山东省13市2016届高三上学期期末考试数学文试题分类汇编：导数及其应用

山东省13市2016届高三上学期期末考试数学文试题
分类汇编 导数及其应用
一、选择题
1、（德州市2016届高三上学期期末）设()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为'()f x ，若()'()1f x f x +<，(0)2016f =，则不等式()2015x
x
e f x e ->（其中e 为自然对数的底数）的解集为
A ．(2015,)+∞
B ．(,0)(2015,)-∞+∞U
C ．(,0)(0,)-∞+∞U
D ．(,0)-∞
2、（济南市2016届高三上学期期末）已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，()f x '为其导函数，若对于任意实数x ，有()()0f x f x '->，则 A. ()()20152016ef f > B. ()()20152016ef f <
C. ()()20152016ef f =
D. ()()20152016ef f 与大小不确定
3、（胶州市2016届高三上学期期末）已知函数()2
1=cos 4
f x x x +，()f x '是函数()f x 的导函数，则()f x '的图象大致是
4、（临沂市2016届高三上学期期末）对任意0,2x π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，不等式()()sin cos x f x x f x '⋅<⋅恒成立，则下列不等式错误．．的是 A. 234f ππ⎛⎫⎛⎫
>
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
B. ()cos113f f π⎛⎫
>2⋅
⎪⎝⎭
C. ()214f f π⎛⎫
<⋅
⎪⎝⎭
D. 6426f f ππ⎛⎫
⎛⎫<
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
5、（泰安市2016届高三上学期期末）设()f x 在定义域内可导，其图象如右图所示，则导
函数()f x '的图象可能是
6、（烟台市2016届高三上学期期末）已知定义在实数集R 上的函数()f x 满足
()()11,f f x =的导数()()2f x x R '<∈，则不等式()21f x x <-的解集为
A. (),1-∞
B. ()1,+∞
C. ()1,2
D. ()(),11,-∞-⋃+∞
参考答案
1、D
2、A
3、A
4、D
5、B
6、B 二、解答题
1、（德州市2016届高三上学期期末）已知函数2
()22ln f x x ax x =-+。

（I ）若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线24y x =+平行，试求实数a 的值； （II ）若函数()f x 在定义域上为增函数，试求实数a 的取值范围； (III) 若()y f x =有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，5
2
a ≥，若不等式12()f x mx ≥恒成立，试求实数m 的取值范围。

2、（济南市2016届高三上学期期末）设函数()()2
1ln 2
a f x x ax x a R -=+-∈. （I ）当3a =时，求函数()f x 的极值； （II ）当1a >时，讨论函数()f x 的单调性.
3、（济宁市2016届高三上学期期末）已知函数()()()x
f x x a e
x R =-∈，函数
()ln g x bx x =-，其中a R ∈.
（1）若函数()g x 在点()()
1,1g 处的切线与直线230x y +-=垂直，求b 的值；
（2）求函数()f x 在区间[]
0,1上的最小值；
（3）若0b <，存在区间M ，使得函数()()f x g x 和在区间M 上具有相同的单调性，求实数a 的取值范围.
4、（胶州市2016届高三上学期期末）已知函数()()
2=-33x f x x x e +的定义域为[]-2t ，，设()-2=f m ()f t n =.
（Ⅰ）试确定t 的取值范围，使得函数()f x 在[]-2t ，上为单调函数； （Ⅱ）求证：m n <；
（Ⅲ）求证：对于任意的2t >-，总存在()0-2x t ∈，，满足()()
02021;3x f x t e '=-又若方程()()0
2
021;3
x f x t e '=-在()-2t ，上有唯一解，请确定t 的取值范围.
5、（莱芜市2016届高三上学期期末）已知函数()ln ,f x x ax x a R =-∈. （I ）当1a =时，求函数()f x 的单调区间； （II ）设()()
ln f x g x x
=
，若函数()()1,g x +∞在上为减函数，求实数a 的最小值； （III ）若20,x e e ⎡⎤∃∈⎣⎦，使得()001
ln 4
f x x ≤
成立，求实数a 的取值范围.
6、（临沂市2016届高三上学期期末）设函数()2
ln 2
x f x k x =-.
（1）求()f x 的单调区间；
（2）若()f x 在(
存在零点，求k 的取值范围.
7、（青岛市2016届高三上学期期末）已知函数()2
ln f x a x x bx =++（a 为实常数）.
（I ）若()()2,3,a b f x e =-=-+∞，求证：在上为单调增函数；
（II ）若202b a e =>-，且，求函数()f x 在[]
1,e 上的最小值及相应的x 值； （III ）设b =0，若存在[]
1,x e ∈，使得()()2f x a x ≤+成立，求实数a 的取值范围.
8、（泰安市2016届高三上学期期末）已知函数()ln f x x ax =+()a R ∈在点()()
1,1f 处切线方程为21y x =- （I ）求a 的值 （II ）若122k -
≤≤，证明：当1x >时，()311f x k x x ⎛⎫
>-+- ⎪⎝⎭
（III ）若2k >且k z ∈，()311f x k x x ⎛
⎫
>-+- ⎪⎝
⎭
对任意实数1x >恒成立，求k 的最大值.
9、（威海市2016届高三上学期期末）设函数()2
2
12ln 2
f x x mx nx =-
-. （I ）若m =-1，n =3，求函数()y f x =的单调区间； （II ）若x =2是()f x 的极大值点，求出m 的取值范围； （III ）在（II ）的条件下，试讨论()y f x =零点的个数。

10、（潍坊市2016届高三上学期期末）已知函数()()ln 0a
f x x a x
=+>. （I ）当1a =时，求函数()f x 的单调区间； （II ）求函数()[)1f x +∞在，上的最小值；
（III ）证明：()23
0,1,22
a a a f ⎛⎫∀∈> ⎪⎝⎭.
11、（烟台市2016届高三上学期期末）设函数
()()()()321
4,ln 13
f x mx m x
g x a x =++=-，其中,0a m R a ∈≠且.
（1）若函数()y g x =图象恒过定点P ，且点P 关于直线3
2
x =的对称点在()y f x =的图
象上，求实数m 的值；
（2）当8a =时，设()()()1F x f x g x '=++，讨论()F x 的单调性；
（3）在（1）的条件下，设()()(),2
,2f x x G x g x x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，曲线()y G x =上是否存在两点P,Q ，使
OPQ ∆（O 为原点）是以O 为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点在y 轴上？如果存在，
求实数a 的取值范围；如果不存在，说明理由.
12、（枣庄市2016届高三上学期期末）已知函数()()ln 1,f x x x a x a R =--∈. （1）求曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程； （2）当0a >时，求证：()f x 在（0，a ）上为减函数； （3）若当1x ≥时，()1f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 参考答案 1、
2、解：(1)函数的定义域为(0，＋∞)．……….1分
当a ＝3时，f (x )＝－x 2
＋3x －ln x ，f ′(x )＝－2x 2＋3x －1
x
＝－
（2x －1）（x －1）
x
，………2分
当12<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当0<x <1
2及x >1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．
所以f (x )极大值＝f (1)＝2，f (x )极小值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝5
4＋ln 2…………………………6分
(2)
f ′(x )
＝
(1
－
a )x
＋
a
－
1x
＝
（1－a ）x 2＋ax －1
x
＝
（1－a ）⎝ ⎛
⎭
⎪⎫x －1a －1（x －1）
x
，……9分
当1
a －1＝1，即a ＝2时，f ′(x )＝－（1－x ）2x ≤0，f (x )在定义域上是减函数；……
10分
当0<1a －1<1，即a >2时，令f ′(x )<0，得0<x <1a －1或x >1；令f ′(x )>0，得1
a －1<x <1…
11分
当1a －1>1，即1<a <2时，由f ′(x )>0，得1<x <1a －1；由f ′(x )<0，得0<x <1或x >1a －1， 综上，当a ＝2时，f (x )在(0，＋∞)上是减函数；
当a >2时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a －1和(1，＋∞)单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫
1a －1，1上单调递增；
当1<a <2时，f (x )在(0，1)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1，＋∞单调递减，在⎝ ⎛
⎭⎪⎫1，1a －1上单调递增．…
13分
3、
4、解：（Ⅰ）因为x
x
x
e x x e x e x x x
f ⋅-=⋅-+⋅+-=')1()32()33()(2
……………1分 令()0f x '>，得：1x >或0x <；令()0f x '<，得：01x <<
所以()f x 在(,0),(1,)-∞+∞上递增，在(0,1)上递减………………………………3分 要使()f x 在[2,]t -为单调函数，则20t -<≤
所以t 的取值范围为(2,0]- …………………………………………………4分 （Ⅱ）证：因为()f x 在(,0),(1,)-∞+∞上递增，在(0,1)上递减， 所以()f x 在1x =处取得极小值e
又2
13
(2)f e e -=<，所以()f x 在[2,)-+∞的最小值为(2)f -………………………………6分
从而当2t >-时，)()2(t f f <-，即m n < ………………………………………7分
（Ⅲ）证：因为0
2
000()x f x x x e '=-，
所以0
20()2(1)3x f x t e '=-，即为2
2002(1)3
x x t -=- 令2
22
()(1)3
g x x x t =--
-， 从而问题转化为证明方程2
22
()(1)03
g x x x t =--
-=在),2(t -上有解， 并讨论解的个数。

………………………………………9分 因为222
(2)6(1)(2)(4)33
g t t t -=-
-=-+-， 221
()(1)(1)(2)(1)33
g t t t t t t =---=+-
①当4t >或21t -<<时，(2)()0g g t -⋅<，
所以()0g x =在),2(t -上有解，且只有一解………………………10分
②当14t <<时，(2)0g ->且()0g t >，但由于22
(0)(1)03
g t =-
-< 所以()0g x =在),2(t -上有解，且有两解 ……………………………………11分 ③当1t =时，由2
()0g x x x =-=得：0x =或1x =，()0g x =在(2,)t -上有且只有一解； 当4t =时，由2()60g x x x =--=得：2x =-或3x =，
所以0)(=x g 在)4,2(-上也只有一解 ……………………………………12分
综上所述，对任意的2t ≥-，总存在0(2,)x t ∈-，满足
20()2
(1)3
x f x t e '=- 当方程02
0()2(1)3
x f x t e '=-在),2(t -上有唯一解， t 的取值范围为(2,1][4,)-+∞U ………………………………………14分
5、
6、解：（I ）()f x 的定义域为(0,)+∞--------------------------------------1分
2'
()k x k f x x x x
-=-=.---------------------------------------------------------2分
（1）0≤k 时，'
()0>f x ，()f x 在(0,)+∞上单调递增-----------------3分 （2）0>k 时，由'
()0f x =解得x k =
()f x 与'()f x 在区间(0,)+∞上的情况如下：
所以，()f x 的单调递减区间是k ，单调递增区间是(,)k +∞；------------5分
综上所述，0≤k 时，'()0>f x ，()f x 在(0,)+∞上单调递增
0>k 时，()f x 的单调递减区间是k ，单调递增区间是()k +∞------------------6分 （Ⅱ）（1）0≤k 时，()f x 在(0,)+∞上单调递增且()1102=
>f ，()f x 在e 没有零点 ------------------------------7分
（2）0>k 时，由（Ⅰ）知，()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为(1ln )2k k f k -=
. 因为()f x 存在零点，所以(1ln )02
k k -≤，从而k e ≥.-----------------------9分 当k e =时，()f x 在区间e 上单调递减，且(0f e =，()f x 在e 存在零点；---10分
当k e >时，()f x 在区间)e 上单调递减，且1(1)02f =
>，)02
e k
f e -=<， 所以()f x 在区间e 存在零点.----------------12分
综上所述，k e ≥.-----------------------------------------13分
7、解：(Ⅰ) 2,3a b =-=-时，2()2ln 3f x x x x =-+-， 定义域为(0,)+∞，22232(2)(21)()23x x x x f x x x x x
---+'=-+-== (,)x e ∈+∞时，(2)(21)()0x x f x x
-+'=>恒成立 所以()f x 在(,)e +∞上为单调增函数……………………4分
(Ⅱ)因为0b =，所以2
()ln f x a x x =+
22()(0)x a f x x x
+'=>，[1,]x e ∈，222[2,2]x a a a e +∈++ (i) 若2a ≥-，)(x f '在[1,]e 上非负（仅当2,1a x =-=时，()0f x '=），
故函数)(x f 在[1,]e 上是增函数，
此时min [()](1)1f x f ==………………………6分
(ii)若22
2 2 , 20, 20e a a a e -<<-+<+>
，22[()]2()a x f x x --'==[1,]x e ∈
当x =
()0f x '=
,22 2 ,1e a e -<<-<<
当1x ≤<()0f x '<，此时()f x 是减函数；
x e <≤时，()0f x '>，此时()f x 是增函数．
故min [()]ln()222
a a a f x f ==--…………………………9分 (Ⅲ) 0
b =，2()ln f x a x x =+
不等式()(2)f x a x ≤+，即2
ln (2)a x x a x +≤+
可化为2(ln )2a x x x x -≥-．
因为[1,]x e ∈, 所以ln 1x x ≤≤且等号不能同时取，
所以ln x x <，即ln 0x x ->， 因而22ln x x a x x
-≥-（[1,]x e ∈）……………………………11分 令22()ln x x g x x x
-=-（[1,]x e ∈），
又2(1)(22ln )()(ln )
x x x g x x x -+-'=-， 当[1,]x e ∈时，10,ln 1x x -≥≤，22ln 0x x +->，
从而()0g x '≥（仅当1x =时取等号），所以)(x g 在[1,]e 上为增函数，
故()g x 的最小值为(1)1g =-，所以实数a 的取值范围是[1,)-+∞……………………14分 8、
9、
10、
11、
12、解：(1)对()f x 求导，得()ln 1f x x a '=+-.………………………………………1分 则(1)1f a '=-.又(1)0f =，
所以，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为(1)(1)y a x =--.…………3分
(2)因为()ln 1f x x a '=+-为增函数，
所以当(0,)x a ∈时， ()()ln 1f x f a a a ''<=+-.………………………………4分 令()ln 1a a a ϕ=+-，求导得11()1a a a a
ϕ-'=-=.………………………………5分 当(0,1)a ∈时, ()0a ϕ'>,()a ϕ为增函数；当(1,)a ∈+∞时, ()0a ϕ'<,()a ϕ为减函数. 因此()(1)0a ϕϕ=„，即()0f a '„. …………………………………………………7分 所以，当(0,)x a ∈时， ()0f x '<.
所以()f x 在(0,)a 上为减函数.…………………………………………………………8分
(3)解法1：()ln 1f x x a '=+-.
①当1a „时，因为()ln 1f x x a '=+-为增函数，所以当1x …
时, ln 1ln111x a a a +-+-=-…0?,因此()0f x '….
当且仅当1a =且1x =时等号成立.所以()f x 在(1,)+∞上为增函数.
因此当1x …时，()(1)0f x f =….…………………………………………………………11分
② 当1a >时，由()ln 10f x x a '=+-=，得ln 1x a =-.解得1e a x -=. 当1(1,e )a x -∈时，()0f x '<，因此()f x 在1(1,e )a -上为减函数. 所以当1(1,e )a x -∈时，()(1)0f x f <=，不合题意.
综上所述，实数a 的取值范围是(,1]-∞.……………………………………………14分
解法2：()ln (1)0f x x x a x =--…⇔1ln (1)0x a x
--…. 令1()ln (1)g x x a x =--，则221()a x a g x x x x
-'=-=. ①当1a „时，因为1x …，所以()0g x '….当且仅当1a =且1x =时等号成立.
所以()g x 在(1,)+∞上为增函数.
因此，当1x …时，()(1)0g x g =….此时()0f x ….………………………………11分
② 当1a >时，当(1,)x a ∈时，()0g x '<，因此()g x 在(1,)a 上为减函数. 所以，当(1,)x a ∈时，()(1)0g x g <=，此时()0f x <,不合题意. 综上所述，实数a 的取值范围是(,1]-∞.……………………………………………14分。