江苏省宿迁市沭阳国际学校高三数学上学期期初考试试题(高补班)

沭阳国际学校2015—2016学年度第一学期期初测试
高补班数学试卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题
纸的指定位置上.
1．已知集合{}1,0,1,2A =-, {}
2|10B x x =->，则A B =I ▲ . 2．复数111-++-=
i
i
z ，在复平面内z 所对应的点在第 ▲ 象限． 3．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -内任取一点P ，则点P 到点A 的距离小于a 的概率为 ▲ ． 4．“6
π
α=
”是“1
sin 2
α=
”的 ▲ 条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、 “充要”、“既不充分也不必要”)
5．如图，该程序运行后输出的结果为 ▲ .
6．已知样本7,8,9,,x y 的平均数是8，且60xy =，则此样本的标准 差是 ▲ .
7．设γβα,,为两两不重合的平面，,,l m n 为两两不重合的直线， 给出下列四个命题，其中真命题的个数为 ▲ . ①若γβγα⊥⊥,，则βα//；
②若ββαα//,//,,n m n m ⊂⊂，则βα//；
③若βα//，α⊂l ，则β//l ；④若,,,//l m n l αββγγαγ===I I I ，则n m //.
8．抛物线2
12y x =-的准线与双曲线22
193
x y -=的两条渐近线所围成的三角形的面积等 于 ▲ .
9．已知函数()2(1)ln f x f x x '=-，则()f x 的极大值为 ▲ ．
10．过点(4,1)A -,且与已知圆22
2650x y x y ++-+=切于点1,2B （）的圆的方程为 ▲ .
11．已知中心为O 的正方形ABCD 的边长为2，点M 、N 分别为线段BC 、CD 上的两个不
同点，且1MN u u u u r
≤，则OM ON ⋅u u u u r u u u r 的取值范围是 ▲ . 12．在数列{}n a 中，10a =，
111
111n n a a +-=--，设11n n a b n
+-=
，记n S 为数列{}n b 的
前n 项和，则99S = ▲ .
13．设)(x f '和)(x g '分别是()f x 和()g x 的导函数，若()()0f x g x ''≤在区间I 上恒成立，
则称)(x f 和)(x g 在区间I 上单调性相反.若函数3
1()23
f x x ax =
-与2()2g x x bx =+在开区间(,)a b 上单调性相反（0a >），则b a -的最大值为 ▲ ．
14. 已知,,x y z R ∈，且2
2
2
1,3x y z x y z ++=++=，则xyz 的最大值是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15. (本小题满分14分)
设a R ∈，()()2
cos sin cos cos 2f x x a x x x π⎛⎫
=-+-
⎪⎝⎭满足()03f f π⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
， (Ⅰ)求函数)(x f 的单调递增区间；
（Ⅱ）设ABC ∆三内角C B A ,,所对边分别为c b a ,,且c a c
c
b a b
c a -=-+-+22
22222， 求)(x f 在(]B ,0上的值域．
16. (本小题满分14分)
正ABC ∆的边长为4，CD 是AB 边上的高，E F 、分别是AC 和BC 的中点（如图（1））.现将ABC ∆沿CD 翻折成直二面角A DC B --如图（2）.在图形（2）中： （Ⅰ）试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； （Ⅱ）在线段BC 上是否存在一点P ，使DE AP ⊥?证明你的结论.
17. (本小题满分14分)
某地开发了一个旅游景点，第1年的游客约为100万人，第2年的游客约为120万人. 某数学兴趣小组综合各种因素预测：①该景点每年的游客人数会逐年增加；②该景点每年的游客都达不到130万人. 该兴趣小组想找一个函数()y f x =来拟合该景点对外开放的第
x (1)x ≥年与当年的游客人数y （单位：万人）之间的关系.
（1）根据上述两点预测，请用数学语言描述．．．．．．．函数()y f x =所具有的性质； （2）若()f x =
m
n x
+，试确定,m n 的值，并考察该函数是否符合上述两点预测； （3）若()f x =(0,1)x
a b c b b ⋅+>≠，欲使得该函数符合上述两点预测，试确定b 的取 值范围．
18. (本小题满分16分)
已知A 为椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 上的一个动点，弦AB 、AC 分别过焦点12F F 、，
当AC 垂直于x 轴时，恰好有12:3:1AF AF =u u u r u u u u r
.
（Ⅰ）求椭圆离心率；
（Ⅱ）设111222,AF F B AF F C λλ==u u u r u u u u r u u u u r u u u u r
,试判断21λλ+是否为定值？
若是定值，求出该定值并证明；若不是定值，请说明理由.
19. (本小题满分16分)
已知函数()log (0,1)x a
b f x b b =>≠的图像过点A 1,44
（），(15)
B ，， 设2
(4)log ,n n b n a f a S =+为{}n a 的前n 项和。

（Ⅰ）解关于n 的不等式0n n a S ≤；
（Ⅱ）设222()n n n b a S n n N *
=+∈，求n b 的最小值。

20. (本小题满分16分)
若函数()(ln )f x x x a =-（a 为实常数）.
（1）当0a =时，求函数)(x f 在1x =处的切线方程； （2）设()|()|g x f x =.
①求函数()g x 的单调区间； ②若函数1()()
h x g x =
的定义域为2
[1,]e ，求函数()h x 的最小值()m a .
沭阳国际学校2015—2016学年度第一学期期初测试
高补班数学（理科加试题）
1、已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
11，属于特
征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
3－2．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．
2、若两条曲线的极坐标方程分别为=l 与=2cos(θ+π
3)，它们相交于A ，B 两点，
求线段AB 的长．
3、口袋中有)(*
N ∈n n 个白球，3个红球．依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X ．若
班级 姓名 学号 准考证号 考场
30
7
)2(=
=X P ，求（1）n 的值； （2）X 的概率分布与数学期望．
4、设数列{}n a 是等比数列，31
1232
C A m m m a +-=⋅，公比q 是4
214x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中的第二项（按x 的降幂排列）．
（1）用,n x 表示通项n a 与前n 项和n S ；
（2）若1212C C C n
n n n n n A S S S =+++L ，用,n x 表示n A ．
2016届高补数学参考答案：
一、填空题： 1、{}2 2、二 3、
6
π
4、充分不必要
5、16 6
7、2 8、
9 、2ln 22- 10、2
2
(3)(1)5x y -+-= 11
、
)(
22,2⎡⎣
U 12、
910 13、12
14、
27
5 二、解答题：
15. 解：(Ⅰ)2
2
()sin cos cos sin f x a x x x x =-+sin 2cos 2.2
a
x x =-
由
1()(0)1,322
a f f a π-=-+=-=得解得因
此
()2cos 22sin(2).6f x x x x π=-=- 令Z k k x k ∈+≤-≤+-,22
6222ππ
πππ得
Z k k x k ∈+≤
≤+-
,3
6
ππ
ππ
故函数)(x f 的单调递增区间)(3,6Z k k k ∈⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++-
ππππ
（Ⅱ）由余弦定理知：c a c
C b B c C ab B ac c
b a b
c a -===-+-+2cos cos cos 2cos 22
22222，即C b B c B a cos cos cos 2=-，
又由正弦定理知：()A C B C B B C B A sin sin cos sin cos sin cos sin 2=+=+=，即
2
1cos =
B , 所以3
π
=
B 当⎥⎦⎤
⎝⎛∈3,
0πx 时，⎥⎦
⎤ ⎝⎛-∈-2,662πππx ，()(]2,1-∈x f ，故)(x f 在(]B ,0上的值域为(]2,1-
16、（Ⅰ）如图（2）：在ABC ∆中，由EF 分别是AC 、BC 的中点，得EF//AB ，又⊄AB 平面DEF ，
⊂EF 平面DEF . ∴//AB 平面DEF.
（Ⅱ）在线段BC 上取点P ，使BP =
BC 3
1
，过P 作PQ ⊥CD 于点Q ，∴⊥PQ 平面ACD . ∵，3
3231==
DC DQ ∴ADQ Rt ∆中，3
3tan =
∠DAQ .在等边ADE ∆中，,30ο
=∠DAQ ∴DE AP DE AQ ⊥⊥,
17.解：（1）预测①：()f x 在[)1,+∞上单调递增；预测②：()130f x <对[)1,x ∈+∞恒成立；
（2）将（1，100）、（2，120）代入到m y n x =+中，得1001202
m n
m n =+⎧⎪
⎨=+⎪⎩，解得40140m n =-⎧⎨
=⎩. 因为40()140,f x x =-+所以240
()0f x x
'=>，故()f x 在[)1,+∞上单调递增，符合预测①；
又当4x ≥时，40
()140130,f x x
=-
+≥所以此时()f x 不符合预测②. （3）由2
100120ab c ab c =+⎧⎨=+⎩，解得20(1)20
1001a b b c b ⎧=⎪-⎪⎨⎪=-⎪-⎩
.因为()ln ,x
f x a b b '=⋅⋅要想符合预测①，则()0,f x '>
即ln 0a b ⋅>，从而01a b >⎧⎨
>⎩或001
a b <⎧⎨<<⎩.
（i ）当1b >时，20
0(1)
a b b =
>-，此时符合预测①，但由()130f x ≥，解得
23
log 2
2b b x b ⎛⎫- ⎪⎝⎭≥，
即当23log 22b b x b ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭≥时，()130f x ≥，所以此时()f x 不符合预测②； （ii ）当20
01,0(1)
b a b b <<=
<-，此时符合预测①，又由1,x ≥知(]0,x b b ∈，所以
[),0x a b ab ⋅∈；从而[)(),.f x ab c c ∈+欲()f x 也符合预测②，则130c ≤，即
20100130,1b -
-≤又01b <<，解得103b <≤.综上所述，b 的取值范围是10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦
18.解：（Ⅰ）当AC 垂直于x 轴时，a b AF 22||=，13||||21：：=AF AF ，∴a b AF 2
13||=
∴a a
b 242
=，∴222b a =，∴22c b =，故22=e .
（Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆的方程为2
2
2
22b y x =+，焦点坐标为)0,(),0,(21b F b F -.
①当AC 垂直于x 轴时，则b
b
b 23,112+=
=λλ，这时621=+λλ； 当AB 垂直于x 轴时，则5,121==λλ，这时621=+λλ.
②当弦AC 、AB 的斜率都存在时，设),(),,(),,(221100y x C y x B y x A ，则AC 所在的直线方程为
)(00b x b
x y y --=
，代入椭圆方程得0)(2)23(2
0200202=--+-y b y b x by y bx b . ∴0
22
022023bx b y b y y --=，C F AF 222λ=，b x b y y 0
20223-=-=λ.同理b x b 0123+=λ，∴
621=+λλ
综上可知21λλ+是定值 6.
18.解：（Ⅰ）当AC 垂直于x 轴时，a b 22||=，13||||21：：=，∴a b 2
13||=
∴a a
b 242
=，∴222b a =，∴22c b =，故22=e .
（Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆的方程为2
2
2
22b y x =+，焦点坐标为)0,(),0,(21b F b F -.
①当AC 垂直于x 轴时，则b
b
b 23,112+=
=λλ，这时621=+λλ； 当AB 垂直于x 轴时，则5,121==λλ，这时621=+λλ.
②当弦AC 、AB 的斜率都存在时，设),(),,(),,(221100y x C y x B y x A ，则AC 所在的直线方程为
)(00b x b
x y y --=
，代入椭圆方程得0)(2)23(2
0200202=--+-y b y b x by y bx b . ∴0
22
022023bx b y b y y --=，F AF 222λ=，b x b y y 0
20223-=-=λ.同理b x b 0123+=λ，∴
621=+λλ
综上可知21λλ+是定值 6.
19解：（1）1
1()log log 444
(1)log 1log 5b b b b f a f a ⎧=-=⎪⎨⎪=-=⎩10
124a b ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩ 104410
()log log (2)12x f x x ∴== 即10244101log (24)log ()2n
n a =⋅+5105n n =+-=-
即5n a n =- (9)2n n n S -= ，(5)(9)02n n n --∴
≤， 59n ∴≤≤ （2）2(9)
2(5)22
n n n b n n -=⨯-⨯+2(5)(9)2n n n n =--+321245n n n =-+
32321[(1)12(1)45(1)](1245)
n n b b n n n n n n +-=+-+++--+2(331)12(21)45n n n =++-++
232134n n =-+，令2321340n n -+>
n ∴>
或n <，又n N *∈，
故
2n ≤或5n ≥时 1n n b b +> 25n << 1n n b b +<，
1234567b b b b b b b ∴<>>><<<L
1534,50b b ∴== {}n b ∴最小值为134b =（也可构造函数32()1245f x x x x =-+，
研究其极值）
20.解：（1）当0a =时，()ln ,()ln 1,(1)1,f x x x f x x k f ''==+∴== 又当1x =时，0,y = ∴函数()f x 在1x =处的切线方程1y x =-；
（2）因为()ln ,()|()||ln ||ln |ln ,a
a
x x ax x e
g x f x x x a x x a ax x x x e
⎧-≥⎪==-=-=⎨-<⎪⎩， ①当a
x e ≥时，()ln 10g x x a '=+->恒成立，所以(,)a
x e ∈+∞时，函数()g x 为增函数；
当a x e <时，()1ln g x a x '=--，令()1ln 0g x a x '=-->，得1
0a x e
-<<，令
()1ln 0g x a x '=--<，得1a x e ->，所以函数()g x 的单调区间为1(,),(0,)a a e e -+∞；单调
减区间为1
(,)a a e
e -；
②当2
[1,]x e ∈时，ln [0,2]x ∈，因为11()()|ln |
h x g x x x a =
=-的定义域为2
[1,]e ，所以2a >或0a <.
（i ）当0a <，1a
e <，所以函数()g x 在2
[1,]e 上单调递增，则()g x 的最大值为2
(2)a e -，
所以()h x 在区间2
[1,]e 上的最小值为2
1
()(2)m a a e =
-；
（ii ）当23a <<时，2
a
e e <，且1
21a e
e -<<，所以函数()g x 在)1
1,a e -⎡⎣上单调递增，在
(1
2,a e
e -⎤⎦
上单调递减，则()g x 的最大值为1
a e -，所以()h x 在区间2[1,]e 上的最小值为
1
1()a m a e -=
；
（iii ）当3a ≥时，1
2a e
e ->，所以函数()g x 在2[1,]e 上单调递增，则()g x 的最大值为
2(2)a e -，所以()h x 在区间2[1,]e 上的最小值为2
1
().(2)m a a e =
-
综上所述，2121,0,(2)1
(),
23,1, 3.
(2)a a a e m a a e
a a e -⎧
<⎪-⎪⎪=<<⎨⎪⎪
≥⎪-⎩
附加题参考答案
1、解：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11可得，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝6⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
11，
即c ＋d ＝6； ………………………………………3分
由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
3－2，
即3c －2d ＝－2， …………………………………………6分
解得⎩⎨⎧c ＝2，d ＝4．即A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤ 3 3 2 4， …………………………………………8分 所以A 的逆矩阵是⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤ 23 －12
－13 12
……………………………………………………10分
2、由1ρ=得22
1x y +=， 又
Q
22cos()cos ,cos sin 3
π
ρθθθρρθθ=+=∴=
22
0x y x ∴+-+=
，由222210
x y x y x ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩得1(1,0),(,)22A B --
, AB ∴== 3、（1）由题知,307
)2)(3(3)2(2
3
1
13=++=⨯==+n n n A A A X P n n 2*755420,
(76)(7)0.,7.
n n n n n N n -+=--=∈=即即因所以为 （2）由题知，X 的可能取值为1，2，3，4，所以
,120
1
12073071071)4(,1207
)3(,307)2(,107)1(3
10
172311017=---
==========X P A A A X P X P A A X P
所以，X 的概率分布表为
所以.811120141207330721071)(=⨯+⨯+⨯+⨯
=X E 答X 的数学期望是.8
11
4、解：（1）∵31
122
C A m m m a -=⋅ ∴ 233,21,m m m +⎧⎨-⎩≥≥ ∴3m =， ………2分 由4
214x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的同项公式知2412421C 4T x x x -⎛⎫== ⎪⎝⎭
，
∴1n n a x -= ∴, =1,1, 11n n n x S x x x
⎧⎪
=⎨-≠⎪
-⎩； ………4分
（2）当1x =时，123 C 2C 3C C n
n n n n n n S n A n ==++++L , ，
又∵1210
C (1)C (2)C C 0C n n n n n n n n n A n n n --=+-+-+++L ， ∴012 2(C C C C )2n n n n n n n A n n =++++=⋅L ， ∴1
2
n n A n -=⋅， 当x ≠1时, 11n n x S x
-=-，
21212122111C C C 1111 [(C C C )(C C C )]11 [2(1)],
1n n
n n n n
n n n
n n n n n n n n x x x A x x x x x x x x x
---=+++---=+++-+++-=-+-L L L
∴12, 1,2(1), 11n n n n n x A x x x -⎧⋅=⎪
=⎨-+≠⎪
-⎩
． ……………10分。