§6.3 分布函数和玻耳兹曼方程

2
f
(k
,
t
)
(
dk
2 )3
(k
,
k
)
dk
(2
)3
[1
f
(k, t)] t
t时间内，dk内电子发生跃迁的总数目
nout
k
f
(k ,
t)[1
f
(k ,
t)](k ,k)
dk
(2 )3
[2
dk
(2 )3
t]
固体物理
固体物理学
t时间内，从其它状态跃迁到dk内的电子总数目
nin
k
f
(k, t)[1
f
(k,
t)[1
f
(k ,
t
)](k
,
k
)[
dk
(2
)3
]
a
f (k , t)[1 f (k, t)](k ,k)[ dk ]
k
(2 )3
f
(k , t) t
v(k
) r
f
(k , r , t)
dk dt
k
f
(k , r , t)
b
a
定态问题 —— 恒定电磁场或温度梯度时 f (k ,t) 0
f
(k
,
t
)](k
,
k
)
dk
(2 )3
[2
dk
(2
)3
t]
dk内电子数dn
2
f
(k
,
t)
dk
(2 )3
的变化
n nin nout
2
f
(k ,
t)
dk
(2 )3
(b
a)[2
(
dk
2 )3
]
t
[ f
(k , t
t) ]collision
ba
—— 碰撞项
固体物理
固体物理学
其中
玻耳兹曼方程
b
k
]
t
2
f
k, t
k
•
2
f
k, t
dk dt
2
dk dt
•
k
f
k, t
2
f
k, t k
•
dk dt
固体物理
固体物理学
k
•
1
qE
q
1
k Ek
B
q 2
k
•
k
E
k
B
0
外加电磁场引起分布函数的变化
f
(k , t) t
dk dt
k
f
(k , t)
—— 从分布函数在k空间漂移的角度来看
dn
f
(k
)
2
(2
)3
dk
对电流的贡献
dj
2qf
(k
)v (k
)
dk
(2 )3
所有状态的电子对电流的贡献
j 2q
dk
f (k )v(k ) (2 )3
f (k ) —— 非平衡分布函数 分布函数法
分布函数的物理基础 —— 欧姆定律的物理基础一样 金属中的电子在外场作用下加速运动 电子由于碰撞失去定向运动
—— t+t 时刻电子的状态分布函数 f (k ) 是从t时刻电子的状态分布函数 f (k dk t) 变化来的
dt
对比同一时刻的分布函数
f (k ) f (k dk t, t) f (k ,t)
dt
固体物理
固体物理学
f (k ) f (k dk t, t) f (k ,t)
只考虑电子自旋不变的跃迁—— 用跃迁几率函数(k , k) 描写
dk内电子数
dn
2
f
(k ,
t)
dk 的变化
(2 )3
t时间内，dk’的空出的状态数
dk
(2
)3
[1
f (k, t)]
固体物理
固体物理学
t时间内，dk内能够发生跃迁的数目
2
f
dk
(k , t) (2 )3
t时间, dk内电子跃迁到dk’的数目
固体物理
固体物理学
金属能带理论
外场中电子状态变化基本公式 d ( k ) F dt
k空间电子状态移动的速度 dk qE dt
外场的作用使原来的对称分布偏向一边 电子的碰撞又使得分布恢复平衡
假定电子有一定的碰撞自由时间 在 时间里所有电子一同遭遇碰撞
k 空间电子的分布 从非平 衡状态2回到平衡状态 1
固体物理
固体物理学
§6.3 分布函数和玻耳兹曼方程
1 电子输运过程中的分布函数
金属中的电子，在外场作用下会产生附加运动。如在外加 电场中，产生电流；在外加温度场中，产生热流。这种由外场 引起的电荷或能量从一个区域到另一个区域的迁移现象称为输 运现象。
平衡态下电子的费密分布函数 —— 相当于经典统计中的麦克斯韦－玻耳兹曼分布
在无外场时k 空间导带中的电子对称 分布 —— 对电流的贡献为零
在有外场时k 空间导带中的电子的 分布发生变化—— 形成电流
服从欧姆定律 j E
稳恒电流的形成——k空间电子的分布达到一个新的定 态统计分布
固体物理
固体物理学
定态统计分布 —— 用一个与平衡时相似的分布函数f (k )描写
单位体积在 dk 内的电子数
dt
f
(k )
[ dk dt
k
f
(k ,
t)] t
完全是f从一点漂移到另一点的情况
[ f
(k t
,
t
)]drifting Nhomakorabeadk dt
k
f
(k , t)
—— 漂移项
—— 外加电磁场引起分布函数的变化
固体物理
固体物理学
广义情况—— 金属中存在温度梯度时
在k和r构成的相空间---分布函数 f (k , r , t)
—— 定态玻耳兹曼方程
t
v(k ) r
f
(k ,r,t)
dk dt
k
f
(k ,r,t)
b
a
固体物理
固体物理学
定态导电情况 —— 分布函数与位置无关 r f (k ,r ,t) 0
dk dt
k
f
(k ,r,t)
b
a
dk qE dt
固体物理
固体物理学
外场作用下—偏离平衡状态—回到平衡态—循环下去
dk qE
—— 电子分布平衡状态
dt
到非平衡状态的偏离长度 ( qE )
通过分布函数来研究输运过程，可以概括成为一个关于分布函 数的微分方程－玻耳兹曼方程。
玻尔兹曼方程是用来研究非平衡状态下电子的分布函数的方 程。 由于玻尔兹曼方程比较复杂，只限于讨论电子的等能面是 球面，且在各向同性的弹性散射以及弱场的情况。
漂移项 ——
f (k ,t) dk t dt k f (k ,t)
[ f
(k, r, t
t) ]drifting
v(k ) r
f
(k ,r,t)
dk dt
k
f
(k ,r,t)
固体物理
固体物理学
（2）碰撞项
电子和晶格以及金属中杂质发生碰撞引起的状态变化 —— 散射
电子不断的从状态 k 变化到 k ， 单位时间内
v v dv 内的电子数 dn fM (v, T )dv
能带理论 —— dk 内的状态数
V
2 (2 )3 dk
固体物理
固体物理学
平衡态下电子的费密分布函数 f0[E(k ), T ]
dk 内的电子数
dn
2V
f0[E(k ), T ] (2 )3 dk
dn
f0[E(k
),
T
]
2
(2
)3
dk
—— 单位体积 V 1
固体物理
固体物理学
2 电子输运过程中的玻耳兹曼方程
—— 分布函数的变化来自两个方面
(1) 外场引起的分布在k空间的漂移 —— 分布函数漂移
电子的状态变化
dk dt
1
qE
q
1
k Ek
B
—— 将k空间电子分布函数看作是一种流体的分布
流体力学连续性原理
t
[2
f
(k
, t )]
k
[2
f
(k
,t)
dk dt