北京市西城区第一次抽样测试高三数学试卷(理科)

北京市西城区2008年抽样测试
高三数学试卷（理科）
本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分。

共150分。

考试时间120分钟。

第一卷（选择题 共40分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1. 在复平面内，复数
i
12
+对应的点与原点的距离是（ ） A. 1 B.
2
C. 2
D. 22
2. 函数)2x (2
x x
y >-=
的反函数的定义域为（ ） A. ),1(+∞ B. ),0(+∞
C. （0，1）
D. （1，2）
3. 若双曲线1ky x 22=+的离心率是2，则实数k 的值是（ ）
A. 3-
B. 31-
C. 3
D. 3
1
4. 函数)x sin x (cos x sin )x (f -⋅=的最小正周期是（ ）
A.
4
π B.
2
π C. π D. π2
5. 下列四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB//平面MNP 的图形的序号是（ ）
A. ①、③
B. ①、④
C. ②、③
D. ②、④
6. 若集合{}
{}1|a x ||x B ,04x 5x |x A 2<-=<+-=，则“)3,2(a ∈”是“A B ⊆”的（ ）
A. 充分但不必要条件
B. 必要但不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
7. 设R a ∈，函数x x e a e )x (f -⋅+=的导函数是)x ('f ，且)x ('f 是奇函数，若曲线)x (f y =的一条切线的斜率是
2
3
，则切点的横坐标为（ ） A. 2
2
ln -
B. 2ln -
C.
2
2
ln D. 2ln
8. 设不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-+≥≥035y 3x 2,1y ,a x 表示的平面区域是W ，若W 中的整点（即横、纵坐标均
为整数的点）共有91个，则实数a 的取值范围是（ ）
A. ]1,2(--
B. )0,1[-
C. ]1,0(
D. )2,1[
第二卷（非选择题 共110分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。

把答案填在题中横线上。

） 9. 已知{}n a 是公比为q 的等比数列，且342a ,a ,a 成等差数列，则q=________。

10. 在10)a x (-的展开式中，7x 的系数是15，则实数a=________。

11. 5人排成一排照相，要求甲不排在两端，不同的排法共有________种。

（用数字作答） 12. 已知A ，B ，C 三点在球心为O ，半径为3的球面上，且几何体O —ABC 为正四面体，那么A ，B 两点的球面距离为________；点O 到平面ABC 的距离为________。

13. 已知两点A （1，0），B （b ，0），若抛物线x 4y 2=上存在点C 使ABC ∆为等边三角形，则b=________。

14. 已知点G 是ABC ∆的重心，)R ,(AC AB AG ∈μλμ+λ=，那么=μ+λ______；若
2，120A -=⋅︒=∠，则||的最小值是________。

三、解答题（本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

） 15. （本小题满分12分）
在△ABC 中，10
10B cos ,55A cos ==。

（I ）求角C ；
（II ）设2AB =，求△ABC 的面积。

16. （本小题满分13分）
盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球。

规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得1-分。

现从盒内任取3个球。

（I ）求取出的3个球颜色互不相同的概率；
（II ）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；
（III ）设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列和数学期望。

17. （本小题满分14分）
如图，在三棱锥P —ABC 中，PA=PB ，PA ⊥PB ，AB ⊥BC ，∠BAC=30°，平面PAB ⊥平面ABC 。

（I ）求证：PA ⊥平面PBC ； （II ）求二面角P —AC —B 的大小； （III ）求异面直线AB 和PC 所成角的大小。

18. （本小题满分13分）
已知函数x ln x )x (f =。

（I ）求f(x)的最小值；
（II ）若对所有1x ≥都有1ax )x (f -≥，求实数a 的取值范围。

19. （本小题满分14分）
已知定点C )0,1(-及椭圆5y 3x 22=+，过点C 的动直线与椭圆相交于A 、B 两点。

（I ）若线段AB 中点的横坐标是2
1
-
，求直线AB 的方程； （II ）在x 轴上是否存在点M ，使⋅为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。

20. （本小题满分14分）
数列{}n a 中，),3,2,1n ,1c (c a a 21a ,1a n 2n 1n 1 =>+-==+为常数，且8
1
a a 23=-。

（I ）求c 的值；
（II ）①证明：1n n a a +<；
②猜测数列{}n a 是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）； （III ）比较
∑=n
1
k k
a
1
与
1n a 39
40
+的大小，并加以证明。

[参考答案]
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西城区抽样测试高三数学（理科）参考答案
一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

1. B
2. A
3. B
4. C
5. B
6. A
7. D
8. C
二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9. 121
或-
10. 2
1-
11. 72 12. 6;π 13. 5或3
1-
14. 3
2;32
注：两空的题目，每一个空2分，第二个空3分；两解的题目少一解给2分，有错解不给分。

三. 解答题：本大题共6小题，共80分。

15. （本小题满分12分） （I ）解：
由1010B cos ,55A cos ==
，得A 、B ⎪⎭
⎫ ⎝⎛π∈2,0， 所以10
3B sin ,5
2A sin =
=
3分
因为2
2
B sin A sin B cos A cos )B A cos()]B A (cos[
C cos =+-=+-=+-π=，6分 且π<<C 0，故4
C π= 7分
（II ）解： 根据正弦定理得
10
6
C sin B sin AB AC B sin AC C sin AB =⋅=⇒= 10分
所以△ABC 的面积为
5
6
A sin AC A
B 21=⋅⋅ 12分
16. （本小题满分13分）
（I ）解：
记“取出1个红色球，1个白色球，1个黑色球”为事件A ， 则7
2
C C C C )A (P 39
1
4
1312=
=。

3分
（II ）解：
记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B ，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件
C ，
则42
5
C C C C C C )C (P )B (P )C B (P 39
1
4
2239
23
12=
+
=
+=+。

6分
（III ）解：
ξ可能的取值为0，1，2，3
7分
84
1C C )3(P ,14
3
C C C )2(P 8445C C C )1(P ,215C C )0(P 39
3339
1
62339
26
133936
=
==ξ=
=
=ξ=
==ξ===ξ 11分
ξ的分布列为：
12分 ξ的数学期望⨯+⨯+⨯+⨯
=ξ31432844512150E 184
1=
13
分
17. （本小题满分14分）
解法一：
（I ）证明：
∵平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB 平面ABC=AB ， 且BC ⊥AB ，∴BC ⊥平面PAB
2分
∵PA ⊂平面PAB ∴PA ⊥BC 又∵PA ⊥PB ∴PA ⊥平面PBC
4分
（II ）解：
作PO ⊥AB 于点O ，OM ⊥AC 于点M ，连结PM 。

∵平面PAB ⊥平面ABC ， ∴PO ⊥平面ABC ， 根据三垂线定理得PM ⊥AC
∴∠PMO 是二面角P —AC —B 的平面角。

6分
设PA=PB=6， ∵PA ⊥PB ，
∴AB=32，PO=BO=AO=3 ∵OM ⊥AM ，∠MAO=30°，
∴OM=AO ·2
AO
30sin =︒ ∴2OM
AO
OM PO PMO tan ===
8分 即二面角P —AC —B 的大小是2arctan 。

9分
（III ）解：
在底面ABC 内分别过A 、C 作BC 、AB 的平行线，交于点D ， 连结OC ，OD ，PD 。

则∠PCD 是异面直线AB 和PC 所成的角或其补角。

∵AB ⊥BC ，∠BAC=30°，
∴7BC OB OC ,230tan AB BC 22=+==︒⋅=， ∴10CO PO PC 22=+=，
易知底面ABCD 为矩形，从而OC=OD ，PC=PD 。

在△PCD 中，10
30
PC CD
21PCD cos =
= 13分 ∴异面直线AB 和PC 所成角的大小为10
30
arccos
14分
解法二：
作PO ⊥AB 于点O ， ∵平面PAB ⊥平面ABC ， ∴PO ⊥平面ABC ，
过点O 作BC 的平行线，交AC 于点D 。

如图，以O 为原点，直线OD ，OB ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，
设6PB PA ==，
∵PA ⊥PB
∴32AB =，PO=BO=AO=3。

∵AB ⊥BC ，∠BAC=30° ∴BC=AB ·tan30°=2
∴)0,0,1(D ),3,0,0(P ),0,3,2(C ),0,3,0(B ),0,3,0(A ),0,0,0(O -。

4分
（I ）证明：
∵)0,0,2(),3,3,0(=--= ∴0=⋅ ∴BC PA ⊥ 又∵PA ⊥PB ∴PA ⊥平面PBC
7分
（II ）解：
作OM ⊥AC 于点M ，连结PM 。

∵PO ⊥平面ABC ，根据三垂线定理得PM ⊥AC ∴∠PMO 是二面角P —AC —B 的平面角。

8分
在Rt △AMO 中，OM=AO ·sin30°=2
3
2AO = ∴⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-
0,43,43
M ，从而⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3,43,43MP ,0,43,43MO ，
∴5
5
|
MP ||MO |=
10分
即二面角P —AC —B 的大小是5
5arccos 11分
（III ）解：
∵)3,3,2(PC ),0,32,0(AB -==
∴10
30|
PC ||AB |=
-
∴异面直线AB 和PC 所成角的大小为10
30arccos
14分
18. （本小题满分13分）
（I ）解：
)x (f 的定义域为),0(+∞，)x (f 的导数x ln 1)x ('f +=
3分
令)x ('f >0，解得e 1x >
；令0)x ('f <，解得e
1x 0<< 从而f(x)在⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0单调递减，在⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞,e 1单调递增
5分
所以，当e
1
x =时，)x (f 取得最小值e 1-。

6分
（II ）解：
解法一：令x ln a 1a )x ('f )x ('g ),1ax ()x (f )x (g +-=-=--=则, 8分
①若1a ≤，当1x >时，0a 1x ln a 1)x ('g ≥->+-=， 故)x (g 在),1(+∞上为增函数，
所以，1x ≥时，0a 1)1(g )x (g ≥-=≥，即1ax )x (f -≥。

10分
②若a>1，方程0)x ('g =的根为1a 0e x -=，
此时，若)x ,1(x 0∈，则0)x ('g <，故)x (g 在该区间为减函数。

所以，)x ,1(x 0∈时，0a 1)1(g )x (g <-=<， 即1ax )x (f -<，与题设1ax )x (f -≥相矛盾。

12分 综上，满足条件的a 的取值范围是]1,(-∞
13分
解法二：依题意，得1ax )x (f -≥在),1[+∞恒成立。

即不等式x
1
x ln a +
≤对于),1[x +∞∈恒成立。

8分
令x
1
x ln )x (g +
=，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=x 11x 1x 1x 1)x ('g 2。

10分
当1x >时，因为0x 11x 1)x ('g >⎪⎭
⎫
⎝⎛-=
， 故g(x)是),1(+∞上的增函数，所以g(x)的最小值是1)1(g =， 12分 从而a 的取值范围]1,(-∞
13分
19. （本小题满分14分）
（I ）解：
依题意，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为)1x (k y +=，
将)1x (k y +=代入5y 3x 22=+，消去y 整理得05k 3x k 6x )1k 3(2222=-+++。

2分
设)y ,x (B ),y ,x (A 2211，则⎪⎩⎪
⎨⎧+-=+>-+-=∆)2(1k 3k 6x x )1(0)5k 3)(1k 3(4k 362
2
21224 4分
由线段AB 中点的横坐标是21
-，得
211
k 3k 32x x 2221-=+-=+ 解得3
3
k ±
=，适合（1）。

5分 所以直线AB 的方程为01y 3x =+-，或01y 3x =++。

6分
（II ）解：
假设在x 轴上存在点M （m ，0），使MB MA ⋅为常数。

①当直线AB 与x 轴不垂直时，由（I ）知1
k 35
k 3x x ,1k 3k 6x x 22212221+-=+-=+（3）
所以)1x )(1x (k )m x )(m x (y y )m x )(m x (212212121+++--=+--=⋅
22212212m k )x x )(m k (x x )1k (+++-++=
8分
将（3）代入，整理得
22
2222
m 1
k 3314
m 2)1k 3)(31m 2(m 1k 35k )1m 6(++-
-+-=++--=⋅ )
1k 3(314
m 631m 2m 22++--
+= 注意到MB MA ⋅是与k 无关的常数，从而有37m ,014m 6-==+，此时9
4MB MA =⋅。

11分
②当直线AB 与x 轴垂直时，此时点A ，B 的坐标分别为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,1、⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--32,1， 当37m -
=时，亦有9
4
MB MA =⋅。

13分
综上，在x 轴上存在定点⎪⎭
⎫
⎝⎛-0,37M ，使⋅为常数。

14分
20. （本小题满分14分）
（I ）解：
依题意：21
21c 21c a a 21a ,21c c a a 21a 2
2
2231212+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=-=+-= 由8
1
a a 23=-，得8121c 2121c 212
=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-，
解得c=2，或c=1（舍去）
3分
（II ）解：
①证明：因为0)2a (2
1
2a 2a 21a a 2n n 2n n 1n ≥-=+-=
-+ 当且仅当2a n =时，n 1n a a =+
因为1a 1=，所以0a a n 1n >-+，即),3,2,1n (a a 1n n =<+ 5分 ②数列{}n a 有极限，且∞
→n lim 2a n =
7分
（III ）解： 由2a a 2
1a n 2
n 1n +-=+，可得)2a )(2a ()a a (a 1n n n 1n n --=-++ 从而
2
a 12a 1a 11n n n ---=+ 因为1a 1=，所以∑
∑
=+=++--=---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=n
1k 1n n
1k 1n 11k k k 1a 21
2a 12a 12a 12
a 1a 1 所以
)a 2(39)13a 8)(3a 5()a 2(3939a 41a 40a 39401a 21a 3940a 11n 1n 1n 1n 1n 21n 1n 1n 1n n
1k k
+++++++++=-⋅-+=
-⋅--=---=-∑
9分
因为1a 1=，由（II ）①得1a n ≥（*∈N n ） （1） 下面证明：对于任意*∈N n ，有2a n <成立。

当n=1时，由1a 1=，显然结论成立。

假设结论对)1k (k n ≥=时成立，即2a k <。

因为23)1a (212a a 21a 2n n 2n 1n +-=+-=+，且函数1x 2
3
)1x (21y 2≥+-=在时单调递增，
所以22
3)12(21a 21k =+-<
+ 即当1k n +=时，结论也成立。

于是，当*∈N n 时，有2a n <成立。

（2） 根据（1）、（2）得2a 1n <≤。

12分 由2a a 21
a 1a n 2n 1n 1+-==+及，经计算可得813
a ,23a 32==。

所以，当n=1时，21
a 3940
a 1
<；
当2n =时，321a 39
40a 1
a 1
=+；
当3n ≥时，由2a 813
1n <<+，得
1n n 1k n 1k k 1n 1n 1n 1n k a 39
40
a 10)a 2(39)13a 8)(3a 5(a 3940a 1+==++++>⇒>-⋅-+=-∑∑
14分。