上海高二高中数学期末考试带答案解析

上海高二高中数学期末考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、填空题
1.________________ ．
2.已知复数满足是虚数单位)，则_____________．
3.已知是纯虚数，是实数，则
4.已知，求=
5.复数的值是．
6.若关于x的一实系数元二次方程有一个根为，则______
7.设复数，则=_____________．
8.若且的最小值是_____________
9.在复平面上，已知直线上的点所对应的复数满足，则直线的倾斜角为（结果用反三
角函数值表示）
|为直径的圆的面积为______．
10.，那么以|z
1
11.用一个平面去截正方体。

其截面是一个多边形，则这个多边形的边数最多是条
12.已知空间四边形，、分别是、中点，，，，则与所成的角
的大小为_________
二、选择题
1.若复数z=a+bi(a、b∈R),则下列正确的是（）
A．>B．=C．<D．=z2
2.在复平面内，若复数对应的向量为，复数对应的向量为，则向量对应的复数是（）A．1B．C．D．
3.如图，正方体中，若分别为棱的中点，、分别为四边形
、的中心，则下列各组中的四个点不在同一个平面上的是（）
（A）（B）
（C）（D）
4.若为异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是（）
A．相交B．异面C．平行D．异面或相交
三、解答题
1.（本小题满分10分）
已知复数z 1满足(1+i )z 1=－1+5i ， z 2=a －2－i ， 其中i 为虚数单位，a ∈R ， 若<|z 1|，求a 的取值范围.
2.（本小题满分12分） 如图，长方体中，AD=2，AB=AD=4，，点E 是AB 的中点，点F 是的中点。

（1）求证：；
（2）求异面直线与所成的角的大小；
（本题满分12分） 已知，且以下命题都为真命题： 命题 实系数一元二次方程的两根都是虚数； 命题
存在复数同时满足
且
.
求实数的取值范围.
3.（本小题满分14分）
已知实系数一元二次方程x 2+px +q =0的两根分别为x 1，x 2。

（1）若上述方程的一个根x 1=4-i （i 为虚数单位），求实数p ，q 的值； （2）若方程的两根满足|x 1|+|x 2|=2，求实数p 的取值范围。

4.四．附加题（本小题满分8分） 设复数与复平面上点P(x,y)对应，且复数满足条件
|
a （其中n
.常数a
当n 为奇数时，动点P(x,y)的轨迹为C 1, 当n 为偶数时，动点P(x,y)的轨迹为C 2,且两条曲线都经过点D(2,
),求轨迹C 1 与C 2的方程？
上海高二高中数学期末考试答案及解析
一、填空题
1.________________ ．
【答案】
【解析】略
2.已知复数满足是虚数单位)，则_____________．
【答案】
【解析】略
3.已知是纯虚数，是实数，则
【答案】
【解析】略
4.已知，求=
【答案】50
【解析】略
5.复数的值是．
【答案】－16
【解析】略
6.若关于x的一实系数元二次方程有一个根为，则______
【答案】__0
【解析】略
7.设复数，则=_____________．
【答案】2
【解析】略
8.若且的最小值是_____________
【答案】．3
【解析】略
9.在复平面上，已知直线上的点所对应的复数满足，则直线的倾斜角为（结果用反三角函数值表示）
【答案】
【解析】略
10.，那么以|z
|为直径的圆的面积为______．
1
【答案】4π
【解析】略
11.用一个平面去截正方体。

其截面是一个多边形，则这个多边形的边数最多是条
【答案】6
【解析】略
12.已知空间四边形，、分别是、中点，，，，则与所成的角
的大小为_________
【答案】
【解析】略
二、选择题
1.若复数z=a+bi(a、b∈R),则下列正确的是（）
A．>B．=C．<D．=z2
【答案】B
【解析】略
2.在复平面内，若复数对应的向量为，复数对应的向量为，则向量对应的复数是（）A．1B．C．D．
【答案】D
【解析】略
3.如图，正方体中，若分别为棱的中点，、分别为四边形
、的中心，则下列各组中的四个点不在同一个平面上的是（）
（A）（B）
（C）（D）
【答案】B
【解析】略
4.若为异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是（）
A．相交B．异面C．平行D．异面或相交
【答案】B
【解析】略
三、解答题
1.（本小题满分10分）
已知复数z
1满足(1+i)z
1
=－1+5i，z
2
=a－2－i，其中i为虚数单位，a∈R，若<|z
1
|，求a的取值范围.
【答案】解：由题意得z
1
==2+3i，
于是==，=.
<
，得a 2－8a +7<0，1<a <7.
【解析】略
2.（本小题满分12分） 如图，长方体中，AD=2，AB=AD=4，，点E 是AB 的中点，点F 是的中点。

（1）求证：；
（2）求异面直线与所成的角的大小；
（本题满分12分） 已知，且以下命题都为真命题： 命题 实系数一元二次方程的两根都是虚数； 命题
存在复数同时满足
且
.
求实数的取值范围. 【答案】解：由命题
为真，可得
;……6分
由命题为真，可知复平面上的圆和圆有交点，
于是由图形不难得到
，……12分
故两个命题同时为真的实数的取值范围是
.……14分 【解析】略
3.（本小题满分14分）
已知实系数一元二次方程x 2+px +q =0的两根分别为x 1，x 2。

（1）若上述方程的一个根x 1=4-i （i 为虚数单位），求实数p ，q 的值； （2）若方程的两根满足|x 1|+|x 2|=2，求实数p 的取值范围。

【答案】解：（1）根据“实系数方程虚根共轭成对出现”，知x 2=4+i ， ……2分 根据韦达定理，知p =-(x 1+x 2)=-8；q =x 1·x 2=17。

……2分
（2）①当△=p 2
-4q <0时，方程的两根为虚数，且， ∴|x 1|=|x 2|=1，∴q =1。

∴p =-(x 1+x 2)=-2Re(x 1)∈[-2，2]，
又根据△=p 2-4q <0，∴p ∈(-2，2)。

……3分 ②（法一）当△=p 2-4q ≥0时，方程的两根为实数，
（2-1）当q >0时，方程的两根同号，∴|x 1|+|x 2|=|x 1+x 2|=|p |=2，∴p =±2； （2-2）当q =0时，方程的一根为0，∴|x 1|+|x 2|=|x 1+x 2|=|p |=2，∴p =±2； （2-2）当q <0时，方程的两根异号，∴|x 1|+|x 2|=|x 1-x 2|=2， ∴4=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=p 2-4q ，∴p 2=4+4q ∈[0，4)，∴p ∈(-2，2)
∴当△≥0时，p ∈[-2，2]。

……3分 综上，p 的取值范围是[-2，2]。

（法二）当△=p 2-4q ≥0时，方程的两根为实数，
∴|p |=|x 1+x 2|≤|x 1|+|x 2|=2，当x 1与x 2同号或有一个为0时等号取到。

特别的，取x 1=2，x 2=0时p =-2；取x 1=-2，x 2=0时p =2。

∴p ∈[-2，2]。

……3分 综上，p 的取值范围是[-2，2] 【解析】略
4.四．附加题（本小题满分8分） 设复数与复平面上点P(x,y)对应，且复数满足条件 |
a （其中n
.常数a
当n 为奇数时，动点P(x,y)的轨迹为C 1, 当n 为偶数时，动点P(x,y)的轨迹为C 2,且两条曲线都经过点D(2,),求轨迹C 1 与C 2的方程？
【答案】方法1：①当为奇数时，，常数
），
轨迹
为双曲线，其方程为
；……………………2分
②当为偶数时，，常数），
轨迹为椭圆，其方程为；……………………2分
依题意得方程组解得，
因为，所以，
此时轨迹为与的方程分别是：，.……………2分方法2：依题意得…………………2分
轨迹为与都经过点，且点对应的复数，代入上式得，…………………………………2分
即对应的轨迹是双曲线，方程为；
对应的轨迹是椭圆，方程为.…………2分
【解析】略。