2022年浙江省温州市第六中学高三数学理上学期期末试题含解析

2022年浙江省温州市第六中学高三数学理上学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 下列说法正确的是
A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”
B．若命题，则命题
C．命题“若，则”的逆否命题为真命题
D．“”是“”的必要不充分条件
参考答案：
C
选项A，否命题为“若”；选项B，命题R，；选项D，“”是“”的充分不必要条件，故选C．
2. 已知,则的值为( )
A. B. C.
D.
参考答案：
A
略
3. 已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（）
A． B．C． D．
参考答案：
D
略
4. 已知正四棱柱中，为中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
略
5. 设函数f(x)的定义域为D，若满足条件：存在，使f(x)在[a，b]上的值域为，则称f(x)为“倍缩函数”．若函数为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是
A．（﹣∞，ln2﹣1）B．（﹣∞，ln2﹣1]
C．（1﹣ln2，+∞）D．[1﹣ln2，+∞）
参考答案：
C
∵函数f（x）=lnx+t为“倍缩函数”，
且满足存在[a，b]?D，使f（x）在[a，b]上的值域是[]，
∴f（x）在[a，b]上是增函数；
∴，即在（0，+∞）上有两根，
即y=t和g（x）=﹣lnx在（0，+∞）有2个交点，g′（x）=，
令g′（x）＞0，解得：x＞2，
令g′（x）＜0，解得：0＜x＜2，
故g（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，
故g（x）≥g（2）=1﹣ln2，故t＞1﹣ln2，故选C．
6. 复数（i为虚数单位）的模是
A. B. C.5 D.8
参考答案：
A
，所以，选A.
7.
设函数的定义域为R，且是以3为周期的奇函数，
（），则实数的取值范围
是（）
(A) (B)或(C) (D) 参考答案：
答案:C
8. 对于恒成立，则a的取值范围（）
A．（0，1） B． C． D．
参考答案：
B
考点：函数恒成立问题；指数函数的单调性与特殊点．
专题：计算题．分析：先将指数函数化成同底，再根据指数函数的单调性建立不等关系，解决恒成立问题转化成图
象恒在x轴上方即判别式小于零即可．
解答：解：=
根据y=在R上是单调减函数
则x2﹣2ax＞﹣3x﹣a2在R上恒成立，
即x2+（3﹣2a）x+a2＞0在R上恒成立，
△=（3﹣2a）2﹣4a2≤0解得，
故选B．
点评：本题主要考查了函数恒成立问题，以及根据指数函数的单调性求解不等式，属于基础题．
9. 若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
10. 已知S n是等比数列{a n}的前n项和，若存在，满足，，则数列{a n}的公比为
A．2 B．3 C．D．
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 命题p :,使；命题q:,
都有；则下列说法正确的是①命题
“”是真命题；②命题“”是假命题；
③命题“”是假命题；④命题“”
是假命题_______________（把正确的都填上）
参考答案：
②
略
12. 过抛物线的焦点且倾斜角为的直线被圆截得的
弦长是__________．
参考答案：
略
13. 已知不等式的解集为（-1,2），则。

参考答案：由
得，即，即，因为不等式的解集为
，所以
，解得。

所以。

14. 若某棱锥的三视图(单位：)如图所示，则该棱锥的体积等于▲。

参考答案：
【知识点】三视图 G2
由三视图知几何体为三角形削去一个三棱锥如图：
棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，
∴几何体的体积故答案为.
【思路点拨】由三视图知几何体为直三削去一个三棱锥，画出其直观图，根据棱柱的高为5；底面为
直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，计算三棱柱与三棱锥的体积，再求差可得答案．
15. 已知a＝log36，b＝log510，c＝0.40.6，则a、b、c从小到大是__________.
参考答案：
c<b<a
略
16. 设函数f (x)=x3－6bx+3b在(0，1)内有极小值，则b的取值范围是。

参考答案：
略
17. 已知x，y满足则的取值范围是________．
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数f（x）=x|x﹣a|+bx
（Ⅰ）当a=2，且f（x）是R上的增函数，求实数b的取值范围；
（Ⅱ）当b=﹣2，且对任意a∈（﹣2，4），关于x的程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．
参考答案：
【考点】根的存在性及根的个数判断；函数单调性的性质．
【分析】（Ⅰ）去绝对值号得，f（x）在R上递增等价于这两段函数分别递增，从而解得；
（Ⅱ），tf（a）=﹣2ta，讨论a以确定函数的单调区间，从而求实数t的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ），
因为f（x）连续，
所以f（x）在R上递增等价于这两段函数分别递增，
所以，解得，b≥2；
（Ⅱ），tf（a）=﹣2ta，
当2≤a≤4时，＜≤a，
f（x）在（﹣∞，）上递增，在（，a）上递减，在（a，+∞）上递增，
所以f极大（x）=f（）=﹣a+1，
f极小（x）=f（a）=﹣2a，
所以对2≤a≤4恒成立，
解得：0＜t＜1，
当﹣2＜a＜2时，＜a＜，
f（x）在（﹣∞，）上递增，在（，）上递减，在（，+∞）上递增，所以f极大（x）=f（）=﹣a+1，
f极小（x）=f（）=﹣﹣a﹣1，
所以﹣﹣a﹣1＜﹣2ta＜﹣a+1对﹣2＜a＜2恒成立，
解得：0≤t≤1，
综上所述，0＜t＜1．
19. （本小题满分14分）
已知焦点在x轴上，离心率为的椭圆的一个顶点是抛物线的焦点，过椭圆右焦点F的直线l交椭圆于A、B两点，交y轴于点M，且
（1）求椭圆的方程；
（2）证明：为定值。

参考答案：
解：（1）依题意，设椭圆方程为（1分）
因为抛物线的焦点为（0，1），所以（2分）
由（4分）
故椭圆方程为（5分）
（2）依题意设A、B、M的坐标分别为，
由（1）得椭圆的右焦点F（2，0），（6分）
由（8分）
由（10分）
因为A、B在椭圆上，所以
即（12分）
所以的两根，
故是定值。

（14分）
略
20. 某中学高一、高二、高三年级分别有60人、30人、45人选修了学校开设的某门校本课程，学校用分层抽样的方法从上述三个年级选修校本课程的人中抽取了一个样本，了解学生对校本课程的学习情况。

已知样本中高三年级有3人。

(1)．分别求出样本中高一、高二年级的人数；
(2)．用（i=1,2...）表示样本中高一年级学生，（i=1,2...）表示样本中高二年级学生，现从样本中高一、高二年级的所有学生中随机抽取2人。

①用以上学生的表示方法，用列举法列举出上述所有可能的情况：
②求①中2人在同一年级的概率。

参考答案：
(1).解:设样本容量为n
∵样本中高三年级有3人∴∴n=9
∴样本中高一年级人数为：
样本中高二年级人数为：（人）（5分） (2)．①所有可能的情况有：，
，共15种
其中在同一年级的有7
种（10分）
②在同一年级的概率P=（12分）
略
21. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，，，点M为A1C1的中点，点N为AB1上一动点.
（1）是否存在一点N，使得线段MN∥平面BB1C1C？若存在，指出点N的位置，若不存在，请说明理由.
（2）若点N为AB1的中点且，求三棱锥的体积.
参考答案：
（1）存在点，且为的中点.
证明如下：
如图，连接，，点，分别为，的中点，
所以为的一条中位线，，
平面，平面，所以平面. （2）如图，设点，分别为，的中点，连接，，，并设，则，
，，
由，得，解得，
又易得平面，，
.
所以三棱锥的体积为.
22. 已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）与双曲线﹣y2=1的离心率互为倒数，且直线x﹣y﹣2=0经过椭圆的右顶点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设不过原点O的直线与椭圆C交于M、N两点，且直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列，求△OMN面积的取值范围．
参考答案：
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
【专题】计算题；分类讨论；方程思想；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（Ⅰ）通过双曲线的离心率，求出椭圆的离心率，求出椭圆的右顶点，求出a，c，b，求出椭圆方程．
（Ⅱ）由题意可设直线的方程为：y=kx+m?（k≠0，m≠0），M（x1，y1）、N（x2，y2）联立
消去y，利用韦达定理，结合直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列．求出k，设原点O 到直线的距离为d，表示出三角形的面积，然后由m的取值范围可得△OMN面积的取值范围为（0，1）．
【解答】解：（Ⅰ）∵双曲线的离心率为，所以椭圆的离心率，
又∵直线x﹣y﹣2=0经过椭圆的右顶点，
∴右顶点为（2，0），即a=2，c=，b=1，…
∴椭圆方程为：．…
（Ⅱ）由题意可设直线的方程为：y=kx+m?（k≠0，m≠0），M（x1，y1）、N（x2，y2）
联立消去y并整理得：（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0…
则，
于是…
又直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列．
∴…由m≠0得：
又由△=64k2m2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）=16（4k2﹣m2+1）＞0，得：0＜m2＜2
显然m2≠1（否则：x1x2=0，则x1，x2中至少有一个为0，
直线OM、ON中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾）…
设原点O到直线的距离为d，则
∴故由m的取值范围可得△OMN面积的取值范围为（0，1）…
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，弦长公式以及三角形的面积的表式，考查转化思想以及计算能力．。