基于指数模型的长江水质的评价和预测

Abstract: The tendency of Changjiang River’s water contamination in ten years is evaluated and forecasted with exponential model
y a ebx or y ae b / x in this paper. Some measures to control the contamination are given. Statistic software R is used to
w 155.958 8 e0.059 7 x
(8)
Residual standard error: 4.25 on 5 degrees of freedom 由图 4 可见拟合结果好于指数模型， 其拟合残差标准误 为 4.25,小于指数模型(1)式的拟合残差标准误（4.345）,但其 5 个参数的估计误差均大于 0.1, 模型的稳定性差， 外推效果 不好，将 x 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 ，代入(2)， 预测结果如下： [1]-14.775 07 -48.546 31 -341.757 03 -538.478 65 [7]-805.409 31 -1 156.903 33 -1 608.597 89 -2 177.413 04 表2 年份 时间序号 x 2005 11 1.23 27.85 44.49 16.47 4.11 8.53 300.59 2006 12 0.90 27.26 44.58 17.15 4.11 9.82 319.07 -107.938 01 -202.173 01 图 5 污水排放量指数模型的理论曲线与实际数据 将时间序号 x 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 ，代 入(3)~(6)式，可以求出Ⅱ类、Ⅲ类、Ⅳ类、Ⅴ类、劣Ⅴ类水 河长百分比及污水排放量的拟合值，见表 2。 各类水河长百分比及污水排放量的拟合值 2007 13 0.66 26.67 44.65 17.75 4.11 11.07 338.68 2008 14 0.49 26.10 44.72 18.28 4.12 12.26 359.50 2009 15 0.36 25.54 44.78 18.76 4.12 13.40 381.60 2010 16 0.26 25.00 44.83 19.18 4.12 14.48 405.05 2011 17 0.19 24.46 44.87 19.56 4.12 15.50 429.95 2012 18 0.14 23.94 44.91 19.91 4.13 16.47 456.38 2013 19 0.10 23.42 44.94 20.22 4.13 17.39 484.43 2014 20 0.08 22.92 44.98 20.51 4.13 18.27 514.20
Evaluation and Forecast of Changjiang River’s Water Contamination with Exponential Model
DONG Yong-quan
(Department of Mathematics and Information Science, Tangshan Teacher College, Tangshan 063000, China)
y1 37.1434 e
(1)
回归的详细结果： > summary(y1.nls) Formula: y1 ~ a1 * exp(b1 * time) Parameters: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) a1 37.143 45 b1 -0.309 84 6.960 78 5.336 0.000 697 *** 0.071 25 -4.348 0.002 450 **
y1 a1e b1x
────────── 收稿日期：2007-10-24 作者简介：董永权（1964-） ，男，河北抚宁人，唐山师范学院数学与信息科学系副教授。 - 22 -
董永权：基于指数模型的长江水质的评价和预测
表1 时间 1995 年 1996 年 1997 年 1998 年 1999 年 2000 年 2001 年 2002 年 2003 年 2004 年 时间序号 Ⅰ类 水文年干流水质河长百分比及污水排放量统计 Ⅱ类 Ⅲ类 Ⅳ类 Ⅴ类 劣Ⅴ类 污水排放量
[1]
。本文利用指数模型
y ae bx 和倒指数模型 y ae b / x ，依据文[1]中附件 3“长
江流域主要城市水质检测报告” 、附件 4“1995 年~2004 年 长江流域水质报告”和国标（GB3838-2002） 给出的《地 表水环境质量标准》的数据，对长江干流的水质污染情况进 行评估、预测并给出初步的控制方案。 一、未来 10 年长江干流水质污染的发展趋势 依照过去 10 年的统计数据，对长江未来水质污染的发 展趋势作出分析，预测未来 10 年的情况。这里我们只对水 文年干流的 6 类水分别进行拟和计算， 全流域和支流的情况 可进行类似的讨论。依据“1995 年─2004 年长江流域水质 报告”得到表 1。 1．作(Ⅰ类水河长百分比关于时间序号的)散点图 > plot(time,y1,lty=1,xlab="时间序号",ylab="Ⅰ类水河长 ") 图 1 Ⅰ类水河长百分比关于时间的散点图 2．建立(Ⅰ类水河长百分比变化趋势的指数)模型 从图 1 可以看出Ⅰ类水河长百分比关于时间变化的总 趋势是下降的，是时间的减函数，中间某些点有起伏变化， 又考虑到百分比最底降为 0，我们先对数据进行光滑处理， 以便能找到数据变化的主流，继而用指数函数 作拟合： >y1.nls<-nls(y1~a1*exp(b1*time),data=ex,start= c(a1=30, b1=-0.9),trace=T) 初始值 a1=30，b1=-0.9。经过 6 次逼近，得到 2 个参数 的最小二乘估计为 a6=37.14，b6=-0.309 8。
由此得Ⅰ类水河长百分比关于时间的指数拟合模型：
残差（Q-Q）诊断图（图 2）表明残差近似地服从正态 画出实际长江干流Ⅰ类水河长百分散点图并添加由(1) 式确定的指数模型理论曲线： > plot(time,y1,lty=1,xlab="时间序号",ylab="Ⅰ类水河长 ") > matlines(time,fitted(y1.nls))
第 30 卷第 2 期
90.330 06: 19.341 666 7 12.615 578 9 1.135 499 2 -0.053 452 8 即回归模型为：
唐山师范学院学报
-7.451 529 7
2008 年 3 月
可见预测结果严重脱离实际， 说明多项式模型不是一个 好的预测模型， 而指数模型无论从理论上还是从实际考虑都 是一个合适的模型。 6．Ⅱ类、Ⅲ类、Ⅳ类、Ⅴ类、劣Ⅴ类水河长百分比及污水 排放量的数学模型 类似Ⅰ类水河长百分比指数模型论，可以建立Ⅱ类、Ⅲ 类、Ⅳ类、Ⅴ类、劣Ⅴ类水河长百分比及污水排放量的数学 模型。 Ⅱ类水河长百分比的指数模型：
Ⅲ类水河长百分比的倒指数模型：
0.268 4 x
(3)
y3 45.584e
图 4 Ⅰ类水河长百分比多项式模型理论曲线与实际数据 回归的详细情况： > summary(y1.nls) Formula: y1 ~ a0 + a1 * time + a2 * time^2 + a3 * time^3 + a4 * time^4 Parameters: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) a0 19.341 67 a1 12.615 58 a2 -7.451 53 a3 1.135 50 a4 -0.053 45 14.043 53 15.828 63 0.732 55 1.377 0.797 1.550 0.227 0.462 0.232 0.182 0.167
y 19.341 666 7 12.615 578 9x
1
(2)
7.451 519 7 x2 1.135 499 2x3 0.053 452 8x4
画出实际长江干流Ⅰ类水河长百分散点图并添加由(2) 式确定的多项式模型理论曲线见图 4。
y2 35.341 5 e 0.021 6 x

(4)
Ⅳ类水河长百分比的倒指数模型：
y4 26.834 10 e

5.372 54 x
(5)
Ⅴ类水河长百分比的倒指数模型：
y5 4.154 0 e

0.123 2 x
(6)
劣Ⅴ类水河长百分比的倒指数模型：
y6 46.319 1 e

18.609 1 x
ห้องสมุดไป่ตู้(7)
污水排放量的指数模型：
5.482 08 -1.359 0.033 12 -1.614
063000）
和倒指数模型 y ae
b/ x
对长江未来 10 年水质污染的发展趋势进行评估、
预测并给出初步的控制方案。运用统计软件 R 实现模型的识别、参数估计和诊断检验。 关键词：指数模型；统计软件 R；水质污染；预测 中图分类号： 0241.81 文献标识码：A 文章编号： 1009-9115(2008)02-0022-04
第 30 卷第 2 期 Vol.30 No.2
唐山师范学院学报 Journal of Tangshan Teachers College
2008 年 3 月 Mar. 2008
基于指数模型的长江水质的评价和预测
董永权
（唐山师范学院 数学与信息科学系，河北 唐山 摘 要：利用指数模型 y a e
bx
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 Residual standard error: 4.345 on 8 degrees of freedom 上述结果表明，2 个参数的拟合的误差均在 0.01 以下， 拟合残差的标准误为 4.345. 3．模型检验 将时间序号代入(1)式， 求出长江干流Ⅰ类水河长百分的 拟合值（理论值） ： > fitted(y1.nls) 拟合结果如下： [1] 27.247 014 19.987 368 14.661 970 10.755 461 7.889 795 5.787 652 4.245 600 [8] 3.114 410 2.284 612 1.675 904 画残差的（Q-Q）诊断图（图 2） ： > qqnorm(resid(y1.nls)) 图 3 Ⅰ类水河长百分比指数模型的理论曲线与实际数据 4．预测 令 x 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 ，则可得到 未来 10 年长江干流Ⅰ类水河长百分比预测值，如表 2 所示。 从表 2 可以看出未来十年长江干流Ⅰ类水河长百分比 逐渐减少， 到十年之后将减少到 0.075 7%以下， 仅仅 10 年， 长江干流Ⅰ类水将难觅踪迹，可见污染非常严重，全面治污 势在必行。 5．模型分析 由图 3 可见Ⅰ类水河长百分比指数模型的理论曲线与 实际数据拟合效果并不十分理想，我们试着用文[3]介绍的 多项式插值法拟合，经过试验发现，用 4 次多项式拟合效果 最好： > y1.nls<-nls(y1~a0+a1*time+a2*time^2+ a3*time^3+ a4*time^4,data=ex, start=c(a0=1,a1=1,a2=1,a3=1,a4=1),trace=T) 图 2 Ⅰ类水河长百分比指数模型残差的（Q-Q）图 结果如下： 210 626 109 : 1 1 1 1 1 - 23 -
y4
2.9 0 3.3 0 5.5 25.4 18.7 17.4 1.5 15.7
y5
6.7 0.8 0 0 7.3 0 7.8 5.1 4.6 7.8
y6
0 0 0 0 0 0 5.8 8.7 0 9.0
w (亿吨)
174 179 183 189 207 234 220.5 256 270 285
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.3098 x
y1
24.7 25.6 14.6 10.3 0 9.5 2.3 3.1 8 1.1
y2
35.7 29.5 27.6 20.1 56.4 35.9 30.1 35.4 17.8 25.8
y3
30 44.1 44.5 69.6 30.8 29.1 35.3 30.3 68 40.6 分布。
realize the model’s identification, parameter’s estimation and result’s examination. Key word: exponential model; statistic software R; water contamination; forecast 长江是我国第一大河流，其水质的污染程度日趋严重， 已引起了相关政府部门和专家们的高度重视，2005 年全国 大学生数学建模竞赛即以此命题