【单元练】北京市北京四中九年级数学上册第二十四章《圆》测试卷(含答案解析)

一、选择题
1．如图，,AB AC 分别是O 的直径和弦，OD AC ⊥于点,D 连接,BD BC ．若10,8AB AC ==，则BD 的长是（ ）
A ．25
B ．4
C ．213
D ．245
C 解析：C
【分析】 先根据圆周角定理得∠ACB=90°，则利用勾股定理计算出BC=6，再根据垂径定理得到CD=AD=12
AC=4，然后利用勾股定理计算BD 的长． 【详解】
解：∵AB 为直径，
∴∠ACB=90°，
∴22221086BC AB AC =-=-=，
∵OD ⊥AC ， ∴CD=AD=
12AC=4， 在Rt △CBD 中，222246213BD BC CD =+=+=．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．
2．如图，在⊙O 中，直径AB ＝10，弦DE ⊥AB 于点C ，若OC ：OB ＝3：5，连接DO ，则DE 的长为（ ）
A ．3
B ．4
C ．6
D ．8D
解析：D
【分析】
根据题意可求出OC 长度，再根据勾股定理求出CD 长度，最后根据垂径定理即可得到DE 长度．
【详解】
∵AB ＝10，
∴OB =5
OC ：OB ＝3：5，
∴OC ＝3，
在Rt OCD △ 中，2222534CD OD OC =-=-=
∵DE ⊥AB ，
∴DE ＝2CD ＝8，
故选：D ．
【点睛】
本题考查垂径定理、勾股定理．掌握垂径定理“垂直于弦的直径平分这条弦”是解题的关键．
3．如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠ACB ＝54°，则∠ABO 的度数是（ ）
A ．54°
B ．30°
C ．36°
D ．60°C
解析：C
【分析】 根据圆周角定理求出∠AOB ，根据等腰三角形的性质求出∠ABO=∠BAO ，根据三角形内角和定理求出即可．
【详解】
解：∵∠ACB ＝54°，
∴圆心角∠AOB ＝2∠ACB ＝108°，
∵OB ＝OA ，
∴∠ABO ＝∠BAO ＝
12（180°﹣∠AOB ）＝36°， 故选：C ．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的性质和三角形的内角和定理等知识点，能求出圆心角∠AOB 的度数是解此题的关键．
4．如图，A ，B ，C 三点在O 上，若120ACB ∠=︒，则AOB ∠的度数是（ ）
A ．60︒
B ．90︒
C ．100︒
D ．120︒D
解析：D
【分析】 在优弧AB 上取一点D ，连接AD 、BD ，根据圆内接四边形的性质计算可得∠D ，然后根据圆周角定理即可求解．
【详解】
解：在优弧AB 上取一点D ，连接AD 、BD ，
∵四边形ADBC 是⊙O 的内接四边形，
∴∠D+∠ACB=180°，
∵120ACB ∠=︒
∴∠D=60°
∴∠AOB=120°，
故选：D ．
【点睛】
本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
5．如图，不等边ABC 内接于O ，下列结论不成立的是（ ）
A ．12∠=∠
B ．14∠=∠
C ．2AOB ACB ∠=∠
D ．23ACB ∠=∠+∠B
解析：B
【分析】
利用OB=OC 可对A 选项的结论进行判断；由于AB≠BC ，则∠BOC≠∠AOB ，而∠BOC=180°-2∠1，∠AOB=180°-2∠4，则∠1≠∠4，于是可对B 选项的结论进行判断；根据圆周角定理可对C 选项的结论进行判断；利用∠OCA=∠3，∠1=∠2可对D 选项的结论进行判断．
【详解】
解：∵OB=OC ，
∴∠1=∠2，所以A 选项的结论成立；
∵OA=OB ，
∴∠4=∠OBA ，
∴∠AOB=180°-∠4-∠OBA=180°-2∠4，
∵△ABC 为不等边三角形，
∴AB≠BC ，
∴∠BOC≠∠AOB ，
而∠BOC=180°-∠1-∠2=180°-2∠1，
∴∠1≠∠4，所以B 选项的结论不成立；
∵∠AOB 与∠ACB 都对弧AB ，
∴∠AOB=2∠ACB ，所以C 选项的结论成立；
∵OA=OC ，
∴∠OCA=∠3，
∴∠ACB=∠1+∠OCA=∠2+∠3，所以D 选项的结论成立．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理和等腰三角形的性质．
6．如图，A 、B 、C 三点在O 上，D 是CB 延长线上的一点，40ABD ∠=︒，那么AOC ∠的度数为（ ）．
A ．80°
B ．70°
C ．50°
D ．40°A
解析：A
【分析】 作弧ABC 所对的圆周角∠AEC ，如图，先利用邻补角计算出∠ABC=140°，再利用圆内接四边形的性质计算出∠E=40°，然后根据圆周角定理得到∠AOC 的度数．
【详解】
解：作弧ABC 所对的圆周角∠AEC ，
∵∠ABD=40°，
∴∠ABC=180°-40°=140°，
∵∠AEC+∠ABC=180°，
∴∠E=40°，
∴∠AOC=2∠AEC=2×40°=80°．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形对角互补，以及圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
7．如图，PA 切O 于点,A PB 切O 于点B PO ，交O 于点C ，下列结论中不一定成
立的是（ ）
A ．PA P
B =
B ．PO 平分APB ∠
C ．AB OP ⊥
D ．2PAB APO ∠=∠D
解析：D
【分析】 利用切线长定理证明△PAG ≌△PBG 即可得出．
【详解】
解：连接OA ，OB ，AB ，AB 交PO 于点G ，
由切线长定理可得：∠APO ＝∠BPO ，PA ＝PB ，
又∵PG=PG ，
∴△PAG≌△PBG，
从而AB⊥OP．
因此A．B．C都正确．
无法得出AB＝PA＝PB，可知：D是错误的．
综上可知：只有D是错误的．
故选：D．
【点睛】
本题考查了切线长定理、全等三角形的判定和性质，关键是利用切线长定理解答．8．如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（）
A2B．1 C．2 D．22
解析：A
【分析】
过B作关于直线MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，如图，由轴对称的性质可知AB′即为PA+PB的最小值，由同弧所对的圆心角和圆周角的性质可知∠AON＝2∠AMN＝2×30°＝60°，由对称的性质可知∠B′ON＝∠BON＝30°，即可求出∠AOB′的度数，再由等腰直角三角形的性质即可求解．
【详解】
解：作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，如图，
则AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点P，且PA+PB的最小值＝AB′，
∵∠AMN＝30°，OA=OM，
∴∠AON＝2∠AMN＝2×30°＝60°，
∵点B为劣弧AN的中点，
∴∠BON＝1
2∠AON＝1
2
×60°＝30°，
由对称性可得∠B′ON＝∠BON＝30°，
∴∠AOB′＝∠AON+∠B′ON＝60°+30°＝90°，∴△AOB′是等腰直角三角形，
∴AB′222，
即PA+PB2．
故选：A．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、轴对称的性质以及等腰直角三角形的性质等知识，解答此题的关键是根据题意作出辅助线、构造出直角三角形，利用勾股定理求解．
9．如图，⊙O 是四边形 ABCD 的内切圆，连接 OA 、OB 、OC 、OD ．若∠AOB ＝110°，则∠COD 的度数是（ ）
A ．60°
B ．70°
C ．80°
D ．45°B
解析：B
【分析】 设四个切点分别为E 、F 、G 、H ，分别连接切点和圆心，利用切线性质和HL 定理可以得到4对全等三角形，进而可得∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8，根据8个角之和为360°即可求解．
【详解】
解：设四个切点分别为E 、F 、G 、H ，分别连接切点和圆心，
则OE ⊥AB ，OF ⊥BC ，OG ⊥CD ，OH ⊥AD ，OE=OF=OG=OH ，
在Rt △BEO 和△BFO 中，
OE OF OB OB
=⎧⎨=⎩， ∴Rt △BEO ≌△BFO （HL ）
∴∠1=∠2，
同理可得：∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8，
∴∠1+∠8=∠2+∠7，∠4+∠5=∠3+∠6，
∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8=360°，
∴∠1+∠8+∠4+∠5=180°，
即∠AOB+∠COD=180°，
∵∠AOB=110°，
∴∠COD=180°﹣∠AOB=180°﹣110°=70°，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了圆的切线性质、全等三角形的判定与性质，利用圆的的切线性质，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键．
10．一个圆锥的底面直径为4 cm，其侧面展开后是圆心角为90°的扇形，则这个圆锥的侧面积等于（）
A．4πcm2B．8πcm2C．12πcm2D．16πcm2
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
参考答案D
解析：D
【分析】
设展开后的圆半径为r，根据圆锥性质可知底面周长就等于展开后扇形的弧长，然后算出展开后扇形的半径，进而计算出扇形的面积．
【详解】
解：设展开后的扇形半径为r，由题可得：
4π=
2r
π
解得r=8
∴S扇形=1
4
π×82
=16π
故选：D
【点睛】
此题主要考查了圆锥的计算，正确理解圆锥侧面展开图与各部分对应情况是解题关键．二、填空题
11．已知ABC的周长为30，面积为20，其内角平分线交于点O，则点O到边BC的距离为________．【分析】过O作OD⊥BC于DOE⊥AB于EOF⊥AC于F连接OAOBOC根据三角形的内心和角平分线的性质得出OE=OD=OF再根据三角形的面积公式求出即可【详解】如图过O作OD⊥BC于DOE⊥AB于
解析：43 【分析】 过O 作OD ⊥BC 于D ，OE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，连接OA 、OB 、OC ，根据三角形的内心和角平分线的性质得出OE=OD=OF ，再根据三角形的面积公式求出即可．
【详解】
如图，过O 作OD ⊥BC 于D ，OE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，连接OA 、OB 、OC ，
∵O 是△ABC 内角平分线的交点，
∴OE=OF=OD ，
∵△ABC 的面积是20，
∴S △AOB +S △BOC +S △AOC =20，
∴
111AB OE BC OD 222
⨯⨯+⨯⨯+×AC×OF=20， ∴(AB+BC+AC)×OD=40，
∵△ABC 的周长为30，
∴AB+BC+AC=30， ∴OD=404303
=， ∴即O 到BC 的距离是
43， 故答案为：
43
． 【点睛】 本题考查了三角形的内心，角平分线的性质和三角形的面积等知识点，能求出OD=OE=OF 是解此题的关键．
12．如图，点A ，B ，C 在圆O 上，54ACB ∠=︒，则ABO ∠的度数是______．
36°【分析】根据圆周角定理可得再利用等腰三角形的性质即可
求解【详解】解：∵∴∵∴故答案为：36°【点睛】本题考查圆周角定理掌握圆
周角定理是解题的关键
解析：36°
【分析】
根据圆周角定理可得2108AOB ACB ∠=∠=︒，再利用等腰三角形的性质即可求解．
【详解】
解：∵54ACB ∠=︒，
∴2108AOB ACB ∠=∠=︒，
∵OA OB =， ∴()1180362ABO BAO AOB ∠=∠=
︒-∠=︒， 故答案为：36°．
【点睛】
本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
13．如图，30ACB ∠=︒，点O 是CB 上的一点，且6OC =，则以4为半径的O 与直
线CA 的公共点的个数______． 2个【分析】如图（见解析）先利用直角三角形的性
质可得再根据直线与圆的位置关系即可得【详解】如图过O 作于点D ∵∴∴以4为半径的与直线CA 相交公共点的个数为2个故答案为：2个【点睛】本题考查了直角三角形
解析：2个
【分析】
如图（见解析），先利用直角三角形的性质可得132
OD OC =
=，再根据直线与圆的位置关系即可得．
【详解】
如图，过O 作OD OA ⊥于点D ，
∵30,6ACB OC ∠=︒=，
∴1342OD OC ==<，
∴以4为半径的O 与直线CA 相交， ∴公共点的个数为2个，
故答案为：2个．
【点睛】 本题考查了直角三角形的性质、直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题关键．
14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点,,A B C 的坐标分别是(0,),(22,0),()4,0,M
是ABC ∆的外接圆，则圆心M 的坐标为__________________，M 的半径为
_______________________． 【分析】M 点为BC 和AB 的垂直平分线的交点利用点
ABC 坐标易得BC 的垂直平分线为直线x=3AB 的垂直平分线为直线y=x 从而得到M 点的坐标然后计算MB 得到⊙M 的半径【详解】解：∵点ABC 的坐标分别是（
解析：()3,310【分析】
M 点为BC 和AB 的垂直平分线的交点，利用点A 、B 、C 坐标易得BC 的垂直平分线为直线x=3，AB 的垂直平分线为直线y=x ，从而得到M 点的坐标，然后计算MB 得到⊙M 的半径．
【详解】
解：∵点A ，B ，C 的坐标分别是（0，2），（2，0），（4，0），
∴BC 的垂直平分线为直线x=3，
∵OA=OB ，
∴△OAB 为等腰直角三角形，
∴AB 的垂直平分线为第一、三象限的角平分线，即直线y=x ，
∵直线x=3与直线y=x 的交点为M 点，
∴M 点的坐标为（3，3）， ∵22(32)310MB =-+=
∴⊙M 10．
故答案为（3，310．
【点睛】
本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了坐标与图形的性质．
15．如图，等腰直角△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=4．平面内的直线l 经过点A ，作CE ⊥l 于点E ，连接BE.则当直线l 绕着点A 转动时，线段BE 长度的最大值是________．
【分析】以AC 为直径作圆O 连接BO 并延长交圆
O 于点可得BO+O ＞B 从而可得BO+OE ＞B 即BE 为最大值再由勾股定理求出BO 的长即可解决问题【详解】解：由题意知CE ⊥l 于点E ∴以AC 为直径作圆O ∵CE 解析：225+
【分析】
以AC 为直径作圆O ，连接BO ，并延长交圆O 于点E '，可得BO+O E '＞B E '，从而可得BO+OE ＞B E '，即BE 为最大值，再由勾股定理求出BO 的长即可解决问题．
【详解】 解：由题意知，CE ⊥l 于点E ，
∴以AC 为直径作圆O ，
∵CE ⊥AE,
∴点E 在圆O 上运动，
连接BO ，并延长交圆O 于点E '，如图，
∴BO+O E '＞B E '，
∵OE=O E '，
∴BO+OE ＞B E '，
∴BE 的长为最大值， ∵AO=OC=OE ，且AB=AC=4，
∴122
OE AC =
= 又∵∠BAC=90° ∴222224220BO AO AB =+=+=
∴25BO =
∴BE=252BO OE +=
故答案为：225+
【点睛】
此题主要考查了求线段的最大值，构造出△ACE的外接贺是解答本题的关键．
16．已知半径为5的圆O中，弦AB=8，则以AB为底边的等腰三角形腰长为
___________．或【分析】根据题意分该等腰三角形是钝角还是锐角的情况进行讨论再结合圆的有关性质计算即可【详解】①当等腰三角形为锐角三角形时如图所示连接OAOBOC并延长OC与AB交于D∵OA=OBAC=BC∴CD垂
解析：25或45
【分析】
根据题意分该等腰三角形是钝角还是锐角的情况进行讨论，再结合圆的有关性质计算即可．
【详解】
①当等腰三角形为锐角三角形时，如图所示，
连接OA，OB，OC，并延长OC与AB交于D，
∵OA=OB，AC=BC，
∴CD垂直平分AB，CD⊥AB，AD=BD=4，
∵圆的半径为5，
∴在Rt△OAD中，OA=5，AD=4，OD=3，
∴CD=OC+OD=8，
∴在Rt△ADC中，2245
=+=；
AC CD AD
②若等腰三角形是钝角三角形时，如图所示：
连接OA，OB，OC交AB于D，
同理的可得OC垂直平分AB，
在Rt△OAD中，OA=5，AD=4，OD=3，
∴CD=2，
∴在Rt△ADC中，2225
=+=
AC CD AD
故答案为：25或45．
【点睛】
本题考查圆与等腰三角形的综合问题，主要涉及到垂径定理的推论，及勾股定理解三角形，灵活思考所有可能的情况是解题关键．
17．如图，已知点C是半圆О上一点，将弧BC沿弦BC折叠后恰好经过点,O若半圆O 的半径是2,则图中阴影部分的面积是________________________．
【分析】过点O作OD⊥BC于E交半圆O于D点连接CD
如图根据垂径定理由OD⊥BC得BE＝CE再根据折叠的性质得到ED＝EO则OE＝OB则可根据含30度的直角三角形三边的关系得∠OBC＝30°即∠AB
解析：2 3
【分析】
过点O作OD⊥BC于E，交半圆O于D点，连接CD，如图，根据垂径定理由OD⊥BC得
BE＝CE，再根据折叠的性质得到ED＝EO，则OE＝1
2
OB，则可根据含30度的直角三角形
三边的关系得∠OBC＝30°，即∠ABC＝30°则∠AOC=60°，由于OC＝OB，则弓形OC的面积＝弓形OB的面积，然后根据扇形的面积公式及S阴影部分＝S扇形OAC即可得到阴影部分的面积．
【详解】
如图：过点O作OD⊥BC于E，交半圆O于D点，连接CD，
∵OD⊥BC，
∴BE＝CE，
∵半圆O沿BC所在的直线折叠，圆弧BC恰好过圆心O，
∴ED＝EO，
∴OE ＝12OB ， ∴∠OBC ＝30°，即∠ABC ＝30°，
∴∠AOC=60°；
∵OC ＝OB ，
∴弓形OC 的面积＝弓形OB 的面积，
∴S 阴影部分＝S 扇形OAC ＝260223603
ππ⋅= ． 【点睛】
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了垂定定理、圆周角定理和扇形的面积公式．
18．如图所示，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE 边长是6，则它的外接圆圆心P 的坐标是______．
【分析】如图所示连接POPA 过点P 作PG ⊥OA 于点G 由正六边形推出为等边三角形进而求出OGPG 的长度即可求得P 点坐标【详解】解：如图所示连接POPA 过点P 作PG ⊥OA 于点G 则∵多边形为正六边形∴∵∴
解析：(3,33
【分析】
如图所示，连接PO ，PA ，过点P 作PG ⊥OA 于点G ，由正六边形OABCDE 推出OPA 为等边三角形，进而求出OG 、PG 的长度即可求得P 点坐标.
【详解】
解：如图所示，连接PO ，PA ，过点P 作PG ⊥OA 于点G ，则90OGP ∠=︒，
∵多边形OABCDE 为正六边形，
∴60OPA ∠=︒，
∵PO PA =， ∴
OPA 为等边三角形，
又∵PG ⊥OA ，
∴PG 平分OPA ∠，
∴30OPG ∠=︒，
又∵OA=6，
∴11163222OG OP OA ===⨯=， ∴由勾股定理得：22226333PG OP OG =-=-=，
∴P 的坐标是()3,33，
故答案为：()
3,33
【点睛】
本题考查正多边形外接圆的问题，熟练掌握正多边形的性质，灵活运用三角形相关知识解决边角关系是本题的关键.
19．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3cm ，BC ＝4cm ，若以C 为圆心，r 为半径所作的圆与斜边AB 相切，则r 的值是________
【分析】根据相切的定义可得利用等面积法即可求解【详解】解：
∵∠C ＝90°AC ＝3cmBC ＝4cm ∴由题意可得∴即故答案为：【点睛】本题考查直线与圆的位置关系勾股定理掌握相切的定义是解题的关键
解析：125
【分析】
根据相切的定义可得CD AB ⊥，利用等面积法即可求解．
【详解】
解：∵∠C ＝90°，AC ＝3cm ，BC ＝4cm ，
∴225cm AB AC BC =+=，
由题意可得CD AB ⊥，
∴1122AC BC AB CD ⋅=⋅，即125
CD =， 故答案为：
125． 【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系、勾股定理，掌握相切的定义是解题的关键．
20．如图，四边形ABCD 内接于O ，若76A ∠=︒，则C ∠=_______ °．
104【分析】根据圆内接四边形的对角互补列式计算即
可【详解】解：∵四边形ABCD 内接于⊙O ∴∠A+∠C ＝180°∴∠C ＝180°﹣∠A ＝180°﹣76°＝104°故答案为：104【点睛】本题考查的是
解析：104
【分析】
根据圆内接四边形的对角互补列式计算即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD 内接于⊙O ，
∴∠A +∠C ＝180°，
∴∠C ＝180°﹣∠A
＝180°﹣76°
＝104°，
故答案为：104．
【点睛】
本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
三、解答题
21．如图，AB 为量角器（半圆O ）的直径，等腰直角△BCD 的斜边BD 交量角器边缘于点G ，直角边CD 切量角器于读数为60°的点E 处（即弧AE 的度数为60°），第三边交量角器边缘于点F 处．
（1）求量角器在点G 处的读数α（0°＜α＜90°）；
（2）若AB ＝12cm ，求阴影部分面积．
解析：（1）30°；（2）6π﹣3【分析】
（1）如图，连接OE ，OF ，利用切线的性质、等腰直角三角形的性质以及平行线的判定证
得OE ∥BC ，则同位角∠ABC=∠AOE=60°，所以由图形中相关角与角间的和差关系即可得到∠ABG=15°；然后由圆周角定理可以求得量角器在点G 处的读数α（0°＜α＜90°）； （2）根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：（1）如图，连接OE ，OF ．
∵CD 切半圆O 于点E ，
∴OE ⊥CD ，
∵BD 为等腰直角△BCD 的斜边，
∴BC ⊥CD ，∠D ＝∠CBD ＝45°，
∴OE ∥BC ，
∴∠ABC ＝∠AOE ＝60°，
∴∠ABG ＝∠ABC ﹣∠CBD ＝60°﹣45°＝15°
∴弧AG 的度数＝2∠ABG ＝30°，
∴量角器在点G 处的读数α＝弧AG 的度数＝30°；
（2）∵AB ＝12cm ，
∴OF ＝OB ＝6cm ，∠ABC ＝60°，
∴△OBF 为正三角形，∠BOF ＝60°，
∴S 扇形＝2606360
π⋅⨯＝6π（cm 2），S △OBF ＝3， ∴S 阴影＝S 扇形﹣S △OBF ＝6π﹣3
【点睛】
本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，圆周角定理．求（2）题时，利用了“分割法”求得图中阴影部分的面积．
22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A （3，3），点B （4，0），点C （0，﹣1）． （1）以点C 为中心，把△ABC 逆时针旋转90°，画出旋转后的图形△A′B′C ；
（2）在（1）中的条件下，
①点A 经过的路径1AA 的长为 （结果保留π）；
②写出点B′的坐标为 ．
解析：（1）见解析；（2）①52
π；②（﹣1，3） ． 【分析】 （1）根据旋转的定义作出点A 、B 绕点C 逆时针旋转90°得到的对应点，再顺次连接即可；
（2）①根据弧长公式列式计算即可；②根据（1）中所作图形可得点B '的坐标；
【详解】
（1）如图所示，△A B C ''即为所求；
（2）① ∵AC 2234=5+，∠ACA′＝90°，
∴点A 经过的路径ACA ' 的长为
90551802ππ⨯⨯= ， 故答案为：52
π ；
②由图知点B '的坐标为(﹣1，3)，
故答案为：(﹣1，3)．
【点睛】
本题主要考查作图-旋转变换，解题的关键是根据旋转角度、旋转方向、旋转中心作出对应
点；
23．已知：如图，ABC 中，BC AC =，以BC 为直径的O 交AB 于点O ，过点D 作DE AC ⊥于点E ，交BC 的延长线于点F ．
求证：（1）AD BD =，（2）DF 是O 的切线． 解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】 （1）如图（见解析），先根据圆周角定理可得90BDC ∠=︒，再根据等腰三角形的三线合一即可得证；
（2）先根据等腰三角形的三线合一可得ACD BCD ∠=∠，再根据等腰三角形的性质可得ODC BCD ∠=∠，从而可得ACD ODC ∠=∠，然后根据平行线的判定与性质可得OD DF ⊥，最后根据圆的切线的判定即可得证．
【详解】
（1）如图，连接CD ， BC 是O 的直径，
90BDC ∴∠=︒，即CD AB ⊥，
又BC AC =，
CD ∴是AB 边上的中线（等腰三角形的三线合一），
AD BD ∴=；
（2）如图，连接OD ，
,BC AC CD AB =⊥，
ACD BCD ∴∠=∠，
OC OD =，
ODC BCD ∴∠=∠，
ACD ODC ∴=∠∠，
//OD AC ∴，
DE AC ⊥，即DF AC ⊥，
OD DF ∴⊥，
又OD 是O 的半径，
DF ∴是O 的切线．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的三线合一、圆周角定理、圆的切线的判定等知识点，较难的是题（2），熟练掌握圆的切线的判定定理是解题关键．
24．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD AB ⊥于点H ，30A ∠=︒，43CD =，求⊙O 的半径的长．
解析：4
【分析】
连接OC, 根据垂径定理可得∠CHO=90°，CD=2CH ，求出CH 的长，根据30°的直角三角形的特征以及勾股定理求出OC=2OH 即可. 【详解】
连接OC ，则OA =OC .
∴∠A =∠ACO =30°.
∴∠COH =60°.
∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点H ，
∴∠CHO=90°，CD=2CH
∴∠OCH=30°，
∴2OC OH =,
∵CD=43，
∴CH=23.
∴在Rt OCH中，222
OH HC OC
+=
∴OH=2.
∴OC=4.
【点睛】
本题考查了垂径定理及30度的直角三角形的性质以及勾股定理得应用，解题的关键是掌握垂径定理及30度的直角三角形的性质.
25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的⊙O分别交AC、BC于点M、N，过点N作NE⊥AB，垂足为E．
（1）求证：NE与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为5
2
，AC=6，求BN的长．
解析：（1）见解析；（2）4．
【分析】
（1）连接DN,根据直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及平行线的判定与性质证得ON⊥NE即可证明；
（2）连接ON，先根据直角三角形的性质求得AB=10，再由勾股定理可求BC=8，最后由等腰三角形的性质求解即可．
【详解】
解：（1）如图：连接DN
∵∠ACB=90°，D为斜边的中点，
∴CD=DA=DB=1
2
AB，
∴∠BCD=∠B，
∵OC=ON，
∴∠BCD=∠ONC，
∴∠ONC=∠B，
∴ON//AB，
∵NE⊥AB，
∴ON⊥NE，
∴NE为OO的切线;
（2）如图：连接ON
∵⊙O的半径为5
2
∴CD=5
∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，
∴BD=CD=AD=5，
∴AB=10，
∵AC=6
∴BC=22
106
-=8
∵CD为直径
∴∠CND=90°，且BD=CD
∴BN=NC=4．
【点睛】
本题主要考查圆的切线判定和性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及平行线的判定与性质等知识点，掌握圆的切线判定和性质是解答本题的关键．
⨯的网格中有一个圆，请仅用无刻度直尺作图（保留画图痕迹）．26．如图，在33
（1）在图1中，圆过格点A，B，请作出圆心O；
=，请作一个45圆周角．
（2）在图2中，⊙O的两条弦AB CD
解析：（1）见解析；（2）见解析.
【分析】
（1）如图3，连接AN、BM，通过圆内接三角形是直角三角形时，斜边就是直径来确定圆心位置；
（2）连接BC 、AD 、BD ，通过同（等）弧所对圆周角相等推出ABD CDB ∠=∠，进而推出45BDC ∠=︒．
【详解】
（1）如图3，连接AN 、BM 交点O 即为圆心
∵9090ABN BAM ∠=︒∠=︒，，
∴AN 、BM 是直径，
∴直径交点O 就是圆心．
（2）如图4，连接BC 、AD 、BD
∵AB=CD ，
∴AB CD =，
∴ADB CBD ∠=∠，
又∵AC CA =，
∴ABC CDA ∠=∠，
∴ABD CDB ∠=∠，
又∵90BED ∠=︒，
∴45ABD CDB ∠=∠=︒，
故连接BD ，则45BDC ∠=︒．
【点睛】
本题考查确定圆心和确定圆弧圆周角等问题，解题的关键是圆内接三角形是直角三角形时，斜边就是直径以及同（等）弧所对圆周角相等．
27．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，点E 在⊙O 外，∠CAE=∠ADC ．
（1）求证：AE 是⊙O 的切线；
（2）若⊙O 的半径为2，∠B=60°，求图中阴影部分的面积．（结果保留根号和π） 解析：（1）见解析；（2）433
π- 【分析】
（1）根据AB 是直径得到∠ACB=90°，根据已知条件得到∠BAE =90°，即可得到结果； （2）作OM ⊥AC ，垂足为M ，求得AM=3，根据扇形的面积计算公式计算即可；
【详解】
（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
∵∠B=∠ADC=∠CAE ，
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=∠BAC+∠B=90°，
∴ BA ⊥AE ，
∴AE 是⊙O 的切线．
（2）解：作OM ⊥AC ，垂足为M ．
∵∠B=60°，
∴∠AOC=2∠B=120°，
∴∠AOM=∠COM=60°， ∴OM=12
AO=1， ∴3 ∴AC=2AM=23
∴S 阴=S 扇形AOC -S △AOC =
120414-231336023ππ．
【点睛】
本题主要考查了切线的证明和扇形的面积计算，准确分析计算是解题的关键．
28．如图，OA 、OB 、OC 分别是⊙O 的半径，且AC =CB ，D 、E 分别是OA 、OB 的中点．CD 与CE 相等吗？为什么？
解析：CD=CE ．见解析．
【分析】
由题意易得OD=OE ，由等弧所对的圆心角相等可得DOC EOC ∠=∠，进而由全等三角形的判定证得△CDO ≌△CEO ，进而求证结论．
【详解】
CD=CE ．
∵ D 、E 分别是OA 、OB 的中点， ∴12OD OA ，12
OE OB =， ∴OD=OE ，
∵AC CB =．
∴DOC EOC ∠=∠，
又∵OC=OC ，
∴△CDO ≌△CEO ，
∴CD=CE ．
【点睛】
本题主要考查圆圆周角定理、全等三角形的判定和性质，解题的关键是由等弧所对的圆心角相等求得DOC EOC ∠=∠．。