　不等关系与不等式
最新考纲　1.通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系.2.了解不等式(组)的实际背景．
1．两个实数比较大小的方法
(1)作差法Error! (a，b∈R)
(2)作商法Error! (a∈R，b>0)
2．不等式的基本性质
性质性质内容特别提醒
对称性a>b⇔b<a⇔
传递性a>b，b>c⇒a>c⇒
可加性a>b⇔a＋c>b＋c⇔
可乘性Error!⇒ac>bc注意c的符号
Error!⇒ac <bc
同向可加性
Error!⇒a ＋c >b ＋d ⇒同向同正可乘性Error!⇒ac >bd ⇒
可乘方性
a >
b >0⇒a n >b n
(n ∈N ，n ≥1)a ，b 同为正数
概念方法微思考
1．若a >b ，且a 与b 都不为0，则与的大小关系确定吗？1a 1b
提示　不确定．若a >b ，ab >0，则<，即若a 与b 同号，则分子相同，分母大的反而小；1a 1b
若a >0>b ，则 >，即正数大于负数．1a 1b
2．两个同向不等式可以相加和相乘吗？
提示　可以相加但不一定能相乘，例如2>－1，－1>－3.
题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a <b 三种关系中的一种．(　√　)
(2)若>1，则a >b .(　×　)a b
(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．(　×　)
(4)a >b >0，c >d >0⇒>.(　√　)a d b c
(5)ab >0，a >b ⇔<.(　√　)1a 1b
题组二　教材改编
2．若a ，b 都是实数，则“－>0”是“a 2－b 2>0”的( )
a b A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案　A 解析　－>0⇒>⇒a >b ⇒a 2>b 2，a b a b 但由a 2－b 2>0⇏－>0.
a b 3．设b <a ，d <c ，则下列不等式中一定成立的是( )
A ．a －c <b －d
B ．ac <bd
C ．a ＋c >b ＋d
D ．a ＋d >b ＋c 答案　C
解析　由同向不等式具有可加性可知C 正确．
题组三　易错自纠
4．若a >b >0，c <d <0，则一定有( )
A.－>0
B.－<0a c b d a c b d
C.>
D.<a d b c
a d
b
c 答案　D
解析　∵c <d <0，∴0<－d <－c ，
又0<b <a ，∴－bd <－ac ，即bd >ac ，
又∵cd >0，∴>，即>.bd cd ac cd b c a d
5．设a ，b ∈R ，则“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　若a >2且b >1，则由不等式的同向可加性可得a ＋b >2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab >2×1＝2.即“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的充分条件；反之，若“a ＋b >3
且ab >2”，则“a >2且b >1”不一定成立，如a ＝6，b ＝.所以“a >2且b >1”是“a ＋b >312
且ab >2”的充分不必要条件．故选A.
6．若－<α<β<，则α－β的取值范围是__________．π2π2
答案　(－π，0)
解析　由－<α<，－<－β<，α<β，π2π2π2π2
得－π<α－β<0.
题型一　比较两个数(式)的大小
例1 (1)若a <0，b <0，则p ＝＋与q ＝a ＋b 的大小关系为( )b 2a a 2b
A ．p <q
B ．p ≤q
C ．p >q
D ．p ≥q
解析　(作差法)p －q ＝＋－a －b b 2a a 2b
＝＋＝(b 2－a 2)·b 2－a 2a a 2－b 2b (1a －1b )
＝＝，(b 2－a 2)(b －a )ab (b －a )2(b ＋a )ab
因为a <0，b <0，所以a ＋b <0，ab >0.
若a ＝b ，则p －q ＝0，故p ＝q ；
若a ≠b ，则p －q <0，故p <q .
综上，p ≤q .故选B.
(2)已知a >b >0，比较a a b b 与a b b a 的大小．
解　∵＝＝a －b ，
a a
b b a b b a a a －b b a －b (a b )又a >b >0，故>1，a －b >0，a b
∴a －b >1，即>1，(a b )a a b b
a b b a
又a b b a >0，∴a a b b >a b b a ，
∴a a b b 与a b b a 的大小关系为：a a b b >a b b a .
思维升华 比较大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④结论．
(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论．
(3)函数的单调性法．
跟踪训练1 (1)已知p ∈R ，M ＝(2p ＋1)(p －3)，N ＝(p －6)(p ＋3)＋10，则M ，N 的大小关系为________．
解析　因为M －N ＝(2p ＋1)(p －3)－[(p －6)(p ＋3)＋10]＝p 2－2p ＋5＝(p －1)2＋4>0，所以M >N .
(2)若a >0，且a ≠7，则( )
A ．77a a <7a a 7
B ．77a a ＝7a a 7
C ．77a a >7a a 7
D ．77a a 与7a a 7的大小不确定
答案　C
解析　＝77－a a a －7＝7－a ，
77a a
7a a 7(7a )则当a >7时，0<<1，7－a <0，
7a 则7－a >1，∴77a a >7a a 7；
(7a )当0<a <7时，>1，7－a >0，
7a 则7－a >1，∴77a a >7a a 7.
(7a )综上，77a a >7a a 7.题型二　不等式的性质
例2 (1)对于任意实数a ，b ，c ，d ，下列命题中正确的是(
)
A ．若a >b ，c ≠0，则ac >bc
B ．若a >b ，则ac 2>bc 2
C ．若ac 2>bc 2，则a >b
D ．若a >b ，则<1a 1b
答案　C
解析　对于选项A ，当c <0时，不正确；
对于选项B ，当c ＝0时，不正确；
对于选项C ，∵ac 2>bc 2，∴c ≠0，∴c 2>0，∴一定有a >b .故选项C 正确；
对于选项D ，当a >0，b <0时，不正确．
(2)已知四个条件：①b >0>a ；②0>a >b ；③a >0>b ；
④a >b >0，能推出<的是________．(填序号)1a 1b
答案　①②④
解析　运用倒数法则，a >b ，ab >0⇒<，②④正确．又正数大于负数，所以①正确．1a 1b
思维升华 常用方法：一是用性质逐个验证；二是用特殊值法排除．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．
跟踪训练2 (1)已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是( )
A ．ab >ac
B ．c (b －a )<0
C ．cb 2<ab 2
D ．ac (a －c )>0
答案　A
解析　由c <b <a 且ac <0，知c <0且a >0.
由b >c ，得ab >ac 一定成立．
(2)若<<0，则下列不等式：1a 1b
①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④ab <b 2中，正确的不等式有________．(填序号)
答案　①④
解析　因为<<0，所以b <a <0，a ＋b <0，ab >0，1a 1b
所以a ＋b <ab ，|a |<|b |，在b <a 两边同时乘以b ，
因为b <0，所以ab <b 2.因此正确的是①④.
题型三　不等式性质的应用
命题点1　应用性质判断不等式是否成立
例3 已知a >b >0，给出下列四个不等式：
①a 2>b 2；②2a >2b －1；③>－；④a 3＋b 3>2a 2b .
a －
b a b 其中一定成立的不等式为( )
A ．①②③
B ．①②④
C ．①③④
D ．②③④
答案　A
解析　方法一　由a >b >0可得a 2>b 2，①成立；
由a >b >0可得a >b －1，而函数f (x )＝2x 在R 上是增函数，
∴f (a )>f (b －1)，即2a >2b －1，②成立；
∵a >b >0，∴>，a b ∴()2－(－)2a －b a b ＝2－2b ＝2(－)>0，ab b a b ∴>－，③成立；
a －
b a b 若a ＝3，b ＝2，则a 3＋b 3＝35，2a 2b ＝36，
a 3＋
b 3<2a 2b ，④不成立．
故选A.
方法二　令a ＝3，b ＝2，
可以得到①a 2>b 2，②2a >2b －1，③>－均成立，而④a 3＋b 3>2a 2b 不成立，故选A.a －b a b 命题点2　求代数式的取值范围
例4 已知－1<x <4，2<y <3，则x －y 的取值范围是________，3x ＋2y 的取值范围是________．答案　(－4，2)　(1，18)
解析　∵－1<x <4，2<y <3，∴－3<－y <－2，
∴－4<x －y <2.
由－1<x <4，2<y <3，得－3<3x <12，4<2y <6，
∴1<3x ＋2y <18.
引申探究
若将本例条件改为－1<x ＋y <4，2<x －y <3，求3x ＋2y 的取值范围．
解　设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，
则Error!∴Error!
即3x ＋2y ＝(x ＋y )＋(x －y )，5212
又∵－1<x ＋y <4，2<x －y <3，
∴－<(x ＋y )<10，1<(x －y )<，52521232∴－<(x ＋y )＋(x －y )<，325212232
即－<3x ＋2y <，32232
∴3x ＋2y 的取值范围为.(－32，232)
思维升华 (1)判断不等式是否成立的方法
①逐一给出推理判断或反例说明．
②结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断．
(2)求代数式的取值范围
一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围．跟踪训练3 (1)若a <b <0，则下列不等式一定成立的是( )
A.> B ．a 2<ab
1a －b 1b C.< D ．a n >b n
|b ||a ||b |＋1|a |＋1
答案　C 解析　(特值法)取a ＝－2，b ＝－1，逐个检验，可知A ，B ，D 项均不正确；
C 项，<⇔|b |(|a |＋1)<|a |(|b |＋1)|b ||a ||b |＋1|a |＋1
⇔|a ||b |＋|b |<|a ||b |＋|a |⇔|b |<|a |，
∵a <b <0，∴|b |<|a |成立，故选C.
(2)已知－1<x <y <3，则x －y 的取值范围是________．
答案　(－4，0)
解析　∵－1<x <3，－1<y <3，
∴－3<－y <1，∴－4<x －y <4.
又∵x <y ，∴x －y <0，
∴－4<x －y <0，
故x －y 的取值范围为(－4，0)．
一、选择题
1．下列命题中，正确的是( )
A ．若a >b ，c >d ，则ac >bd
B ．若ac >bc ，则a >b
C ．若<，则a <b a c 2b c 2
D ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d
答案　C
解析　A 项，取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知A 错误；
B 项，当c <0时，ac >bc ⇒a <b ，所以B 错误；
C 项，因为<，所以c ≠0，a c 2b c 2又c 2>0，所以a <b ，C 正确；
D 项，取a ＝c ＝2，b ＝d ＝1，可知D 错误，故选C.
2．若<<0，则下列结论正确的是( )1a 1b
A ．a 2>b 2
B ．1>b >a
(12)(12)C.＋<2 D ．a e b >b e a b a a b
答案　D
解析　由题意知，b <a <0，
则a 2<b 2，b >a >1，＋>2，(12)(12)b a a b
∵b <a <0，∴e a >e b >0，－b >－a >0
∴－b e a >－a e b ，∴a e b >b e a ，故选D.
3．若a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( )
A ．a ＋>b ＋ B.>1b 1a
b a b ＋1a ＋1C ．a －>b － D.>1b 1a
2a ＋b a ＋2b a b
答案　A
解析　取a ＝2，b ＝1，排除B 与D ；另外，函数f (x )＝x －是(0，＋∞)上的增函数，但函1x
数g (x )＝x ＋在(0，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，所以，当a >b >0时，f (a )>f (b )1x
必定成立，即a －>b －⇔a ＋>b ＋，但g (a )>g (b )未必成立，故选A.1a 1b 1b 1a
4．已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式成立的是( )
A ．xy >yz
B ．xz >yz
C ．xy >xz
D ．x |y |>z |y |答案　C
解析　∵x >y >z 且x ＋y ＋z ＝0，
∴3x >x ＋y ＋z ＝0，3z <x ＋y ＋z ＝0，
∴x >0，z <0，
又y >z ，∴xy >xz .
5．设x >0，P ＝2x ＋2－x ，Q ＝(sin x ＋cos x )2，则( )
A ．P >Q
B ．P <Q
C ．P ≤Q
D ．P ≥Q
答案　A 解析　因为2x ＋2－x ≥2＝2(当且仅当x ＝0时等号成立)，而x >0，所以P >2；2x ·2－x 又(sin x ＋cos x )2＝1＋sin 2x ，而sin 2x ≤1，
所以Q ≤2.于是P >Q .故选A.
6．若α，β满足－<α<β<，则2α－β的取值范围是( )π2π2
A ．－π<2α－β<0
B ．－π<2α－β<π
C ．－<2α－β<
D ．0<2α－β<π
3π2π2答案　C
解析 ∵－<α<，∴－π<2α<π.π2π2
∵－<β<，∴－<－β<，π2π2π2π2
∴－<2α－β<.3π23π2又α－β<0，α<，∴2α－β<.π2π2
故－<2α－β<.3π2π2
7．已知a ＋b >0，则＋与＋的大小关系是________．a b 2b a 21a 1b 答案　＋≥＋a b 2b a 21a 1b
解析　＋－＝＋a b 2b a 2(1a ＋1b )
a －
b b 2b －a a 2＝(a －b )·＝.(
1b 2－1a 2)(a ＋b )(a －b )2
a 2
b 2
∵a ＋b >0，(a －b )2≥0，
∴≥0.∴＋≥＋.(a ＋b )(a －b )2
a 2
b 2
a b 2b a 21a 1b 8．已知有三个条件：①ac 2>bc 2；②>；③a 2>b 2，其中能成为a >b 的充分条件的是________．a c b c
答案　①
解析　由ac 2>bc 2可知c 2>0，即a >b ，故“ac 2>bc 2”是“a >b ”的充分条件；②当c <0时，a <b ；③当a <0，b <0时，a <b ，故②③不是a >b 的充分条件．
9．已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题：
①若ab >0，bc －ad >0，则－>0；c a d b
②若ab >0，－>0，则bc －ad >0；c a d b
③若bc －ad >0，－>0，则ab >0.c a d b
其中正确的命题是________．(填序号)
答案　①②③
解析　∵ab >0，bc －ad >0，
∴－＝>0，∴①正确；c a d b bc －ad ab
∵ab >0，又－>0，即>0，c a d b bc －ad ab
∴bc －ad >0，∴②正确；
∵bc －ad >0，又－>0，即>0，c a d b bc －ad ab
∴ab >0，∴③正确．故①②③都正确．
10．设α∈，T 1＝cos(1＋α)，T 2＝cos(1－α)，则T 1与T 2的大小关系为________．(0，12)
答案　T 1<T 2
解析　T 1－T 2＝(cos 1cos α－sin 1sin α)－(cos 1cos α＋sin 1sin α)＝－2sin 1sin α<0.故T 1<T 2.
11．(1)若bc －ad ≥0，bd >0，求证：≤；a ＋b b c ＋d d
(2)已知c >a >b >0，求证：>.a c －a b c －b
证明　(1)∵bc ≥ad ，bd >0，∴≥，c d a b
∴＋1≥＋1，∴≤.c d a b a ＋b b c ＋d d
(2)∵c >a >b >0，∴c －a >0，c －b >0.
Error!⇒<
c a c b ⇒Error!⇒>.a c －a b c －b
12．已知1<a <4，2<b <8，试求a －b 与的取值范围．a b
解　因为1<a <4，2<b <8，
所以－8<－b <－2.
所以1－8<a －b <4－2，
即－7<a －b <2.
又因为<<，181b 12
所以<<＝2，18a b 42
即<<2.18a b
13．设0<b <a <1，则下列不等式成立的是( )
A ．ab <b 2<1
B ． < <0
12log b 12
log a C ．2b <2a <2
D ．a 2<ab <1
答案　C 解析　方法一　(特殊值法)：取b ＝，a ＝.1412
方法二　(单调性法)：
0<b <a ⇒b 2<ab ，A 不对；
y ＝x 在(0，＋∞)上为减函数，
12
log ∴b >a ，B 不对；
12log 12
log a >b >0⇒a 2>ab ，D 不对，故选C.
14．若a ＝，b ＝，c ＝，则( )ln 33ln 44ln 55
A ．a <b <c
B ．c <b <a
C ．c <a <b
D ．b <a <c 答案　B
解析　方法一　对于函数y ＝f (x )＝(x >e)，y ′＝，ln x x 1－ln x x 2
易知当x >e 时，函数f (x )单调递减．
因为e<3<4<5，所以f (3)>f (4)>f (5)，即c <b <a .
方法二　易知a ，b ，c 都是正数，＝＝log 8164<1，b a 3ln 44ln 3
所以a >b ；＝＝log 6251 024>1，b c 5ln 44ln 5
所以b >c .即c <b <a .
15．已知实数x ，y 满足a x >a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( )
A ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1)
B ．sin x >sin y
C ．x 3<y 3
D.>1x 2＋11y 2＋1
答案　C
解析　方法一　因为实数x ，y 满足a x >a y (0<a <1)，
所以x <y .
对于A ，取x ＝0，y ＝3，不成立；
对于B ，取x ＝－π，y ＝π，不成立；
对于C ，由于f (x )＝x 3在R 上单调递增，故x 3<y 3成立；
对于D ，取x ＝－2，y ＝1，不成立．故选C.
方法二　根据指数函数的性质得x <y ，此时x 2，y 2的大小不确定，故选项A ，D 中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项B 中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项C 中的不等式成立．
16．设0<b <a <1，则下列不等式成立的是( )
A ．a ln b >b ln a
B ．a ln b <b ln a
C ．a e b <b e a
D ．a e b ＝b e a 答案　B
解析　观察A ，B 两项，实际上是在比较和的大小，引入函数y ＝，0<x <1.则y ′＝ln b b ln a a ln x x
，可见函数y ＝在(0，1)上单调递增．所以<，B 正确．对于C ，D 两项，1－ln x x 2ln x x ln b b ln a a
引入函数f (x )＝，0<x <1，则f ′(x )＝＝<0，所以函数f (x )＝在(0，1)上单调e x x x e x －e x x 2(x －1)e x x 2e x x
e a a e b b
递减，又因为0<b<a<1，所以f(a)<f(b)，即<，所以a e b>b e a，故选B.。