电磁场与微波习题集58章答案毕刚

电磁场与微波习题集58章答案毕刚
第五章习题
5-1传输线长度为1m ，当信号频率分别为975MHz 和6MHz 时，传输线分别是长线还是短线?
答：1) 频率为975MHz 时，信号的波长为0.3077m<1m ，传输线是长线；2) 频率为6MHz 时，信号的波长为50m>1m ，传输线是短线；
5-2已知同轴电缆的特性阻抗为75Ω，其终端接负载阻抗Z L =25+j50Ω，计算终端反射系数2Γ。

答：2
1
7550257550250L 0L 2+-=++-+=+-=
Γj j j j Z Z Z Z
5-3 一无耗传输线特性阻抗为Z 0=100Ω，负载阻抗Z L =75-j68Ω，试求距离终端为λ/8和λ/4处的输入阻抗。

答：100 6850
687568257568250L 0L 2+-=++-+=+-=
Γj j j j Z Z Z Z
1006850
68)(100685068100
6850688
22'
228/++=
-+-=
+-=Γ=Γ--j j j j j e j j e j z j λλπβλ 100
686850)1(100685068100
6850684
22'
224/+-=
-+-=
+-=Γ=Γ--j j
j j e j j e
j z j λλ
πβλ 5-4设无耗线终端接负载阻抗L L j X Z Z +=0，其实部0Z 为传输线特性阻抗，试证明：负载的归一化电抗L ~X 与驻波系数ρ的关系为ρ
ρ1
~
L -=
X 。

答：0
0L 00L 00L 0L 22Z j X j
X Z jX Z Z jX Z Z Z Z Z L L +=++-+=+-=Γ，220222411
4α
+=+=
ΓZ X X L L 11,11+-=ΓΓ-Γ+=ρρρ，1212411222+++-=+ρρρρα，1222
+-=ρρρα,ρ
ρα11~L
-==X 5-5先将习题图5-5各图传输线电路等效再求各电路的输入端反射系数Γin 和输入阻抗Z in 。

答：a ）∞=in Z ，1=Γ, b ）5/3250150002==+-=
ΓZ Z Z Z L L ，5
3
)'(2=Γ=Γz ,
题5-5图求输入端反射系数和输入阻抗
(a )
(b )
(c )
2005
/315
/3150110
=-+=Γ-Γ+=Z Z in ; c) 3
1
2/2/0000002-=+-=+-=ΓZ Z Z Z Z Z Z Z L L
，3
1
31)'(4
322'22=
-=Γ=Γ--λ
λπβj z j e e z , 2003
/113
/110
=-+=Z Z in
5-6用传输线来替代电感和电容，可有传输线的短路连接或开路连接来得到。

若已知传输线的特性阻抗为Ω 300，而传输信号的频率为MHz 600，求： (1) 用短路传输线方式来代替的3×10-5H 电感，传输线长度至少为多少？(2) 用开路传输线方式来代替0.795pF 的电容器，传输线长度至少为多少？答：1）根据终端传输线的输入阻抗公式L j z jZ Z in ωβ=='tan 0，可得
ππωβ120300
103106002'tan 5
60===-Z L
z
56.1)120arctan('==πβz ，λπλπ2483.02/56.1)120arctan('===z
2）根据开路传输线的输入阻抗公式C
j z jZ Z in ωβ1
'cot 0=
-=，可得 C Z z ωβ0'tan =，143.010795.010600300'tan 126==-z β，
λπλ0226.02/142.0)143.0arctan('===z
5-7某无耗传输线的特性阻抗为Z 0=100Ω。

测得传输线上驻波电压最大值为|U |max =80mV ，最小值为|U|min =16mV ，离开负载第一个电压波腹点到负载的距离为l max =0.25λ，求负载阻抗Z L 。

答：根据驻波电压的最大值和最小值公式
))'(1)('()'(max z z U z U i Γ+=，))'(1)('()'(min z z U z U i Γ-=
可得
5)
'()'()'(1)'(1min max ==Γ-Γ+=z U z U z z ρ，由此可得64
11)'(=+-=
Γρρz 。

由第一个电压波腹点到负载的距离公式β
22
max =l ，可得πλλ
π
β?===25.022
2max 2l 。

由上面二式可得，无耗传输线的反射系数为
3
264)'()'(2-==
Γ=Γπ?j j e e z z 则负载阻抗为
Ω=+-?=Γ-Γ+=203
/213
/2110011220
Z Z L 5-8已知均匀无耗传输线的电长度λ/~l l =，终端所接负载的归一化阻抗为L ~
Z ，输入端的归一化阻抗为in ~Z ，导纳为in ~
Y ，利用圆图求习题5-8表中的未知量。

题5-8表利用圆图求各未知量的值
5-9利用圆图求解下列各题的传输线的电长度。

(1) 传输线短路，输入归一化导纳42.0j ~
in =Y 。

(2) 传输线开路，输入归一化导纳3.2j ~
in -=Y 。

答： 1）利用公式（5-3-3）j Y Z in
in 3810.2~1~
-==，传输线短路，0~
=L Z ，
'tan 3810.2z j j Z in β=-=，1732.1'-=z β，λβ1867.0/1732.1'-=-=z ，查表得，
3133.0=l
('
tan 'tan 000
z jZ Z z jZ Z Z Z L L in ββ++=，0=L Z ，'tan ~
z j Z in β=)
2）利用公式（5-3-5）传输线开路，∞=L Z ，'cot ~z j Z in β-=，'tan ~
z j Y in β-=,
'tan 3.2z β=-,λ1847.0'-=z ，查表得，3130.0=l
5-10无耗线的特性阻抗为Z 0=200Ω，第一个电流波腹点距负载16cm ，电压驻波比为5.2=ρ，工作波长为80cm ，求负载阻抗Z L 。

答：由驻波比和反射系数关系式可得
6772.02
.62
.411)'(==+-=
Γρρz 。

由第一个电压波腹点到负载的距离公式β
22
max =l ，可得5
4168022
2max 2π
πβ?=
==l 。

由上面二式可得，无耗传输线的反射系数为
5/46772.0)'()'(2π?j j e e z z =Γ=Γ
则负载阻抗为
j j e
e Z Z j j L 8.4384.298)1939.2492.1(2006772.016772.01200115
/45
/4220-=-?=+-?=Γ-Γ+=ππ 5.11分别画出阻抗及导纳圆图的示意图，并标明三个特殊点，三个特殊线，两个特殊半圆面
以及两个旋转方向。

注意：阻抗圆图和导纳圆图传向负载都是逆时针旋转，传向波源都是顺时针方向。

5-11传输线的特性阻抗为Z 0=75Ω，用测量线测得电压驻波比为2=ρ，第一个电压波节点离终端距离为λ3.01min =l ，用圆图求终端电压反射系数2Γ和终端负载阻抗L Z 。

答：第一步画
出2=ρ的等驻波系数圆。

第二步找到电压最小点对应位置A
第三步将A 点逆时针（即沿负载方向）转过电长度0.3到A’
第四步读出A’的反射系数1/3、确定反射系数角?2。

延长射线OA’可读出A’点对应的角度值为72?，即有?2=72?，最后得终端电压反射系数为
0.1959j + 0.26973
1
722==Γ?j e
第五步读出A’点的归一化电阻和电抗值 1.5548~=R ，0.6853~ =X ，于是可得负载为Z L =75.(1.5548 + 0.6853j)=116.6 +51.8j 5-12设无耗传输线的特性阻抗Z 0=75Ω，要求线上任何一点的瞬时电压不得超过5KV ，求传输线所能传输的最大平均功率及其负载阻抗。

答：0
2
max
2Z U P ρ=,当1=ρ时， ()W Z U P 62
302max max 10617521052?=??==
Ω==750Z Z L
5-13有耗线长cm 24=l ，特性阻抗Ω 1000=Z ，工作波长为cm 10=λ，测得负载和输入端的驻波比分别为4和3，第一个电压波节点到终端距离为cm 11min =l ，试求传输线的衰减常数、负载阻抗和输
入阻抗。

答：利用公式（5-5-8）
53
11,4,0',112222'2'2=+-=Γ==Γ-Γ+=--ρρρρααz e e z z 35 3153
1,3,4.21024'4.224.22=-+====?-?-λαλ
αρρλλe e z
5
6
ln 8.41=?λα。

由第一个电压波节点到终端距离为,11min cm l =可得
0'22=-z β?，β?2'2=
z ，10
41222πλπ?==c m ，)'2('2222z j z e e β?α--Γ=Γ
j e e e e Z j j j j 6953.19260.25
3153111)0(10
10222
2
+=-+=Γ-Γ+=
ππ
j e e e e e e e e Z j j j j z j z z j z 4829.19776.02112112 1121111)24()2.9()
2.9()2410
22104()241022104()
'2('22)
'2('2222-=-+=-+=Γ-Γ+=
---------πππ
ππ
π
β?αβ?α
5-14有一个铜制的架空平行双线，两线间距离cm 16=D ，导线半径cm 2.0=a ，工作频
率为MHz 150，试求：单位长度上的分布电感L ?、分布电容C ?、相位常数β、特性阻抗0Z 、
衰减常数α、相速度p v 及相波长p λ。

答：铜的磁导率和电导率T.m /A 10471-?=πμ, m ?Ω?=7
110977.5σ 电阻[R/Ω·m -1]为 m f /1025.110
977.521042101622d 227
7
2
1
1Ω?==
---πππσωμπ电感[L/(H·m -1)]为m H /1003.22
.02.01616ln 104d d D D ln 62
2722--?=-+?=-+πππμ
电容[C/(F·m -1
)]为
12-2292
210
5.52
.02.01616ln
3610d
d D D ln
=-+=-+-πππε
电导[G/(S·m -1)]为
7
227
2
2102.56452
.02.01616ln
10977.5d
d D D ln
=-+??=
-+ππσ
相移常数14.3105.51003.210150**2??1266===--πωβC L 特性阻抗60910
5.51003.2?
1260===--C
L Z 衰减常数52
0101.2609
1025.122?--?=?===Z R L C R α、
相速度s m C L
v 8p 103??1
≈==
β
ω 相波长m f v p r
r 200
p ====λεμλλ。

5-15．同轴线在z GH 2时的分布参数为Ω/m 5?=R ，nH/m 560?=L ，S/m 106?4
-?=G ，
/m pF 45?=C ，计算0
Z 、α、β、p v 及p λ。

答：由同轴线的分布参量公式
a b u L ln 2?π=，a b C ln 2?πε=，??? ??+=b a R R s 112?π，a b G ln 2?πσ= m R
/5?Ω=，m nH L /560?=，m S G /106?4-?=，m pF C /45?= 其特性阻抗为
Ω====
=55.111/45/560ln 60ln 21
0m
pF m
nH a b a b C
L Z r r εμεμπ 20102411.255.111252?-?=Ω
Ω
==Z k α，
8.624556021029===pF nH LC πωβ.
00
λεμλλ==
r
r p , 10
100199.0??1?==
C
L v p ,1.010*******.0910=??==f v p λ
5-16．设有一个空气同轴线的外导体内直径为23 mm ，内导体外直径为10 mm ，求其特性阻抗；若内外导体间填充r ε为2.5的介质，求其特性阻抗。

答：Ω=====
6.4510
23
ln 5.2160ln 60ln 21??0a b a b C
L Z r r εμεμπ
5-17．要求微带线特性阻抗Ω 600=Z ，介质基片7r =ε，基片厚度mm 8.0=h ，求此微带线的中心导带宽度w 及传输TEM 模的最短工作波长0λ。

答：首先用r ε代替出Ω===7.1587600
00re Z Z ε,
在图中查得q 1=0.61.
由q 1计算等效相对介电常数66.4)1(1r 11r =-+=εεq e 。

第二，计算Ω===52.12966.460000re Z Z ε,
在图中查得q 2=0.625.
由q 2计算等效相对介电常数75.4)1(1r 11r =-+=εεq e 。

第三，计算Ω===52.13075.460000re Z Z ε,
在图中查得q 3=0.626.
由q 3计算等效相对介电常数72.4)1(1r 22r =-+=εεq e 。

%64.03
r 3
r 2r =-e e e εεε，已经较小，在这样精度下，72.4r =e ε，q=0.626.
由此查得w/h=0.7, w=0.56mm,
0158.072
.40343
.0r 0===
ελλ. ()
G p 7374.88.052
.130172.495.04
/1=-=
λ,
m f c T c 0343.0107374.81039
8
0=??==?=λ
5-18．设r ε为2.1的基片厚度h 为1.23mm ，求由此制作的微带线的导体带宽度w 为多少时特性阻抗为50Ω？若工作频率为3GHz ，则90o的相移段长度为多少？答：首先用r ε代替出Ω===4569.721.2500
00re Z Z ε,
在图中查得q 1=0.70.
由q 1计算等效相对介电常数77.1)1(1r 11r =-+=εεq e 。

第二，计算Ω===52.6677.150000re Z Z ε,
在图中查得q 2=0.72.
由q 2计算等效相对介电常数792.1)1(1r 11r =-+=εεq e 。

第三，计算Ω===9328.66792.150000re Z Z ε,
在图中查得q 3=0.73.
由q 3计算等效相对介电常数803.1)1(1r 22r =-+=εεq e 。

%61.03
r 3
r 2r =-e e e εεε，已经较小，在这样精度下，803.1r =e ε，q=0.73.
由此查得w/h=3, w=3.69mm,
0.7447m 803
.11r 0===
m
ελλ. 90o的相移段长度为m l 1862.04/7447.04
===
λ
5-19．传输线的特性阻抗Z 0=300Ω，负载阻抗Z L =192Ω，为了使主传输线上不出现驻波，在主线与负载之间接一个/4λ匹配线。

(1) 求匹配线的特性阻抗；(2) 设负载功率为2×103W ，不计损耗，求电源端的电压和电流幅值；(3) 求负载端的电压和电流幅值。

答：1）利用L R Z Z 001=
得：
24001=Z Ω。

2）负载端的电压356.876192104232=??==
PR U ，
5644.42==R
P
I ，由于传输线无反射，反射系数02=Γ，因而可得线上任意位置z 处
的电压为z
j e
A z U β-=1)(。

L =G
3）电源端的电压45.1095200==PZ U ，65.320==Z P I
5-20．传输线的特性阻抗Z 0=75Ω，负载Z L =250Ω，工作波长cm 45=λ，在离负载不远处并联一个短路匹配线，使主线上不发生驻波。

(1) 求匹配线的长度和距离负载的距离；(2) 求主线和匹配线接点处向负载端看去所得的阻抗和导纳；(3) 求匹配线的阻抗和导纳。

答：1）类似于归一化阻抗，引入导纳的概念，它的定义为 Z
Z Y Y Y 0
/?==。

传输线终端的归一化导纳为3.0/?0
===L
L L Z Z Y Y Y 是一个纯电导负载。

我们可以通过改变d 的大小来改变归一化导纳的实部，通过改变l 0的大小来调整归一化导纳的虚部。

所以一定可以得到归一
化输入导纳为B j Y in
1?+=的一点，假设它与负载的距离为d ，且在这一点上跨接一个归一化输入电纳为B j ?-的枝节到线上，则有1??1?=-+=B j B j Y in ，即满足匹配条件。

为了使频率敏感性尽可能地小，这个枝节应接到导纳为B j Y in ?1?+=，且d 值为最小的地方。

d Y j d j Y B j Y L L
in ββtan ?1tan ??1?++=+=，由此式可得，L
Y d ?1tan =β cm Z Z Y d L L
6612.7/arctan 245
1arctan 20===
ππλ，
L
L
L
L in
Y Y j Y j Y B j Y ?1?1?1
1?++=+=，278.13.07.0??1?==-=
L
L Y Y B 短路支线的导纳为0cot ?l j Y in β-=', 匹配情况下B j l j ?cot 0
-=-β 4.7552?1?arctan 245
1arctan 20=-==L
L Y Y B l ππλ
2）从枝节点向负载看的归一化输入导纳为
j Y in
278.11?+=，归一化输入阻抗个为 0.4853i - 0.3798278.111
=+=j
Z in
输入阻抗为，36.3994i - 28.4815)4853.03798.0(*75?0
=-==j Z Z Z in in 输入导纳为：0.0170i + 0.013336.3994i
- 28.48151
==
in Y
3）匹配线的归一化导纳为j Y in
278.1?-='，输入阻抗为58.6854j 278.175
'=-=j
Z in
输入导纳为j Y in 017.058.6854j
1
'-==
5-21如题5-21图所示电路，Z L =50+j100Ω，L =0.2μH ，C =22pF ，Z 0=25Ω，f=360MHz ，试求电容器左边的驻波系数。

答:负载的归一化导纳为1/(2+j4),波长为m f c 6/5/==λ 1）用电感右边的的归一化导纳为
j d j j d j j d
Y j d j Y Y L L L 42tan 42tan )42(1tan ?1tan ??+=++++=++=+ββββ
2）电感的归一化电纳为
72
25102.01036025?660j j L j Z Y L
===-ω 电感左边的归一化导纳为
3.6528j + 2.00004272
25?=++=-
j j Y L 3）电容右边的归一化导纳为
1.4807i - 0.3624 3.6528
21 3.6528j + 2.tan ?1tan ??=-++=++=+j j d Y j d j Y Y L L C ββ
电容的容纳为
0.198j 25103601022?6
120=-=-=-j
Z j C Y C ω
电容左边的导纳为
1.2827i - 0.36240.198j 1.4807j - 0.3624=+=+=+
C C C Y Y Y ，归一化阻抗为0.2040 + 0.7220i
反射系数为0.7327i + 0.2218- 10.7220i + 0.20401-0.7220i + 0.20401?1?=+=+-=ΓL L Z Z
0.7655 =Γ，0.1328 0.7655
10.7655
111=+-=Γ+Γ-=
ρ 5-22特性阻抗Z 0=50Ω的同轴馈线，填充介质的介电常数为1.3r =ε，工作频率为1GHz ，终接负载阻
题5-21图求电容器左边的驻波系数
抗Ω 80Z L =，试求：(1) 负载的反射系数2Γ和线上驻波系数ρ；
(2) 欲使负载和馈线匹配，在其间插入一段4/λ线，试求其特性阻抗及长度。

答：负载的反射系数2Γ和线上驻波系数ρ
133
150/80150/802=+-=
Γ，8/513
/3113/3111=+-=Γ+Γ-=ρ
利用公式(5-8-2)得
Ω===63.245680*50001L Z Z Z
0.04260m 1.31041034449
8
=??====r r r r f c l εμεμλλ
5-23．传输线的特性阻抗Ω 33Z 0=，负载阻抗Ω 33j 33L +=Z ，工作波长cm 20=λ，用单跨线来消除主线上的驻波，跨线长度和离开负载的距离都是愈短愈好。

(1) 问应该用短路线还是开路线；(2) 求跨线长度和离开负载的距离。

答：
负载的归一化导纳为2
2111Ω 33j 3333?L
j
j Y -=+=+=,5.0=L g ,5.0-=L b
距离负载为d 的导纳为
j B d j j d j j d
j j
d j j d Y j d j Y Y L L L ?1tan 1tan )1(1tan 111tan 11
tan ?1tan ??-=++++=++++=++=+
ββββββ，令αβ=d tan . [][]j B j j j j j ?12
2)1(1)1(1)1(1)1()1(112
222+=++-+++=+++-+-=+++-=αααααααααααα
2/1,12212
2-==+++αααα；1?,?2
2)1(22=-=++-+B j B j αααα 假设跨线为短路线
5.0tan -=d β，)5.0arctan(2-+=n d πβ，[])5.0arctan(22-+=
n d ππ
λ
当n=1时候，d 为正数，离负载最短，在这种情况下，18.5242cm )5.0arctan(2=-=π
λ
λd
对于短路线
1tan =l β，)1arctan(2+=m l πβ，[]πππ
λ
25.022+=
m l m=0,最短，λ125.0=l 。

对于开路线
1tan -=l β，)1arctan(2-=m l πβ，[])1arctan(22-=
m l ππ
λ
，m=1,最短, λ875.0=l 。

5.23分布参数电路与集总参数电路的区别是什么？
答：分布参数电路和集总参数电路的区别是：分布参数电路频率高，波长短可以和电路尺寸想比较，同时电参量随空间变化，电磁波在电路中传输效应很明显，传输线上的电感，电阻和线间的电导都不能忽略，线上各点电位不同，处处有储能和损耗，集总参数电路的频率则比较低，电路尺寸和波长相比较很小，可以认为是一点，电场和
磁场可以近似看做只随时间变化，不随导线长度、位置而发生变化。

5.24传输线有哪些工作参量？他们是如何定义的？
答：传输线的工作参量包括输入阻抗，反射系数，驻波系数，驻波相位。

1)输入阻抗：线上任意一点（参考点）的总电压与总电流的比值称为由该点向负载看去的输入阻抗。

2)反射系数：是传输线上某点反向传播的波（反射波）电压与正向传播的波（入射波）的电压之比称为该点的反射系数。

3)驻波系数：驻波系数是传输线上电压最大值和电压最小值的比值。

4)驻波相位（电压驻波比）：从负载处沿波源方向到离负载最近的电压最小值处的距离。

5.25 设一段长为L 的有耗传输线，当负载开路（)0=I
L
时，测得输入端阻抗为z 0，当负
载端短路)0(=U l
时，测得输入端阻抗为
z
s
，计算该线的特性阻抗
z
c。

解：
z
th z th Z Z Z Z Z Z l
c
c l
c in γγ++=
当0=Z
l
（短路）
Z Z Z
z th c in
0==γ
当
∞=Z
l
（开路）
Z Z Z s
c
in z th ==γ1 解之得到
Z
Z Z
s
c
=
5.26试分别绘出无耗传输线终端开路，短路和匹配时电压，电流相对振幅沿线的分布图，并
列出相应的工作参量。

解：虚线为电流的振幅比, 实线为电压振幅比。

在短路时
l tg j z z
c in
β=， ()
e
l j βπ2-=Γ ，∞>-s
0m i n
=l
开路时
l ctg j z z
c in
β-= e
z
j β2-=Γ ∞>-s
4
m i n λ
g
l =
终端接匹配负载的时候
5.27假定无耗传输线负载端的反射系数为e j L 2
/5.0π-=Γ，试绘出线上电压，电流相对振幅分布图。

电压电流相对幅度分布图如下：
第6章习题
6-1 为什么规则金属波导中不能传输TEM 波?
答：由于规则的均匀波导中的各横向电场/磁场分布只与纵向电场E z 和纵向磁场H z 有关，可由如下表达式表示：
+??-
=x E j y H j k z y x E z z c x βωμ21),,(
-??=
y E j x H j k z y x E z z c y βωμ21),,(
-??=
x H j y E j k z y x H z z c x βωε21),,(
+??-
=y H j x E j k z y x H z z c y βωε21),,( 由上式可见，当0=z E 和0=z H 时，系统中不存在任何电磁波，也就是规则波导不能传输TEM 波。

6-2 请写出矩形波导的波导波长，工作波长和截止波长的关系？答：导波波长2
122?
-=
=
k k k c g πβ
π
λ，
工作波长k
πλ2=，截止波长2
2
2??
+??? ??=
b n a m
c λ。

6-3 何谓TEM 波、TE 波和TM 波?矩形波导的波阻抗和自由空间波阻抗有什么关系? 答：TEM 波：纵向电场和纵向磁场都为零，TE 波：纵向电场为零，纵向磁场不为零；TM 波：纵向磁场为零，纵向磁场不为零。

6-4 矩形波导的横截面尺寸为a =23mm ，b =10mm ，传输频率为10GH z 的TE 10波，试求（1）截止波长λC 、波导波长λg 、相速v p 和波阻抗Z TE 。

（2）能传输那几种模式？答：1）截止波长2
2
102??
+??? ??=
b n a m
c λ，mm a n m 4620,1====。

导波波长39.6m m 463013011222
2
2
-=
-=
-=
=
c c g k k k λλλ
πβ
π
λ。

相速度s m c v c p /103.957446301103182
82
=??
-?=
-=
λλ
波阻抗Ω=??
-=
-=
3.4974630177312
2
c TE Z λλη
2）计算mm c 2320=λ，mm c 34.1811=λ，mm c 2001=λ，而对于10GHz 的电磁波其波长为30mm ，因此只有TE 10波的截止波长大于30mm ，只能传输TE 10模式。

6-5 矩形波导的尺寸为a ?b =23?10 mm 2，工作中心频率为f o =9375MHz ，求单模工作的频率范围f min ~f max 及中心频率所对应的波导波长λg 和相速v p ?
答：1）计算mm c 2320=λ，mm c 34.1811=λ，mm c 2001=λ，由此可见要想传输单模TE 10模式，其波长范围为mm mm 4623<<λ。

由λ/c f =转换为频率，
GHz GHz 04.1352.6<<λ。

2）对于中心频率为f o =9375MHz, 对应的波长为
mm f c 32/00==λ，其导波波长2122
-=
=k k k c g π
βπλ=
-=21c λλλ 44.5mm 46321322
=??
-,相速为s m c v g /1017.44632182
=??
-=。

6-6 下列二矩形波导具有相同的工作波长，试比较它们工作在TM 11模式的截止频率。

(1) a ?b =23?10 mm 2 (2) a ?b =16.5?16.5 mm 2
答：对于 a ?b =23?10 mm 2波导，其截止波长为34.1810123122
2
11=??? ??+??? ??=
c λmm ；而对
于 a ?b =16.5?16.5 mm 2 其截止波长为mm c 3.2325.165.1615.1612
22
11=?=??
+??? ??=
λ,
由此可见对于相同的工作波长（2）截止频率比(1)截止频率小。

6-7 推导矩形波导中TE mn 波的场分布式。

答：参考6.2.1节
6-8 设矩形波导中传输TE10波，求填充介质(介电常数为ε)时的截止频率及波导波长。

答：对于矩形波导中传输TE10波，填充介质(介电常数为ε)时的截止频率为：
a
f c
c 21
1
εμλεμ=
=
，
其导波波长为
2
11
-=
c p λλεμλ
6-9 已知矩形波导的截面尺寸为a ?b =23?10mm 2，试求当工作波长λ=10mm 时，波导中能传输哪些波型? λ=30mm 时呢?
答：分别求出TE 10, TE 20 TE 30 TE 40 TE 01 TE 11 TE 21 TE 31 TE 41 TM 11 TM 21 TM 31各模式的截止波长，mm c 4610=λ，mm c 2320=λ，mm c 3.1530=λ，mm c 5.1140=λ，mm c 34.1811=λ，
mm c 2001=λ，mm c 1002=λ，mm c 2.950=λ，mm c 99.912=λ，mm c 09.1521=λ，mm c 17.1231=λ，mm c 97.941=λ。

对于工作波长为λ=10mm ，截止波长大于工作波长的
模式可以在此波导中传播，即：TE 10, TE 20, TE 30, TE 40, TE 01, TE 11, TE 21, TE 31, TM 11, TM 21, TM 31。

6-10 一矩形波导的横截面尺寸为a ?b =23?10mm 2，由紫铜制作，传输电磁波的频率为f =10GH z 。

试计算；
(1) 当波导内为空气填充，且传输TE 10波时，每米衰减多少分贝?
(2) 当波导内填充以εr =2.54的介质，仍传输TE 10波时，每米衰
减多少分贝? 答：对于截面为(a,b)的矩形波导，TE 10模式的导体衰减常数为
+?
-=2
222121120a a b a b R s
c λλπα，这里σμπf R s =
，这里紫铜的电导率为m S /10977.59?=σ，A Tm /1047-?=πμ，()
39791022.810977.5/1014.341014.3--?===σμπf R s ，
(铜的表面电阻3977
1022.810106.210
6.2---?=?=?=f R s
144.2856211202
=??
-=a b A λπ
3699.12212
=
+=a a b B λ
m NP B A
R s
c /109.33699.1*144.2856/1022.853--?=?==
α
6-11 试设计λ=10cm 的矩形波导，材料用紫铜，内充空气，并且要求TE 10波的工作频率至少有30％的安全因子，即0.7f c2≥ f ≥1.3f c1，此处f c1和f c2分别表示TE 10波和相邻高阶模式截止频率。

答：由于中心工作波长λ=10cm ，为10cm 波段，若选用10cm 标准波导BJ-32,其工作频率范围为2.6~3.95GHz,
高端频率为f max =3.95GHz,
由此可见 5.1350G Hz 3.195.320=?=cTE f 低端频率为 f c1=2.6GHz,
由此可见G Hz 82.17.06.210=?=cTE f 在内充空气的情况下
5.8423cm 10135.5103982020=??==cTE cTE f c λ 1
6.48cm 10
82.11039820
10=??==
cTE cTE f c λ 对于工作频率为2.6~3.95GHz,对应的波长为7.59~11.54cm,矩形波导一般选择λ7.0=a
那么 a 的范围为 5.3130~8.0780cm; B=0.45a,其范围为2.3908~3.6351 6-12 用BJ-32波导作馈线：
(1)工作波长为6cm 时，波导中能传输哪些波型?
(2)用测量线测得波导中传输TE 10波时两波节之间的距离为10.9cm ，求λg 和λ。

(3)波导中传输H 10波时，设λ=10cm ，求v p 和λg 和λc 。

答：BJ-32波导其工作频率范围为2.6~3.95GHz, 2
cm 04.3214.7?=?b a ，其截止波长为
14.4280cm 10=c λ，cm 214.720=c λ，5.6028cm 11=c λ，cm 08.601=c λ等等。

1）当工作波长为6cm 时，原理上，波导中能传输波型为10TE ，20TE 以及01TM 。

2）用测量线测得波导中传输TE 10波时两波节之间的距离为10.9cm ，则导波波长为λg =2*10.9=21.8cm ，利用公式（6-2-29）可得
2
1
-=
c g λλλ
λ=21.8，可得02.124180.148.2118.2112
2
=?
+=
+=
c
g g
λλλλ
3）波导中传输H 10波时，且λ=10cm ，则14.4280cm 10=c λ82
82
104.166641.141011031?=?
-?=
-=
c p c v λλ
13.888741.141011012
2
=?
-=
-=
c g λλλ
λ
6-13 尺寸为a ?b =23?10 mm 2的矩形波导传输线，波长为2cm 、3cm 、5cm 的信号能否在其中传播?可能出现哪些传输波型?
答：计算a ?b =23?10 mm 2的矩形波导的截止波长mm c 4610=λ，mm c 2001=λ，
mm c 34.1811=λ。

由下图可见
由上图可见，1）A(2cm)右边有两个模式TE 10和TE 20，因此可以传输模式TE 10和TE 20; 2）B(3cm)右边有1个模式TE 10，因此只能传输模式TE 10; 3）C(5cm)右边没有模式，因此不能有任何模式在波导中传播。

6-16 一空气填充的波导，其尺寸为a ?b =22.9?10.2mm 2，传输TE 10波，工作频率f =9.375GHz ，空气的击穿强度为30kV ／can 。

求波导能够传输的最大功率。

答：波导的击穿功率P br 由击穿电场E br 决定，利用波导传输功率的公式
ds E
Z P s
t
w
2
21??=
并考虑H 10波在2/a x =处的场强最大，即
0,2/)sin(H a
E a x x a
H a E y t π
ωμπ
πωμ===
，当它等于E br 时即被击穿，故击穿功率P br 为
图题6-13
cm
kV E mm b a a abE P br br br /30,32,16.10,9.222148002
02====?
-=λλπ
则
kW P br 4.997=
6-17 圆波导中波型指数m 和n 的意义是什么?它与矩形波导中的波型指数有何异同? 答：圆波导中波型指数m 表示场沿圆周分布的整数；n 表示沿半径分布的最大值个数。

1)矩形波导中，除了TE m0和TM m0外，均纯在波型简并。

对于b a >的情况，TE mn 和TM mn (m ≠0，n ≠0)简并——二重简并；b a =（正方波导）则TE mn 和TM mn 和TE nm 和TM nm ——四重简并；当a b 5.0=，则TE 01和TE 20简并，TE 02和TE 04简并，TE 50和TE 32、TM 32简并 2)圆波导中，除了模式简并外，还存在极化简并。

E-H 模式简并，是贝赛尔函数的性质决定，由于)()(10x J x J '-='，所以)(0
x J '的零点与)(1x J '的零点相等，因此TE 0n 和TM 1n 为简并模式。

3)极化简并是由TE mn 和TM mn 场分量中都有)cos(0??-m 或)sin(0??-m 因子，这里的0?决定场在角向的极化方向。

利用三角恒等式，可将其写为
m B m A m D sin )cos()cos(0+=- )sin(),cos(00??==B A
上式表明，极化方向0?的不定性。

实际上表示场在圆周?方向有)cos(?m 或)sin(?m 两个线性无关的独立成分，但却有相同的截止波长，因此具有双重简并。

除m=0的模式外，都具有极化简并。

6-18 什么叫简并波型?这种波型有什么特点?
答：波导中不同的波型具有相同的截止波长的现象称为波型简并
或模式简并波型特点参考上题答案。

6-19 欲在圆波导中得到单模传输，应选择哪一种波型?单模传输的条件是什么?
答：圆型波导中最低模式为TE 11,其R c 41.3=λ，次之为TM 01，其R c 62.2=λ，而TE 01的
R c 64.1=λ，故单模传输条件为R R 41.362.2<<λ
6-20 空气填充圆波导的直径为5cm ，求：(1) H 11、H 01、E
01、E 11各模式的截止波长λC 。

(2)当工作波长λ=7cm ，6cm ，3cm 时，波导中分别可能出现哪些波型? (3)且λ=7cm 时传输主模的波导波长。