高三数学一轮复习三角恒等变换教案 苏教版

三角恒等变换
一、课前检测
1.（2010全国卷2理13）已知a 是第二象限的角，
4tan(2)3a π+=-，则t a n a = ． 【答案】12
- 【命题意图】本试题主要考查三角函数的诱导公式、正切的二倍角公式和解方程，考查考生的计算能力.
【解析】由4tan(2)3a π+=-得4tan 23a =-，又22t a n 4t a n 21t a n 3
a αα==--，解得1t a n t a n 22αα=-=或，又a 是第二象限的角，所以1tan 2
α=-. 2. （2010全国卷1文14）已知α为第二象限的角，3sin 5a =,则tan 2α= .
答案 247
- 【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能.
【解析】因为α为第二象限的角,又3sin 5α=
, 所以4cos 5α=-，sin 3tan cos 4ααα==-,所22tan 24tan(2)1tan 7
ααα==-- 3．（2010上海文19）已知02x π
<<，化简：
2lg(cos tan 12sin ))]lg(1sin 2)22
x x x x x π⋅+-+--+. 解析：原式=lg(sin x +cos x )+lg(cos x +sin x )-lg(sin x +cos x )2
=0． 二、知识梳理
1．三角函数式的化简的一般要求：
① 函数名称尽可能少；
② 项数尽可能少；
③ 尽可能不含根式；
④ 次数尽可能低、尽可能求出值．
2．常用的基本变换方法有：异角化同角、异名化同名、异次化同次．
3．求值问题的基本类型及方法
① “给角求值”一般所给的角都是非特殊角，解题时应该仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，通常是将非特殊角转化为特殊角或相互抵消等方法进行求解．
② “给值求值”即给出某些角的三角函数（式）的值，求另外的一些角的三角函数值，解题关键在于：变角，使其角相同；
③ “给值求角”关键也是：变角，把所求的角用含已知角的式子表示，由所求得的函数值结合该函数的单调区间求得角．
三、典型例题分析
例1. 化简：4221
2cos 2cos 2.2tan()sin ()44
x x x x ππ-+
-+ 1cos 22x
变式训练1：已知x x x f +-=
11)(，若),2(ππα∈，则+)(cos αf )cos (α-f 可化简为 ． 解：
αsin 2
例2．求证：
sin(2)sin 2cos().sin sin αββαβαα+-+=
变式训练2 在△ABC 中，22cos sin =
+A A ，2=AC ，3=AB ，求tan A 的值和△ABC 的面积． 解：∵sinA＋cosA ＝
22 ① ∵2sinAcosA＝－21
从而cosA ＜0 A∈(ππ,2)
∴sinA－cosA ＝A A A A cos sin 4)cos (sin 2-+ ＝26
②
据①②可得 sinA ＝
42
6+ cosA ＝426+- ∴tanA＝－2－
3 S △ABC ＝4)26(
3+
例3 已知tan(α－β)＝
21，tan β＝-71，且α、β∈（0，π），求2α－β的值. 解：由tan β＝－71
β∈(0，π)
得β∈(2π
, π) ①
由tan α＝tan[(α－β)＋β]＝31
α∈(0，π)
得0＜α＜2π
∴ 0＜2α＜π
由tan2α＝43
＞0 ∴知0＜2α＜
2π ② ∵tan(2α－β)＝βαβ
αtan 2tan 1tan 2tan +-＝1
由①②知 2α－β∈(－π，0)
∴2α－β＝－4
3π (或利用2α－β＝2(α－β)＋β求解)
变式训练3：已知α为第二象限角，且sin α＝415，求12cos 2sin )4sin(+++ααπ
α的值． 解：由sin α＝
415 α为第二象限角
∴cos α＝－41
∴
)cos (sin cos 2)4sin(12cos 2sin )4sin(αααπαααπα++=+++ ＝
αcos 221＝－2
四、归纳与总结（以学生为主，师生共同完成）
1．三角函数的化简与求值的难点在于：众多的公式的灵活运用和解题突破口的选择，认真分析所给式子的整体结构，分析各个三角函数及角的相互关系是灵活选用公式的基础，是恰当寻找解题思维起点的关键所在;
2．要熟悉角的拆拼、变换的技巧，倍角与半角的相对性，熟悉几种常见的入手方式： ① 变换角度
② 变换函数名
③ 变换解析式结构
3．求值常用的方法：切化弦法、升幂降幂法、辅助元素法、“1”的代换法等．。