4.3.2等比数列的前n项和公式课件(人教版)

Sn
na1, a1(1 qn)
1 q
a1
(q 1) an q , 1 q
(q 1)
由a1 1,q 2,n 64,可得
S64
1 264 1 2
264 1
1.841019.
按1000颗麦粒的质量 为40g，那么象棋发 明者想要的麦粒总质 量超过7000亿吨，约 是2016-2017年度世界 小麦产量的981倍， 因此，国王根本不可 能实现他的诺言.
典例分析
例1 已知数列{an}是等比数列.
当q
1时, Sn
a1(1 qn ) 1 q
a1 anq 1 q
错位相减法
等比数列的前n项和公式： 若等比数列{an }的首项为a1,公比为q,则{an }的前n项和公式为Sn Nhomakorabeaa1
(1 q 1q
n
)
，q
1
na1，
q1
Sn
a1 anq 1q
，q
1
na1，
q1
有了上述公式,那就可以解决麦粒问题：
证明：设等比数列{cn }的首项c1 an,公比为q a1b,则其前n 1项和为
Sn1 an an1b an2b2 abn1 bn
an[1 (a1b)n1 ] an a b 1 n1 an1 bn1
1 a1b
1 a1b a b .
43.. 设等比数列{an }的前n项和为Sn,已知a2 6，6a1 a3 30. 求an和Sn .
解：设这个等比数列的首项为a1,公比为q. 当q 1时,显然不合题意,∴q 1.
∴
a1 a1
(1 q5 ) 10
1q (1 q10 )
50 1q
,
两式相除,并化简整理得1
q5
5，∴q
5
4.
课堂小结 1.掌握等比数列前n项和公式推导方法（错位相减法）.
2.掌握等比数列前n项和公式（注意分类讨论）.
课本P37
解：由已知可得
a1q
6a1
6 a1q2
， 30
解得 a1 3或a1 2 . q 2 q 3
∴an
3 2n1,Sn
3(1 2n ) 1 2
3(2n
1)或an
2 3n1,Sn
2(1 1
3n ) 3
3n
1.
课本P37
4. 已知三个数成等比数列，它们的和等于14，积等于64. 求这个等比数列的首 项和公比.
如果把上述问题中每个格子里放的麦粒数看成一个数列，我们可以得到 一个等比数列。
首项为1，公比为2
求第一个格子到第64个格子各格子 所放的麦粒数总和就是求这个等比 数列的前64项和。
S64 a1 a2 a3 a64 1 2 22 23 263
思考1：总麦粒数S64怎么求？
探究新知
27,a9
1 ,q 243
0,求S8；
(3) 若a1
8,q
1 2
,Sn
31 ,求n. 2
解：(3)由等比数列的前n项和公式,可得
8[1
( 1 )n ] 2
31，
1 1
2
2
解得n 5.
巩固练习
1. 已知等比数列an，a1 a2 a3 3, a4 a5 a6 24，
求a7 a8 a9
探究：如何求一个等比数列的前n项和？
Sn a1 a1q a1q 2 a1q n1
(1)
qSn a1q a1q2 a1qn1 a1qn
(2)
(1) (2), 得 Sn - qSn a1 a1qn
1-q是否为零？
(1- q)Sn a1(1 qn )
讨论公比q是否为1
当q 1时，Sn na1
6,q
1. 2
解2：S3
a1
a2
a3
1 a3 ( q2
1 q
1)
31 2 (q2
1 q
1)
9. 2
∴1 q2
1 q
1
3，解得q
1或q
1. 2
∴q
1,a1
3 或q 2
1 2
,a1
6.
2. 已知a ≠ b，且ab ≠ 0，对于n∈N*，证明：
课本P37
an an1b an2b2 abn1 bn an1 bn1 . ab
27,a9
1 243
,q
0,求S8；
(3) 若a1
8,q
1 2
,Sn
31 ,求n. 2
解：(2)由已知可得 27q8 1 ,解得q 1 .
243
3
∴S8
27 [1 ( 1 )8 ] 3
1 ( 1)
1640 ； 81
3
例1 已知数列{an}是等比数列.
(1)
若a1
1 2
,q
1 2
,求S8
；
(2) 若a1
解法1：
a1 a1q a1q2 3 (1) a1q3 a1q4 a1q5 24 (2)
(2) 可得q3 8, q 2 (1)
解法2：由an为等比数列得
S3,S6 S3，S9 S6成等比数列
（S6
S3）2
S（3 S9
S
）成等比数列
6
（24）2 3（a7 a8 a9）
a7 a8 a9 （a4 a5 a6） q3 192
1 90
91； 45
3
课本P37
课本P37
1. 已知数列{an}是等比数列.
(3) 若a3
3 2
,S3
9 2
,求a1与q.
解1：当q
1时,a1
a3
3 2
,S3
3a1
9 ,满足条件. 2
当q
1时,aa11q(12
3 2 q3
)
1 q
9 2
,
解得
a1 6 q1
2
.
∴a1
3 ,q 2
1或a1
(1)
若a1
1 2
,q
1 2
,求S8；
(2) 若a1
27,a9
1 243
,q
0,求S8；
(3) 若a1
8,q
1 2
,Sn
31 ,求n. 2
解：(1)
S8
1 [1 ( 1 )8 ]
2
2
1 1
255 ； 256
2
例1 已知数列{an}是等比数列.
(1)
若a1
1 ,q 2
1 2
,求S8；
(2) 若a1
a7 a8 a9 192
1. 已知数列{an}是等比数列.
(1) 若a1 3,q 2,n 6,求Sn；
(2) 若a1
2.7,q
1 3
,an
1 90
,求Sn
；
(3) 若a3
3 2
,S3
9 2
,求a1与q.
解：(1)
Sn
3 (1 26 ) 1 2
189；
(2)
Sn
2.7 ( 1) 3
1 ( 1)
解：设这三个数分别为a ,a,aq,则已知条件可得 q
a q a q
a a
aq aq
14 ，解得
64
a q
4或 2
a1 4
q
1 2
.
∴这个等比数列的首项和公比分别为2，2或8，1 . 2
课本P37
5. 如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么这个数列的 公比等于多少?
4.3.2 等比数列的前n项和公式
创设情境
国际象棋起源于古代印度. 相传 国王要奖赏国际象棋的发明者，问他 想要什么.发明者说：“请在棋盘的第 1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子 里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4 颗麦粒，依次类推，每个格子里放的 麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的 2倍，直到第64个格子.请给我足够的 麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个 要求不高，就欣然同意了.