高中数学第一章集合提升课课件北师大版必修1

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热点考点例析 专题一 集合的概念与表示
集合中元素的三个特性中，互异性的应用更为广泛，题目中常 出现，有关问题的求解中常常会由于忽略了对集合元素互异性的检验 而导致结果出现错误．
常用的集合表示方法有列举法、描述法和图示法，有限集常用列 举法表示，而无限集常用描述法．描述法表示集合时，集合中元素的 意义取决于它的“代表”元素，如：
即 a 的取值范围－∞，23∪[6，＋∞)．
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方法归纳, 1．集合元素的互异性在解题中的两个应用 (1)切入：集合的元素满足互异性，在一个集合中没有相同的元素， 利用此性质能找到解题的切入点． (2)检验：解题完毕时，可利用互异性验证答案的正确性． 2．描述法表示集合的关键及应用时的注意点 (1)关键：清楚代表元素及元素的共同特征． (2)注意点：当共同特征的表示形式相同时，要清楚代表元素的不 同会导致集合含义的不同，所以研究描述法时要关注集合中代表元素 的属性．
A＝{y|y＝2x＋3}中的元素为函数 y＝2x＋3 的函数值，A 为值域； B＝{x|y＝2x＋3}中的元素为函数 y＝2x＋3 的自变量的取值，B 为 定义域； C＝{(x，y)|y＝2x＋3}中的元素为方程 y＝2x＋3 的解，也可以看 作函数 y＝2x＋3 图像上的点，C 是方程的解集或点集．
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[例 3] (1)已知全集 U＝{x|x2<50，x∈N}，L∩(∁U M)＝{1,6}，M∩(∁ U L)＝{2,3}，∁U (M∪L)＝{0,5}，则集合 M＝________；集合 L＝ ________；
(2)设集合 A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝ {x|x2＋2x－8＝0}．
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能力挑战 2 已知集合 P＝{x|－2≤x≤5}，Q＝{x|k＋1≤x≤2k－ 1}，求当 P∩Q＝∅时，实数 k 的取值范围．
【解析】 若 Q＝∅时，k＋1>2k－1，所以 k<2，P∩Q＝∅成立．
若 Q≠∅，所以 k＋1≤2k－1 即 k≥2.
由题意知k≥2， 2k－1<－2 或k≥2， k＋1>5.
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2．集合与不等式结合的运算包含的类型及解决办法 (1)不含字母参数：直接将集合中的不等式解出，在数轴上求解． (2)含有字母参数：若字母的取值影响到不等式的解，要先对字母 分类讨论，再求解不等式，然后在数轴上求解．
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能力挑战 3 设全集为 R，A＝{x|2<x≤5}，B＝{x|3<x<8}，C＝{x|a －1<x<2a}．
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2．解读集合表示的三种方法 集合常用的表示方法有三种，即列举法、描述法和图示法，其中 图示法包括 Venn 图法和数轴法两种． (1)列举法是把集合的元素一一列举出来，并用大括号“{ }” 括起来表示集合的方法． 使用列举法要注意：元素间用分隔号“，”且元素不能重复. (2)描述法是用集合所含元素的共同特征表示集合的方法． 使用描述法要注意：写清楚该集合中元素的代号(字母或用字母表 示的元素符号)，准确说明该集合中元素的特征．
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方法归纳, 1．集合间关系的判断方法 (1)定义法：根据定义直接判断元素与集合间的关系，得出集合间 的关系． (2)图示法：利用数轴或 Venn 图表示出相应的集合，根据图示直 观地判断． 2．求解集合间关系问题的两个注意事项 (1)解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行分类讨论，分 类时遵循“不重不漏”的原则，且对每类情况都要给出问题的解答． (2)对于两集合 A，B，当 A⊆B 时，不要忽略 A＝∅.
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(3)巧用性质简化解题过程： ①关系：A⊆A；A⊆B，B⊆A⇔A＝B；A⊆B，B⊆C⇒A⊆C；A B， B C⇒A C. ②并集：A⊆B∪A，B⊆B∪A；A∪A＝A；A∪∅＝∅∪A＝A；A⊆B ⇔A∪B＝B. ③交集：A∩B＝B∩A；A∩A＝A；A∩∅＝∅∩A＝∅；A⊆B⇔A∩B ＝A. ④补集：∁U U＝∅，∁U ∅＝U；∁U (∁U A)＝A；A∪(∁U A)＝U，A∩(∁ U A)＝∅；A⊆B⇔∁U A⊇∁U B；A＝B⇔∁U A＝∁U B.
①若 A＝B，求 a 的值； ②若∅ A∩B，且 A∩C＝∅，求 a 的值； ③若 A∩B＝A∩C≠∅，求 a 的值．
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【解析】 (1)全集 U＝{x|x2<50，x∈N}＝{0,1,2,3,4,5,6,7}； 因为 L∩(M)＝{1,6}，M∩(∁U L)＝{2,3}，如 Venn 图所示集合 M ＝{2,3,4,7}，集合 L＝{1,4,6,7}．
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能力挑战 1 (1)设集合 A＝{x|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则 A∩B ＝________；
(2)集合 A＝{(x，y)|x＋y≤1，x∈N，y∈N}中元素的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4
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【解析】 (1)集合 A 中的元素为数，即表示二次函数 y＝x2 自变 量的取值集合；集合 B 中的元素为点，即表示抛物线 y＝x2 上的点的 集合．这两个集合不可能有相同的元素，故 A∩B＝∅.
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(3)Venn 图法是指对给定的集合用封闭曲线的内部(常见的有圆和 矩形)表示的方法．
Venn 图表示集合时，要清楚集合中的元素是什么． (4)数轴通常用来表示不等式的解集．使用时要注意空心点与实心 点的区别．
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3．空集的透析 空集是不含有任何元素的集合．除了它本身的实际意义外，在研 究集合与集合之间的关系和运算时，必须予以单独考虑． (1)空集是任何一个集合的子集，是任何一个非空集合的真子集， 因此∅⊆{0}和∅ {0}都成立． (2)对于任意集合 A，都有 A∩∅＝∅，A∪∅＝A，∁A A＝∅，∁A ∅＝A 成立．
所以 k>4.综上所述 k 的取值范围是 k<2 或 k>4.
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专题三 集合的运算 集合的运算有交(∩)、并(∪)、补(∁U A)这三种常见的运算形式， 它是本章核心内容之一．在进行集合的交集、并集、补集运算时，往 往由于运算能力差或考虑不全面而出错，此时，数轴分析法(或 Venn 图)是个好帮手，能将复杂问题直观化，是数形结合思想具体应用之 一．在具体应用时要注意端点值是否适合题意，以免增解或漏解．
第一章 集合(jíhé)
章末复习(fùxí)提升课
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知能整合提升 1.集合中元素特征的认识 确定性、互异性、无序性是集合中元素的三个特征． (1)确定性是指一个对象 a 和一个集合 A，a∈A 和 a∉A 必居其一．它 是确定一组对象能否构成集合的依据． (2)互异性是指同一个集合中的元素是互不相同的．相同的对象归 入同一集合时只能算作集合的一个元素．在解答含参数的集合问题时， 互异性是一个不可缺的检验工具． (3)无序性是指任意改变集合中元素的排列次序，它们仍然表示同 一个集合．
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4．集合之间的关系与运算的注意点 (1)正确判断元素与集合、集合与集合之间的关系．元素与集合之 间的关系是属于与不属于的关系，集合与集合之间的关系是包含、真 包含、相等的关系，要按照定义仔细区别． (2)灵活运用集合与集合之间关系与运算的判断方法． 可将集合中的元素一一列举，直接观察得到；也可以根据定义判 断；还可以借助数轴(集合中元素以不等式形式描述时)或 Venn 图判断．
(2)集合 A 中的元素是点集， ∵x∈N，y∈N，x＋y≤1， ∴满足条件的点为(0,0)、(0,1)、(1,0)共 3 个．即集合 A 中元素的 个数为 3. 【答案】 (1)∅ (2)C
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专题二 集合间的关系及应用 集合间的关系是本章的主要问题之一，解决此类问题应从元素入 手，弄清元素与集合、集合与集合的从属或包含关系．对于含有参数 的问题经常进行等价转化，一般先化简集合，然后利用数形结合来解 决．
当 a＝－2 时，A＝{－5,3}，满足题意，故 a＝－2. ③当 A∩B＝A∩C≠∅时，只可能 2∈A，有 a2－2a－15＝0，解得 a＝5 或 a＝－3，经检验知 a＝－3. 【答案】 (1){2,3,4,7} {1,4,6,7}
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方法归纳,
1．集合基本运算的方法 (1)定义法或 Venn 图法：集合是用列举法给出的，运算时可直接 借助定义求解，或把元素在 Venn 图中表示出来，借助 Venn 图观察求 解. (2)数轴法：集合是用不等式(组)给出的，运算时可先将不等式(组) 在数轴中表示出来，然后借助数轴求解．
＝________.
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【解析】 (1)正确理解描述法是解题的关键． M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}＝{y|y≥1}， N＝{y|y＝x＋1，x∈R}＝{y|y∈R}， ∴M∩N＝{y|y≥1}∩{y|y∈R}＝{y|y≥1}， ∴选 D.
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(2)当 a＋2＝1，即 a＝－1 时，(a＋1)2＝0，a2＋3a＋3＝1 与 a＋2 相同，
(1)求 A∩B 及∁R (A∪B)； (2)若(A∩B)∩C＝∅，求实数 a 的取值范围．
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【解析】 (1)因为 A＝{x|2<x≤5}，B＝{x|3<x<8}， 所以 A∩B＝{x|3<x≤5}， A∪B＝{x|2<x<8}， 所以∁R (A∪B)＝{x|x≤2 或 x≥8}．
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[例 2] 设集合 A＝{x∈R|2x－8＝0}，B＝{x∈R|x2－2(m＋1)x＋ m2＝0}．
(1)若 m＝4，求 A∪B； (2)若 B⊆A，求实数 m 的取值范围．
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【解析】 (1)当 m＝4 时， A＝{x∈R|2x－8＝0}＝{4}， B＝{x∈R|x2－10x＋16＝0}＝{2,8}， 所以 A∪B＝{2,4,8}． (2)若 B⊆A，则 B＝∅或 B＝A， 当 B＝∅时，有 Δ＝[－2(m＋1)]2－4m2＝4(2m＋1)<0，得 m<－12. 当 B＝A 时，有 Δ＝[－2(m＋1)]2－4m2＝4(2m＋1)＝0，且－ －2m2 ＋1＝4，得 m 不存在，故实数 m<－12.
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(2)因为 A∩B＝{x|3<x≤5}，如图，
又因为(A∩B)∩C＝∅，
所以集合 C 应当为空集或在如图表示的区域两侧，当 C＝∅时，a
－1≥2a，解得 a≤－1，当 C≠∅时，
有2a≤3， a－1<2a 或a－1≥5，
解得－1<a≤32或 a≥6.
a－1<2a，
综上所述 a≤32或 a≥6.
所以不符合题意． 当(a＋1)2＝1，即 a＝0 或 a＝－2 时， ①a＝0 符合要求． ②a＝－2 时，a2＋3a＋3＝1 与(a＋1)2 相同，不符合题意． 当 a2＋3a＋3＝1，即 a＝－2 或 a＝－1. ①当 a＝－2 时，a2＋3a＋3＝(a＋1)2＝1，不符合题意． ②当 a＝－1 时，a2＋3a＋3＝a＋2＝1，不符合题意． 综上所述，a＝0.所以 2017a＝1. 【答案】 (1)D (2)1
(2)B＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}， C＝{x|x2＋2x－8＝0}＝{－4,2}．
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①若 A＝B，由根与系数的关系可得 a＝5 和 a2－19＝6 同时成立， 即 a＝5.
②由于∅ A∩B，且 A∩C＝∅，故只可能 3∈A.此时 a2－3a－10 ＝0，解得 a＝5 或 a＝－2.当 a＝5 时，A＝B＝{2,3}，A∩C≠∅，舍去；
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[例 1] (1)已知集合 M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{y|y＝x＋1，
x∈R}，则 M∩N 等于( )
A．(0,1)，(1,2)
B．{(0,1)，(1,2)}
C．{y|y＝1 或 y＝2}
D．{y|y≥1}
(2)已知 A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，且 1∈A，则实数 2017a