习题解答_现控理论_第3章

习题解答
3-1
3-2
3-3
3-4
3-5
3-6
3-7
3-8
3-9
3-10
2 3-1试用直接计算法计算下列矩阵A 的矩阵指数函数e At (即状态转移矩阵)。

⑴ ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=1001A
⑵ ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=010100001A
解 (1) 按矩阵指数函数e At 的展开式，可计算如下:
222
2
22e ......
2!!
101010...0101012!11...02!101...2!e 00
e k k
At
t t A t A t I At k t t t t t t -=+++++--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎡⎤-++⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥
+++⎢⎥⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
(2) 按矩阵指数函数e At 的展开式，可计算如下:
222
2
223
32
e ......
2!!
1001001000100
01001...2!
0010
1001011...002!1101......2!3!
110...1...3!2!e 000cos sin 0s k k
At
t A t A t I At k t t t t t t t t t t t t =+++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎡⎤
+++⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
=-+-+⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
-++-+⎢⎥⎣⎦
=-in cos t t ⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
3
3-2 试利用矩阵指数函数的性质计算下列矩阵A 的矩阵值函数e At 。

⑴ ⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=20002001
2A
⑵ ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=100001000A
解 (1) 因为A 矩阵为由
[]1221202A A -⎡⎤
==-⎢⎥
-⎣⎦
2个方块矩阵组成的块对角矩阵，因此矩阵A 的矩阵值函数e At 为
1221202222101e 0e 0e 0e e 010010
e 0
e 0010e t t
t
t t t t t t t -⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦
---⎡⎤⎡⎤
⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==
==⎢
⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎣⎦⎣⎦
A A A (2) 因为A 矩阵为由
[]1200110A A ⎡⎤
==⎢⎥
⎣⎦
2个方块矩阵组成的块对角矩阵，其中块矩阵A 1的矩阵指数函数为
1T
T
0001110e =exp =exp =1000011t t t t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦A 因此矩阵A 的矩阵值函数e At 为
12100e
0e 100
e 00e t
t t t t ⎡⎤
⎡⎤⎢
⎥==⎢
⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥
⎣⎦
A A A
4 3-3试选择适当的方法计算下列矩阵A 的矩阵指数函数e At 。

⑴ ⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200110001A
⑵ )()(10
b a b a ab A ≠⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡+--=
解 (1) 因为A 矩阵为由
[]
1211102A A ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦
2个方块矩阵组成的块对角矩阵，其中块矩阵A 2的矩阵指数函数的计算过程为
21
222211
221
1121adj()1121()011(1)(2)0
2e e e e [()]0e t t t A t t
s sI A s s s sI A s sI A s s s sI A ---⎡⎤-
⎢⎥-⎡⎤-----===⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎣⎦
⎡⎤-=-=⎢⎥⎣⎦
L 因此矩阵A 的矩阵值函数e At 为
1222e 00e 0e 0e e e 0
e 0
e t
t
t t t t t t ⎡⎤
⎡⎤⎢⎥==-⎢
⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣
⎦
A A A (2) 因为A 矩阵的特征多项式为s 2+(a +b )s +ab ,其特征值为-a 和-b 。

因此矩阵A 的矩阵值函
数e At 可表示为
A t I t At )()(10αα+=e
其中待定函数由如下计算确定
1
01()1e e e 11()e e e at at bt
bt at bt
t a b a b t a b αα-------⎡⎤⎡⎤
--+⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
则系统的矩阵指数函数为
{}01()()1
(e e )(e e )e e e e 1(e e )e e At at bt at bt at bt
at bt at bt at bt t I t A
b a I A a b
b a a b ab a b αα------------=+=
-++-+-⎡⎤-+-+=⎢⎥---+-⎣⎦e
5
3-4试说明下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件,若满足,试求与之对应的A 矩阵。

⑴ ⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=Φt t t t t cos sin 0sin cos 0001)(
⑵ ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+--+=Φ----)(2)(4)
(241)(3333t t t t t t t t e e e e e e e e t
解 (1) 判断是否为状态转移矩阵，主要看是否其满足状态转移矩阵的如下定义式。

⎩⎨
⎧=ΦΦ=Φ
I
t A t )0()()( 本例的Φ(t)显然满足定义的初始条件。

设该Φ(t)满足该微分方程式，则也应该满足t=0的情形
(0)(0)A Φ
=Φ 即
(0)A =Φ
将本例的Φ(t)代入有
0000000(0)0sin cos 0010cos sin 010t A t t t t =⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=Φ=--=-⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
对上述计算出的A ，还需检验其是否满足Φ(t)定义中的微分方程式。

该微分方程式的左右两
边分别为
00()0sin cos 0cos sin 0001
00000()0010cos sin 0sin cos 0100sin cos 0cos sin t t t t t A t t t t t t t t t ⎡⎤⎢⎥Φ=--⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥Φ=--=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
综上所述，因为该A 矩阵满足Φ(t)定义中的微分方程式和初始条件，因此其为该Φ(t)为一个
状态转移矩阵，A 为其对应的系统矩阵。

(2) 判断是否为状态转移矩阵，主要看是否其满足状态转移矩阵的如下定义式。

⎩
⎨
⎧=ΦΦ=Φ
I t A t )0()()( 本例的Φ(t)显然满足定义的初始条件。

设该Φ(t)满足该微分方程式，则也应该满足t=0的情
形
6 (0)(0)A Φ
=Φ 即
(0)A =Φ
将本例的Φ(t)代入有
33330112(3)31(0)4144(3)2(3)t t t t t t t t t e e e e A e e e e ----=⎡⎤-++⎡⎤=Φ==⎢⎥⎢⎥+-+⎣⎦
⎣⎦ 对上述计算出的A ，还需检验其是否满足Φ(t)定义中的微分方程式。

该微分方程式的左右两
边分别为
3333333333332(3)31()44(3)2(3)112()
2(3)311()41444()2()4(3)2(3)t t t t t t t t t t t t t t t t
t t t t t t t t e e e e t e e e e e e e e e e e e A t e e e e e e e e ------------⎡⎤-++Φ=⎢⎥
+-+⎣⎦
⎡⎤⎡⎤+--++⎡⎤Φ=⨯=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥-++-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦
综上所述，因为该A 矩阵满足Φ(t)定义中的微分方程式和初始条件，因此其为该Φ(t)为一个
状态转移矩阵，A 为其对应的系统矩阵。

7
3-5 试求下列齐次状态方程的解。

(1) ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321300020001x x x x x x
(2) ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321*********x x x x x x
解：(1) 由于A 矩阵为对角线矩阵，其对应的矩阵指数函数为
23e 00e 0
e 000
e t
At t t ---⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
因此齐次状态方程的解为
0000()
()2()
003()e 00()=e ()0
e 0
()00
e t t A t t t t t t t t t -------⎡⎤⎢
⎥
=⎢⎥⎢⎥⎣
⎦x x x (2) 由于A 矩阵为约旦矩阵，其对应的矩阵指数函数为
221/2!e e 01001At t t t t ⎡⎤⎢⎥
=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
因此齐次状态方程的解为
00200()2()0001()()/2!()=e ()e 01()()001A t t t t t t t t t t t t t --⎡⎤--⎢⎥
=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
x x x
8 3-6设线性定常系统的齐次状态方程为
()()t A t =x
x 已知
⑴ 22()t t e t e --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦x , 当1(0)1⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦x
⑵ 2()t t e t e --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
x , 当2(0)1⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦x
试求取该系统的系统矩阵A 及状态转移矩阵)(t Φ。

解: 根据齐次状态方程的解表达式,将同一个系统在不同初始条件下的解排列在一起，有
121212[()()]=[e (0)e (0)]e [(0)
(0)]At At At t t =x x x x x x
因此,有
-1
1212-1
222222()=e [()
()][(0)
(0)]122112222At t t t
t t t t t t
t t t t t t e e e e e e e e e e e e ------------Φ=⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥----⎣⎦
⎣⎦⎡⎤--=⎢⎥-+-+⎣⎦
x x x x
下面计算上述矩阵指数函数（状态转移矩阵）对应的A 。

由状态转移矩阵的定义式
⎩
⎨
⎧=ΦΦ=Φ
I t A t )0()()( 知，矩阵A 和Φ(t)满足该微分方程式，则也应该满足t =0的情形
(0)(0)A Φ
=Φ 即
(0)A =Φ
将上述Φ(t)代入有
22220022224(0)1324t t
t t t
t
t t t e e e e A e e e e --------=⎡⎤-+-+⎡⎤
=Φ==⎢⎥⎢⎥----⎣⎦
⎣⎦
对上述计算出的A ，还需检验其是否满足Φ(t)定义中的微分方程式。

该微分方程式的左右两
边分别为
9
2222222222222224()24022222224()13224t t t t
t t
t t t t t t t t
t t
t t
t t t t t t e e e e t e e
e e e e e e e e e e A t e e
e e e e e e ------------------------⎡⎤-+-+Φ=⎢⎥--⎣⎦⎡⎤⎡⎤
---+-+⎡⎤Φ=⨯=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥---+-+--⎣⎦⎣⎦⎣⎦
综上所述，因为该A 矩阵满足Φ(t)定义中的微分方程式和初始条件，因此所求得的A 及其
状态转移矩阵Φ(t)满足题目所给定的两个初始条件。

10 3-7 已知线性定常系统的齐次状态方程为
01()()21t t ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
x x 试确定与状态T (1)[25]=x 相对应的初始状态(0)x 。

解 对本题，先求出系统的状态转移矩阵。

由于矩阵A 为友矩阵，其特征多项式为s 2+s -2，特征值为1和-2，其对应的特征向量分别为
[1 1]T [1 -2]T
则由特征向量组成的变换矩阵P 可以将A 矩阵变换为对角线矩阵，即有
111121002P A P AP -⎡⎤=⎢⎥
-⎣⎦⎡⎤==⎢⎥
-⎣⎦
因此，原矩阵A 的矩阵指数函数为
1
222221121e 01e e 121130
e 2e e e -e 132e 2e e 2e t
At
At
t t t
t t
t
t
t t P P ------⎡⎤⎡⎤⎡⎤
==⨯⎢
⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦
⎣⎦⎡⎤+=⎢⎥
-+⎣⎦
因此，若已知T (1)[25]=x ，则由1(1)=e (0)⨯A x x 可得
12
12
121
2
121
223e e 2e e e -e 1(0)=e (1)532e 2e e 2e 3e 2e A -------⎡⎤-⎡⎤+⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-++⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
x x
11
3-8 已知线性定常系统的非齐次状态方程为
u x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣
⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡023******* ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡10)0()0(21x x 试分别求在下列输入下状态轨迹()t x
(1) 阶跃信号)0(1)(≥=t t u ;
(2) 负指数信号)0()(≥=-t e t u t 。

解 先求系统的状态转移矩阵。

1
221
1
22211131adj()11212()22212(1)(2)12
122e e e e e [()]-2e 2e -e 2e t t t t At
t
t t t s sI A s s s s sI A s sI A s s s s s s sI A -------------⎡⎤+
+
⎢⎥
+⎡⎤-++++-===⎢⎥
⎢⎥----++⎢⎥
⎣⎦+
+⎢⎥++++⎣⎦
⎡⎤
--=-=⎢⎥++⎣⎦
L 然后根据非齐次状态方程的解公式对不同输入求解状态响应。

(1) 当输入信号为负指数信号)0()(≥=-t e t u t
1111()
00()()()()e (0)e
()d -3e 33e 2t
At A t t t t sI A sI A BU s B τττ-------⎡⎤⎡⎤=-+-=+⎣⎦⎣⎦⎡⎤
+=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
⎰x x x u L L
(2) 当输入信号为负指数信号)0()(≥=-t e t u t
1111()
0022()()()()e (0)e
()d e e 4e 2e +3e 4e t
At A t t t t t t t t sI A sI A BU s B t t τττ-----------⎡⎤⎡⎤=-+-=+⎣⎦⎣⎦⎡⎤-+=⎢⎥--⎢⎥⎣⎦
⎰x x x u L L
12 3-9 试求取下列连续系统状态方程在T =0.1s 的离散化方程。

(1) 000()011t u ⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
x x
(2) 011()021t u ⎡⎤⎡⎤
=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
x x
解 采样周期T=0.1s 较大，采用精确离散法
(1) 先求系统的状态转移矩阵。

由于A 为对角线矩阵，因此状态转移矩阵为
10()0e t t ⎡⎤
Φ=⎢⎥⎣⎦
因此，精确离散化方法离散化所得的系统模型各矩阵为
0.10.1001010()=()0e 0e 10000()()dt dt 0e 1e 1e 1T T T t T G T T H T t B ⎡⎤⎡⎤
Φ==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=Φ===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎰⎰
(2) 先求系统的状态转移矩阵。

由求状态转移矩阵的方法，可求得本题的
221(1e )/2()0e t t
t --⎡⎤
-Φ=⎢⎥⎣⎦
因此，精确离散化方法离散化所得的系统模型各矩阵为
20.220.2
220.2
220.2001(1e )/21(1e )/2()=()0e 0e 11(1e )/26T-1+e -0.4+e 11()()dt ()dt 1440e 2-2e 2-2e T T t T T T t T G T T H T t B t ----------⎡⎤⎡⎤
--Φ==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎡⎤⎡⎤⎡⎤
-⎡⎤=Φ=Φ==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎰⎰
13
3-10已知系统的状态方程为
0.2110(1)()()00.201k k k ⎡⎤⎡⎤+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦x x u 1(0)3-⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
x 其中输入信号u 1(k )和u 2(k )分别为阶跃信号和斜坡信号在采样周期为0.2s 时的采样值。

试求系统的状态方程的解x (k )。

解 (1) 直接法求解。

先计算出G k 。

由于G 矩阵为约旦矩阵，则
11
10.20.20
0.2k
k k k k
k k k k G λλ
λ--⎡⎤⎡⎤
Ω==⎢
⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
又知
1()0.2k k ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
u 因此有
1
10112110111()(0)()
11010.20.20.20.2(1)3010.200.200.20.230.20.20.2(1)30.20.2k k
k j j k
k k j k j k k k j j k k k j k j k
k j j k G G H j k k j j k k j j ---=--------=------=+-⎡⎤⎡⎤--⎡⎤
⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤
-+⨯+--=+⎢⎥⎢⎥⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
∑∑x x u 10k -=∑
(2) 用z 变换法求解。

先计算(zI -G )-1:
1220.21adj(-)1
(-)00.2|-|(0.2)110.2(0.2)100.2z zI G zI G z zI G z z z z --⎡⎤=
=
⎢⎥--⎣⎦
⎡⎤⎢⎥
--⎢
⎥=⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
对系统输入，
1()0.2k k ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
u 其拉氏变换为
14 21()0.2(1)z z U z z z ⎡⎤⎢⎥
-⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
因此有
-12222()(I-)[(0)()]
111100.2(0.2)1=0.230110(1)0.2110.2(0.2)10.2130(1)0.20.2(X z z G z HU z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z =+⎧⎫
⎡⎤⎡⎤⎪⎪⎢⎥⎢⎥-⎡⎤⎡⎤---⎪⎪
⎢⎥⎢⎥+⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪
⎢⎥⎢⎥⎪⎪--⎣⎦⎣⎦⎩⎭
⎡⎤⎡
⎤-+⎢⎥⎢⎥---⎢
⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥
+⎢⎥⎢
⎥--⎣⎦⎣⎦-+-=
x 222230.20.2)(1)(0.2)(0.2)(1)30.20.2(0.2)(1)z z z z z z z z z z z z ⎡⎤
++⎢⎥
-----⎢⎥⎢⎥
+⎢⎥---⎣⎦
22211222213230.20.2(0.2)(1)(0.2)(0.2)(1)(){()}30.20.2(0.2)(1)30.20.20.8(1)0.8(0.2)(0.2)0.8(0.2)0.40.20.8(0.2)0.8(1)z z z z z z z z z z k X z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z ----⎡⎤+++⎢⎥------⎢
⎥==⎢⎥
+⎢⎥---⎣⎦
-+-++----⨯-++=⨯-⨯-x Z Z Z 232223223221220.40.8(1)30.20.20.20.20.8(0.2)0.8(1)0.8(1)0.752 2.120.240.20.8(0.2)0.8(0.2)0.8(1)0.8(1)2.120.20.20.8(0.2)0.8(1)0z z z z z z
z z z z z z z z z z z z z z z z z -⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
-⎢
⎥+⎢
⎥
⨯-⎢⎥⎢⎥-+++⎢⎥----⎢⎥⎣⎦-+++⨯-⨯-⨯-⨯-=-++--Z
2323222.8(1)0.7520.2 2.120.20.240.20.80.80.80.82.120.20.20.2
0.80.80.8k k k
z k k k ⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦⎡⎤
-⨯⨯+++⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⨯-++⎢⎥⎣⎦
15
3-11 设线性时变离散系统的状态方程为
111(1)()()001kT kT kT kT e e k k k e e ----⎡⎤⎡⎤-+=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
x x u 0(0)0⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦x 试求取在s T 2.0=且[]T
()01(0)k k =≥u 时该系统状态方程的解。