第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题C(小学高年级组)解析

第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛试题C（小学高年级组）解析
一、填空题
1、计算：_________。

解析：此题考察计算细心能力。

答案为5/3。

2、某月里，星期五、星期六和星期日各有5天，那么该月的第一日是星期
_____ _。

解析：此题结合生活常识。

按日历表格式画一个下来，可知，该月从第一个星期五到最后一个星期日有31日。

则第一个星期五即该月第一日。

3、大于且小于的真分数有_______个。

解析：此题是送分题。

答案为:无数或者无穷。

4、哥哥和弟弟各买了若干个苹果，哥哥对弟弟说：“若我给你一个苹果，咱俩的苹果个数一样多”，弟弟想了想，对哥哥说：“若我给你一个苹果，你的苹果数量将是我的2倍”，则哥哥与弟弟共买了_____个苹果。

解析：此题比较容易。

由第一句话?两人苹果数相差2个；再由第二句话，此时两人相差4个苹果，则此时弟弟是4个，哥哥8个，则原有数量为：弟弟5个，哥哥7个。

共买了12个苹果。

5、如下图，AB=AD，∠DBC=21°，∠ACB=39°，则∠ABC=______度。

解析：此题较简单。

解得∠ABC=81°。

6、已知抽水机甲和抽水机乙的工作效率比是3：4，如两台抽水机同时抽取某水池，15小时抽干水池。

现在，乙抽水机抽水9小时关闭，再将甲抽水机打开，
要抽干水池还需要_______小时。

解析：此题有两种方法：
第一种:根据同时抽水15小时与甲乙工作效率比3:4,可计算出甲的工作效
率:1/15×3/7=1/35，乙的工作效率:1/15×4/7=4/105。

再根据乙单独工作的时间计算工作量：4/105×9=12/35，最后一步:剩余工作量由甲单独需要的工作时间:(1-12/35)÷1/35=23(小时)。

第一种计算较繁琐，要求细心，建议用第二种方法。

第二种：同样也是根据同时工作需要15小时，乙单独工作9小时，则可知如果
乙再工作15-9=6小时，甲只需15小时即可完成。

而乙工作6小时的量交给甲
做需要多少时间？根据工作效率之比3:4，可知，甲需要:6×4÷3=8(小时)，再
加上15小时就是要工作的总时间，即15+8=23(小时)。

7、n为正整数，形式为-1的质数称为梅森数，例如：22-1=3，23-1=7是梅森数。

最近，美国学者刷新了最大梅森数，n=74207281，这个梅森数也是目前已知最大的质数，它的个位数字是_____。

解析：此题难度系数较低。

只需找出2的次幂规律就行:即每4次幂一个循环。

则这个的个位数是1。

8、下图中，ABCD是直角梯形，上底AD=2，下底BC=6，E是DC上一点，三角形ABE的面积是15.6，三角形AED的面积是4.8，则梯形ABCD的面积是________。

解析：此题需要作几条虚线方可解出。

过点C作AB的平行线交AD的延长线于点F，连接E、F，则
通过分析不难得出
S CDF=S CEF+S DEF=S矩形ABCF×1/3
S CEF+S ABE=S矩形ABCF×1/2
两式相减即可得矩形面积，即
15.6-4.8×2=S矩形×(1/2-1/3)
S矩形=36
则可知，梯形高AB=36÷6=6
S梯形ABCD=(2+6)×6÷2=24
二、解答下列各题
9、甲乙两人，在一圆形跑道上同时出发，反向跑步，已知甲的速度是每分钟180m，乙的
速度是每分钟240m，在30分钟内，他们相遇了24次，问跑道的长度最多是多少米？
解析：此题为相遇问题，较为普通。

(180+240)×30÷24=525(米)
10、一筐苹果分成两份，甲的个数和乙的苹果个数比是27：25，甲多乙少，若从甲中至
少取出4个，加入乙中，则乙多甲少，问这筐苹果有多少个？
解析：此题属普通题型。

主要是要抓住核心数据。

即从甲中至少取出4个加入乙中，则乙多甲少，这个关键潜在含义就是乙只要加8个苹果就比甲多，即他们的差值小于8，而甲乙数量之比是27：25，他们之间的差值应为偶数，则他们之间的差值是6(小于8的最大偶数)。

则这筐苹果数量为：
6×(27+25)÷(27-25)=156。

11、下图是一个等边三角形，等分为4个小的等边三角形，用红和黄两种颜色涂染它们的顶点，要求每个顶点必须涂色，且只能涂一种颜色。

涂完后，如果经过旋转，等边三角形的涂色相同，则认为是相同的涂色，则共有多少不同的涂法？
解析：此题为分情况讨论题型。

以其中一种颜色的数量考虑(因为两种颜色总和为定值6，确定其一数量，其二也随即确定)
1、红顶点为1时：只有2种情况；
2、红顶点为2时：5种情况；
3、红顶点为3时：8种情况；
4、红顶点为4时：5种情况；
5、红顶点为5时：2种情况；
6、红顶点为6时：1种情况；
7、红顶点为0时；只有1种情况。

即总数为：1+2+5+8+5+2+1=24
12、三台车床A、B、C各以一定的工作效率加工同一种标准件，A车床比C车床早开机10
分钟，C车床比B车床早开机5分钟，B车床开机10分钟后，B、C车床加工的标准件的数量相同。

C车床开机30分钟后，A、C两车床加工的标准件个数相同。

B车床开机多少分钟后就能与A车床加工的标准件的个数相同？
解析：此题的关键问题就是求出工作效率的比，难度并不大。

解析如下。

先看B，C，B工作10分钟时，C已工作15分钟，此时他们工作总量一样多，即他们的工作效率之比为，B：C=3：2
再看A，C，C开机30分钟时，A工作30+10=40分钟，此时他们工作总量一样多，则他们的工作效率之比为，C：A=4：3,
由前两工作效率之比可的A，B之间的工作小了比值：B：A=2：1(3/2×4/3)，即当工作量相等时，他们的工作时间成反比，即工作时间比为1：2
根据题意，B开机比A晚10+5=15分钟，B车床要想追上A车床的工作量，至少需要工作15÷[1÷(2-1)]=15(分钟)
即B工作15分钟后与A工作总量一样多。

三、解答下列各题
13、黑板上先写下一串数字：1，2，3，...，100，如果每次都擦去最前面的6个数，并
在这串数的最后写上擦去的6个数的和，得到新的一串数，再做同样的操作，知道黑板上剩下的数不足6个。

问：（1）最后黑板上剩下的这些数的和是多少？（2）最后所写的那个数是多少？
解析：此题
(1)最后黑板上的总和始终未变，因为擦的和与写上的和一样多
即(100+1)×100÷2=5050
(2)我们试着去写一下，当写到第16个数，即91,92,93,94,95,96这6个数字和时，此时黑板上一共是几个数?
一共是(类似用6S代表1-6的和)97，98，99，100，6S，12S，18S，...96S，一共是20个数，则这20个数中前18个数可写下3个和，最终就只有5个数，此时就已终结。

那么最后所写的那个数什么?从最后20个数可看出，去除96S
和90S，最后所写的数字是:
84S+78S+72S+66S+60S+54S
=84+83++82+...+54+53+52+51+50+49
=(84+49)×36÷2
=2394
14、数学竞赛，填空题8道，答对1题得4分，未答对，得0分；问答题6道，答对1道，
得7分，未答对，得0分。

参赛人数400，至少有多少人的总分相同？
解析：此题关键问题是找出7分题和4分题在得分相同时有几种情况。

再用总数减去相同分数的个数，即是所有可能取得的分数，最后利用抽屉原理。

首先算出总数:4分题一共8道，那么就有0-8一共9种可能性；7分题一共6道，那么就有一共0-6一共7种可能，则共有9×7=63种可能
再找出得分相同分数的种数:找出4和7的最小公倍数，即4×7=28,也就是说，当4分题超过7题和7分题超过4题时，是能得到相同分数的，分组如下
7分题答对题数:4、5、6
4分题答对题数:7、8
他们的组合一共2×3=6种(即4和7，4和8，5和7，5和8，6和7，6和8)，即这6种情况时得分相同
此时，可算出得分的种数:63-6=57
最后一步:400÷57=7 (1)
即可知至少8个人的总数时相同。