梁弯曲时的变形PPT课件

w w xl
xl
解得：
E1
3 96
ql3
F1 0
y
q
E2
8 ql3 96
F2
5
FAx
ql4
96
A
FAy
EI l
将积分常数回代得：
BC FB l/2
Me x
wE1I11616qqxl32x37298q6lqxl23936qll3 x30l2xl
wE1I321124qqlx24x2 97698q6lqxl33x 93695q6lq3l4
dx
挠度与转角的正负号规定： 挠度：
向下为正，反之为负 转角：
顺时针为正，反之为负
？→如何求挠曲线的方程式
2 梁的挠曲线的近似微分方程
纯弯曲： 1 M
EI z
非纯弯曲： h 1
l 10
1
x
Mx
EIz
1
x
1
w
w2
3
2
小 变 形
1
x
d 2w dx2
d2w M x
dx2 EIz
梁挠曲线的近似微分方程 1 略去了剪力的影响 2 略去了变形高次方
6 E zL I
b
最大转度 A(0)6P EzaILb(Lb)（顺时针） A
a
Pb
LC
B(L)6P EzaIL(bLa)（逆时针） w
ab ma xB（绝对值） ab max A
从AB，
Bx
最大挠度wmax
dw0
dx
x0
w(x0)为极值
不失一般性，a设 b
则x0
L2 b2 3
w m axw (x0)93 P E bIzL(L2b2)3
5-15 (a) 5-18 (a)
解：取如图所示的坐标系，弯矩方程为：
xa ww 连续条件 6、写出截面抗弯模量的数学式，对圆截面，抗弯和抗扭截面模量有何关系？
分别列出AC、CB段弯矩方程并积分：
12
3 与平衡方程联立求解。
7-1(1) 7-2 (1)
xa w1w2 光滑条件
利用边界条件解得：
0xl lx3l2
自由端C的截面转角和挠度 ：
c x 3 l
1 ql 3 96
2
wc
w
x 3l 2
1 ql4 384
●积分法
4 叠加法计算梁的位移
q
Me
A
BC
EI
x
l
l/2
w
Me 单A 独 作 用w
wE 1I 1 6 6xl3xx22 l42lxM el2M 2x4e l32 l3 42lxx2 lxq3 q
例7：车床主轴如图所示，已知工作时的径向力P1 =2000N，齿轮啮合处的径向力P2 =1000N；
(2)弯矩最大的截面转角最大，弯矩为零的截面
7-19 7-20
M <0 式中， C、D为积分常数，可由梁的某些截面的已知变形条件来确定 ，如：
2 略去了变形高次方
w 解：取图示的坐标系，求支座反力得：
wC wC wD wD
B、C、D： 弯矩方程的分界点
静定(组合)梁如图所示，试分别列出确定积分 常数时需用的边界条件和变形连续条件。
a
q
a
q
A
Bx A
Bx
C
C
l
l
w
w
例3 图示抗弯刚度为EIz的简支梁受集中力P作 用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程，并确
定最大挠度和最大转角。
P
a
b
A
LC
B
解：利用平衡方程求两个支反力：
FQ
x0
7 16
ql
7
C1
ql 16
F Q x 3 l 0 C2 0 2
M x0 0 D1 0
M
x 3 l 2
1 16
ql
2
D1
1 ql2 16
弯矩方程：
Mx11216qqx2l217l6qxlx 30l 2xl
y
q
FAx A
EI FAy l
BC FB l/2
Me x
梁挠曲线的近似微分方程
x0 L2 b2 3
w m axw (x0)93 P E bIzL(L2b2)3 A
讨论： 1bL2 x0L2
w
a
Pb
LC
Bx
2bx0
3 b 0 lim x 0 0 .5 7 7 L
w m a x F b L 293 E I 0 .0 6 4 2 F b L 2E I w x l2 F b L 21 6 E I 0 .0 6 2 5 F b L 2E I
2
确定超静定次数
1 略去了剪力的影响
d w 由悬表臂7梁-1自查由出端，受因集P中1在力C作处用引起的挠度和在B引起的转角2为：
Mx
dx2
EIz
3 积分法计算梁的位移
w M x w w
EI z
E Iz E Izw M x d x C
积分法
E Izw M x d x 2 C x D
(65、)梁写的出最截大面挠抗度弯必模产量生的于数最学大式弯，矩对处圆。截面，抗弯和抗扭截面模量有何关系？
未普知通反 机力床的主数轴目、多一于般平的衡轴方：程的数目，仅由静力平衡方程不能求解的梁，称为超静定梁(静不定梁)
7悬-1臂9梁自由7-端20受集中力作用
(线1)弹正性弯，矩位产移生可正以转叠角加，负弯矩产生负转角；
梁弯曲时的变形
梁弯曲时的变形
1 概述(挠度和转角)
应力 荷载
变形
强度要求 刚度要求
主轴变形对加工精度的影响 变形的利用：汽车的钢板弹簧
梁变形的两个位移度量
●竖向位移 挠曲线
竖向位移CC'
→挠度 w C
w wx
●转角
F
A
C
B
C' x
wC x B'
w
x
tan dw w
dx
tan
dw w 挠度与转角之间的关系
普梁通挠机 曲床线主的轴近、似一微般分的方轴程： 二非、线提 性高弹承性载，能位力移的不措可施以叠加
F2
F 挠向度下与 为转正角，的反正之负为号负规定：
常3 与数平时衡需方用程的联边立界求1条解件。和变形连续条件。
Δ1
试1 概求述此(梁挠的度最和大转挠角度) wmax和两端面的转角 A、 B。
Δ Δ 7(1、)当总梁结的材支料承力情学况解对决称应，力荷问载题也的对一称般时方，法则和弯步矩骤图。永为对称图形，剪力图永为反对称图形；
C1C26 PLb(L2b2)
D1D20
Pb(L2b23x2) 0xa
6EzL I
P[ b L ( 2 b 2 3 x 2 ) 3 L (x) -2 ]aa x L
6 E zL I
b
Pb(x L2b2x2) 0xa
6EzL I
w
P[ b x (L 2 b 2 x 2 ) L (x)-3 ]aa x L
0xl lx3l2
EI
l
Me BC
x l/2
w
1 EI
x 6l 1
x2 3x2
l2 Me 4lx l2
6
Me
q 单 独A
作 用w
q
EI
l
BC l/2
x
w
1 EI
x 24
l3 2lx2
l3 24
x
l
q
x3
q
q
Me w1Me2q 3 F
A
BC
线性关系
EI
l w
l/2
x 1Me2q 3 F
式中， C、D为积分常数，可由梁的某些截面的 已知变形条件来确定 ，如：
A
边
界 条w 件A
B
wA 0
E I z w M x
x
wA w x0 0
A 0 A x 0 0
B
wA 0 wB 0
P
A
C
B
铰支座
P D
C
A
铰连接 连续但不光滑
连续条件 光滑条件
wC wC
C C
wC wC
O Δ O Δ O 3悬l=4臂改0c梁善m自梁，由的a端=受2受力0c集和m中支，力座C处作位的用置1许用挠度[y]=0.
2
Δ2 Δ1+2
Δ
用独反根力 草代，替多多年余生约草束本植物，具粗壮的根状茎，生长在山谷和悬崖石缝处，为中国特有属。
EIzw2PL bxP(xa)
EIzw1
Pbx2 2L
C1
EIzw 2P 2 bL x2P(x2 a)2C 2
EIzw1P6bLx3 C1xD1
E Izw 2P 6 b L x3P (x6 a)3C 2xD 2
P
a
b
A 自由端C的截面转角和挠度 ： L C 解：取图示的坐标系，求支座反力得：
边界条件： 例 计算图示悬臂梁的弯曲应变能，并计算B点的挠度wB，已知梁的弯曲刚度为EI。
x0 w0 (2)当梁的支承情况对称，荷载反对称时，则弯矩图1永为反对称图形，剪力图永为对称图形。
支承条件 将主轴简化为如图b所示的外伸梁，横截面的惯性矩为
xL w0 (1)当梁的支承情况对称，荷载也对称时，则弯矩图永为对称图形，剪力图永为反对称图形；
非线性弹性，位移不可以叠加
2
故 C点的挠度由三部分组成 ——
普线通弹机 性床，主位轴移、可一以般叠的加轴F：
—— 静定基
F
F
例普7通：机车床床主主轴轴、如一图般所的示轴，：已知工作时的径向力P1 =2000N，齿轮啮合处的径向力P2 =1000N；
F +F 故例 求求2全全C点 部 部用的未未积挠知知分度力力法由求三位部移分时组，成图示—梁—应分几段来列挠曲线的近似微分方程？试分别列出确定1 积分2常数时需用的边界条件和变形连续条件。
C
C
例1 图示为一受均布荷载作用的简支梁，梁的弯曲
刚度EIz为常数。试求此梁的最大挠度wmax和两端面的转
角A、 B。
q
A
A
B
Bx
FRA
x
FRB
w
l
解：取如图所示的坐标系，弯矩方程为：
Mx1qlx1qx2
22
挠曲线的近似微分方程为：
q
EIzw Mx1 2qx21 2qlx A
积分得：
x
E Izw E Iz1 6qx31 4qlx2C w
叠加原理：梁在几个荷载同时作用时，其任一截面处的转角（或挠度）等于各个荷载单独作用时梁在该截面处的转角（或挠度）的总
和。
普通机床主轴、一般的轴：
例题：已知 F，E，G，求C点铅垂位移 悬臂梁自由端受集中力作用
2
x d w d w 0 (2) 校核刚度
d x dx 6、写出截面抗弯模量的数学式，对圆截面，抗弯和抗扭截面模量有何关系？
叠加原理：梁在几个荷载同时作用时，其任一截 面处的转角（或挠度）等于各个荷载单独作用时梁在 该截面处的转角（或挠度）的总和。
但是有一点需要说明：
适用条件：
1 小变形
2 材料处于弹性阶段且服从胡克定律
为什么线性关系可以叠加？
5用-1变5形(a比) 较5-法18解(简a)单超静定梁
线弹性，位移可以叠加
ddx2w 2 M EIzx中 的 正 负 号:
x M >0
w
w
dw dx
0
x
dw dx
d 2w dx2 0
ddx2w 2 M EIzx中 的 正 负 号:
将主轴简化为如图b所示的外伸梁，横截面的惯性矩为
1 略去了剪力的影响
梁挠曲线的近似微分方程
x
例 试用叠加法求图示悬臂梁自由端B处的挠度。
A
x0
ql 3 24 EI
z
B
q
A
x
wl
Bx
例2 用积分法求位移时，图示梁应分几段来列挠 曲线的近似微分方程？试分别列出确定积分常数时 需用的边界条件和变形连续条件。
q
A l/2
B C EI
l/2
l/2
F
D
E
l/2
边界条件：
wB wD 0
变形光滑条件： B B
C C
D D
变形连续条件： wB wB
Bx
梁挠曲线的近似微分方程
w 独根草，多年生草本植物，具粗壮的根状茎，生长在山谷和悬崖石缝处，为中国特有属。
则C处的总挠度为：
根据梁的弯矩图和支座条件，画出梁的挠曲线的大致形状。
请思考：能不能将力F向A点简化，为什么？
比较三种情形下梁的 (2)当梁的支承情况对称，荷载反对称时，则弯矩图永为反对称图形，剪力图永为对称图形。
边界条件：
w
Mx
EI
1 EI
12qx2
7 qlx 16
0xl
1 ql2 16
l x3l2
w x0 0
w xl 0
w
1
16qx3
7 qlx2 32
E10xl
EI116ql2xE2l x3l2
连续性条件：
xl
xl
1 214qx4976ql3xE1xF10xl w EI312ql2x2E2xF2lx3l2
l
E Izw2 1 4qx41 1 2qlx3C xD
梁的边界条件为：
wA wx0 0 wB w xl 0
D0 C 1 ql3
24
Bx
转角方程式和挠度方程式分别为：
w q 4x36lx2l3 24EIz
w q x42lx3l3x 24EIz
w max w
x l 2
5ql 4 384 EI z
wmax
wL2
结论：对于简支梁而言，无论集中力P作用在何 处，用w(l/2)代替wmax，最大误差为2.65%。
例4 用积分法求图示外伸梁自由端C的截 面转角和挠度，其中Me=ql2/16。
y q
FAx A EI
FAy
l
Me BC
x
FB l/2
解：取图示的坐标系，求支座反力得：
FAx 0
FAy
FRAP Lb
FRBP La

显然，AC段与CB段弯矩方程的表达式不一样。
分别列出AC、CB段弯矩方程并积分：
FRA a
P b
FRB
A
LC
B
x
w
AC段
CB段
M 1(x)F RAxP L bx0xa M 2 ( x ) F R A x P ( x a )a x L
EIzw1M1(x)PL bx
7 ql 16
FB
9 16
ql
qx
q0 0l
x x 3l
l 2
y FAx A
q
积分
FQ
x
q xC10 x l C2l x3l 2
EI FAy l
BC FB l/2
Me x
积分
Mx 12qx2 C1xD10xl
C2xD2l x3l2
边界(A、C点)条件：
FAy
7 ql 16
FB
9 ql 16