湖南省长郡中学2019届高三月考试卷(一)文科数学

长郡中学2019届高三月考试卷（一）
数学（文科）
（考试时间：120分钟，满分150分）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =≥，则A B =U （ ）
A ．{|01}x x <<
B ．{|1}x x ≥
C ．{|12}x x ≤<
D ．{|0}x x >
2.复数z 满足(2)36z i i +=-（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ）
A ．3
B ．3-
C ．3i
D ．3i -
3.已知2sin 5
α=，则cos2α=（ ） A ．725 B ．725- C ．1725
D ．1725- 4.某家具厂的原材料费支出x （单位：万元）与销售额y （单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为$8.5y x b =+，则b 为（ ）
A ．7.5
B ．10
C ．12.5
D ．17.5
5.已知向量(2,1)a =-r ，(1,3)b =-r ，则（ ）
A ．//a b r r
B ．a b ⊥r r
C ．//()a a b -r r r
D ．()a a b ⊥-r r r
6.执行如图所示的程序框图输出的结果是（ ）
A ．8
B ．6
C ．5
D ．3
7.已知曲线1C ：sin y x =，2C ：2sin 23y x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（ ） A ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的
12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移23π个单位长度，得到曲线2C
B ．把1
C 上各点的横坐标缩短到原来的
12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2C
C ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
23π个单位长度，得到曲线2C
D ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
3
π个单位长度，得到曲线2C
8.曲线()2x f x x e =-在点(0,(0))f 处的切线方程是（ ）
A ．210x y --=
B ．10x y -+=
C ．0x y -=
D ．10x y --=
9.平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α2，则此球的体积为（ ）
A ．43π
B ．3π
C 6π
D ．46π
10.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(,0]-∞上单调递增.若实数a 满足()(2)f a f >，则a 的取值范围是（ ）
A ．(,2)-∞
B ．2,)+∞
C ．(2,2)-
D ．(,2)(2,)-∞-+∞U
11.已知四棱锥S ABCD -的三视图如图所示，则围成四棱锥S ABCD -的五个面中的最大面积是（ ）
A ．3
B ．6
C ．8
D ．10
12.已知F 是抛物线C ：2
8y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则FN =（ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知x ，y 满足020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩
，则2z x y =+的最大值为 ．
14.若点(1,1)P 为圆22
60x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为 ． 15.在ABC ∆中，面积2221()4
S a b c =
+-，则角C 的大小为 ． 16.已知函数3()lg 92f x x x =+-在区间(,1)()n n n Z +∈上存在零点，则n = ． 三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必需作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.等比数列{}n a 中，已知12a =，416a =.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若3a ，5a 分别为等差数列{}n b 的第3项和第5项，试求数列{}n b 的通项公式及前n 项和n S .
18.已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，2PA PD ==
CD PD ⊥，E 为CD
的中点.
（1）求证：PD ⊥平面PAB ；
（2）求三棱锥P ABE -的体积.
19.某家电公司销售部门共有200名销售员，每年部门对每名销售员都有1400万元的年度销售任务.已知这200名销售员去年完成的销售额都在区间[2,22]（单位：百万元）内，现将其分成5组，第1组、第2组、第3组、第4组、第5组对应的区间分别为[2,6)，[6,10)，[10,14)，[14,18)，[18,22]，并绘制出如下的频率分布直方图.
（1）求a 的值，并计算完成年度任务的人数；
（2）用分层抽样的方法从这200名销售员中抽取容量为25的样本，求这5组分别应抽取的人数；
（3）现从（2）中完成年度任务的销售员中随机选取2名，奖励海南三亚三日游，求获得此奖励的2名销售员在同一组的概率.
20.过椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的右焦点2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，1F 为其左焦点，已知1AF B ∆的周长为363. （1）求椭圆C 的方程；
（2）设P 为椭圆C 的下顶点，椭圆C 与直线3y x m =
+相交于不同的两点M 、N .当PM PN =时，求实数m 的值.
21.已知函数()x x
a f x e e =-. （1）当1a =时，求函数()[()'()]F x x f x f x =-的最小值；
（2）若()()g x f x =在[0,1]上单调递增，求实数a 的取值范围.
（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12x t y a t
=+⎧⎨=-⎩（其中t 为参数）.在以坐标原点为极点，x 轴
的正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=.
（1）分别写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；
（2）若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值.
23.选修4-5：不等式选讲 设函数()f x x a x a =++-.
（1）当1a =时，解不等式()4f x ≥；
（2）若()6f x ≥在x R ∈上恒成立，求a 的取值范围.
长郡中学2019届高三月考试卷（一）
数学（文科）参考答案
一、选择题
1-5: DBCAD 6-10: ABDAC 11、12：CB
二、填空题
13. 4 14. 210x y --= 15. 45︒ 16. 5
三、解答题
17.【解析】（1）设{}n a 的公比为q 由已知得3162q =，解得2q =，所以2n n a =.
（2）由（1）得38a =，532a =，则38b =，532b =，
设{}n b 的公差为d ，则有1128432
b d b d +=⎧⎨+=⎩，解得11612b d =-⎧⎨=⎩，
从而1612(1)1228n b n n =-+-=-.
所以数列{}n b 的前n 项和2(161228)6222
n n n S n n -+-==-. 18.【解析】（1）∵底面ABCD 是正方形，∴//AB CD ，又CD PD ⊥，
∴AB PD ⊥，
∵PA PD ==2AD =，∴222PA PD AD +=，
∴PD PA ⊥，又PA AB A =I ，∴PD ⊥平面PAB .
（2）∵AB AD ⊥，AB PD ⊥且AD PD D =I ，∴AB ⊥平面PAD ，
又AB ⊂平面ABCD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ，
过P 作PO AD ⊥于O ，则PO ⊥平面ABCD ，
∴PO 为三棱锥P ABE -的高，∴13P ABE ABE V S PO -∆=⋅112122323
=⨯⨯⨯⨯=. 19.【解析】（1）∵(0.020.080.092)41a +++⨯=，∴0.03a =，
完成年度任务的人数为2420048a ⨯⨯=.
（2）第1组应抽取的人数为0.024252⨯⨯=，
第2组应抽取的人数为0.084258⨯⨯=，
第3组应抽取的人数为0.094259⨯⨯=，
第4组应抽取的人数为0.034253⨯⨯=，
第5组应抽取的人数为0.034253⨯⨯=.
（3）在（2）中完成年度任务的销售员中，第4组有3人，记这3人分别为1A ，2A ，3A ；第5组有3人，
记这3人分别为1B ，2B ，3B ；
从这6人中随机选取2名，所有的基本事件为12A A ，13A A ，11A B ，12A B ，13A B ，23A A ，21A B ，22A B ，23A B ，31A B ，32A B ，33A B ，12B B ，13B B ，23B B ，共有15个基本事件.
获得此奖励的2名销售员在同一组的基本事件有6个， 故所求概率为6
2
155=.
20.【解析】（1
）由椭圆定义知，4a =
，a =
3c e a ===
得c =1b =，
所以椭圆C 的方程为2
2
13x y +=.
（2
）由方程组2
21
3y m
x y ⎧=+⎪
⎪⎨⎪+=⎪
⎩2223(1)0x m ⇒++-=，
设11(,)M x y ，22(,)N x y ，MN 的中点为00(,)E x y
，则12x x +=.
∴12
022x x x m +==-，02m y =
，∴,2m E m ⎛
⎫
⎪ ⎪⎝⎭
， 由PM PN =得PE MN ⊥，又(0,1)P -，
∴1PE k =-，∴1m =.
满足221224(1)0m m ∆=-->.综上1m =.
21.【解析】（1）2()x x
F x e =-，2(1)
'()0x x F x e -==，令'()0F x =，得1x =，
所以当1x <时，'()0F x <，()F x 单调递减，当1x >时，'()0F x >，()F x 单调递增， 所以当1x =时，()F x 取得最小值为2
e -.
（2）当0a ≤时，()0x x a
f x e e =->，()()
g x f x =，
若在[0,1]上单调递增，则'()0f x ≥恒成立，即：2max []x a e ≥-，
1a ≥-，10a -≤≤；
当0a >时，'()0x x a
f x e e =+>，()x x a
f x e e =-在[0,1]上是单调递增的， 又()()
g x f x =在[0,1]上单调递增，所以()0f x ≥在[0,1]上恒成立.
2min []x a e ≤，01a <≤.综上：11a -≤≤.
22.【解析】（1）直线l 的直角坐标系方程是220x y a +--=， 圆C 的直角坐标方程是22(2)4x y -+=.
（2）由（1）知圆心为(2,0)C ，半径2r =，
设圆心到直线的距离为d ，因为直线与圆相切，
所以2d ===，解得2a =±23.【解析】（1）当1a =时，不等式()4114f x x x ≥⇔++-≥， 当1x >时，()24f x x =≥，解得2x ≥；
当11x -≤≤时，()24f x =≥，无解；
当1x <-时，()24f x x =-≥，解得2x ≤-，
综上所述，不等式的解集为(,2][2,)-∞-+∞U .
（2）()f x x a x a =++-()()2x a x a a ≥+--=， ∴26a ≥，解得3a ≥或3a ≤-，
即a 的取值范围是(,3][3,)-∞-+∞U .
21。