《微观经济学：原理与模型》第03篇企业经济行为第08章生产函数第03节两种变动投入生产函数

《微观经济学：原理与模型》
第三篇企业经济行为
第八章生产函数
第三节两种变动投人生产函数
一、等产量线
(一)等产量线的形成
假设某企业在既定技术条件下，只生产一种产品，产量为q，但有劳动L和资本K两种变动投入，则企业的生产函数可以表示为
f
L
q (8．8)
)
,
(K
等产量线(isoquant curve)是指，在一定的技术条件下，生产等量产品的两种变动投入所有可能的组合。

表8．6表示，假如劳动L和资本K两种变动投入有四种组合方式，都能生产出同等数量的产品400。

根据表8．6中的数据，可作出图8．3。

图中的等产量曲线表明，劳动和资本这两种要素之间可以相互替代，其结果都能生产同等数量的产品。

表8.6 生产等量产品的要素组合
注记：
等产量线相当于前述消费选择理论中的等效用线或无异曲线，并具有类似的特性。

但等产量线描述的是物质技术关系，可以通过实际数据加以测定。

(二)等产量线的类型
根据生产要素间的替代性不同，等产量线有如下类型：
1．连续性生产函数等产量线。

它表示两种投入要素的比例可以任意变动，产量是一个连续函数，这是等产量线的基本类型，如图8．3所示。

（a）等产量线立面图
L轴表示劳动投入量，K轴表示资本投入量，第三轴为产量。

1单位劳动与4单位资本的产量A
A'为400，2单位劳动与3单位资本的产量B B'为400，4单位劳动与2单位资本的产量C
C'为400，7单位劳动与1单位资本的产量D
D'为400，ABCD构成劳动与资本不同的
组合的等产量线。

（b）等产量线平面图
横轴L表示劳动投入量，纵轴K表示资本投入量，ABCD为图（a）立面等产量线在K
L-平面图上的投影。

它表示劳动与资本的不同组合都可以生产400单位产量。

更多的劳动与资本的不同组合可以得到更高的产量。

图8.3 等产量线
2．固定比例生产函数等产量线。

它表示两种投入要素的比例是固定不变的，要素间的替代比例为常数，产量不一定是连续函数。

这种类型的等产量线又有几种具体形式：
(1)直角形等产量线。

在一定技术条件下，如果两种要素投入只能采用一种固定比例进行生产，完全不能互相替代，等产量线呈直角形，如图8．4所示。

这种直角形等产量线的顶角代表投入要素最优组合点(如点,)。

A,
C
B
比如，生产产量
q，可以使用劳动1L和资本1K，如果资本固定在
1
K，无论劳动怎样增加都不会增加产量。

同样，劳动若固定在1L，无1
论资本怎样增加也不会增加产量。

只有劳动和资本同时按固定比例增加，如从组合A到组合B，才会使产量从
q增加到2q。

显然，在这种
1
情况下，单一要素的边际产量等于0。

Array
图8.4 一种固定比例投入等产量线图
(2)折线形等产量线。

当企业可采用多种投入比例产出同等产量，并且同一比例中要素具有完全替代性，将形成折线形等产量线。

在图8．5中，E
A,
,
,分别代表劳动与资本投入的五种固定比
,
D
C
B
例，产量都是相同的，ABCDE便构成折线形等产量线。

由原点出发的五条射线的斜率，分别代表两种要素投入的五种固定比例，如果这些不同的固定比例无限增多，其极限状态便是可以任意变动投入比例的连续生产函数等产量线。

图8.5 多种固定比例投入等产量线图
(3)直线形等产量线。

在一定技术条件下，两种投人要素之间可以完全替代，且替代比例始终不变，等产量线表现为一条直线，如图8．6所示。

这时，企业可以资本为主(如点A)，或劳动为主(如点C)，或两者按特定比例的任意组合(如点B)生产相同的产量。

像通过高速公路或大桥的收费，既可以采用自动投币，也可以人工收缴。

图8.6 完全替代投入等产量线图
(三)等产量线的特性
在现实企业生产中，较为普遍的是连续生产函数的等产量线。

对于一个给定的生产函数，可有任意条等产量线，反映在坐标图上构成等产量线的集合，或称等产量图(isoquant map)。

类似无异曲线图，等产量图也可以分为四个区域。

在通常情况下，等产量线处于第Ⅲ区域，如图8．3(b)所示。

在这个区域内，等量线与无异曲线一样，具有以下特点：
(1)距原点越远的等产量线所代表的产量水平越高，反之则低。

(2)在合理的生产区域内，等产量线斜率为负，且凸向原点。

(3)同一平面坐标上的任何两条等产量线，不能相交。

二、投入替代
(一)边际技术替代率
边际技术替代率MRTS(marginalrate of technical substitution)是指，在技术水平不变条件下，等产量线上一种投入要素替代另一种投入要素的比例。

为维持产量不变，企业增加一种要素投入，势必相应减少另一种要素投入。

在同一条等产量线上的任一点，劳动投人L对资本投入K 的边际技术替代率，等于该点切线的斜率。

以LK MRTS 表示劳动替代资本的边际技术替代率，则
dL
dK L K L
K MRTS LK -=∆∆-=∆∆-
=→∆0lim (8．9)
劳动L 对资本K 的边际技术替代率，也可用两种投入的边际产量之比)/(K L MP MP 来表示。

设生产函数),(K L f q =，则
dK MP dL MP dK K
q dL L q dq K L ⋅+⋅=∂∂+∂∂=
由于在同一条等产量线上产量保持不变，即0=dq ，则
K
q
dK
L q dL
∂∂-=∂∂ 或
K
L MP MP K q L q dL dK =∂∂∂∂=-
// 故
K
L
LK MP MP MRTS =
(8．10)
(二)边际技术替代率递减法则
在同一条等产量线上，以一种要素替代另一种要素的替代率不断下降，称为边际技术替代率递减法则。

它是短期分析中的边际报酬递减法则在长期分析中的应用。

当某种投入要素L 不断增加时，L MP 终将不断下降，而被替代的另一种投入要素K ，则由于数量减少，K MP 不断上升，由此导致边际技术替代率下降速度越来越快。

即
022<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=dL
K d dL dK dL d MRTS dL d LK
如图8．7所示，当劳动投入1L ，2L ，3L ，4L 等量递增时，相应地，在点D C B A ,,,所能替代的资本1K ，2K ，3K ，4K 是递减的。

很明显，当越来越多的劳动替代资本时，劳动的生产率不断下降，而资本的生产率相对提高，等量劳动能替代的资本数量越来越少，等产量线变得越来越平坦。

边际技术替代率递减，即等产量线上的切线斜率绝对值递减，使等产量线从左下方向右下方倾斜，并凸向原点。

图8.7 等产量线的边际技术替代率
三、生产经济区
在现实生产中，有许多长期生产函数具有类似图8．8那样的等产量图，即等产量线包含有负斜率和正斜率的线段。

我们分别做出等产量线的水平和垂直切线，并以
A，2A，3A，4A和1B，2B，3B，4B来
1
表示相应的切点。

图8.8脊线与生产经济区
在图8．8中，如果企业产量是1q ，在点1A ，由于0=L MP ，斜率
0//==∆∆-K L MP MP L K 。

从点1A 沿曲线向右移动，如果只增加L ，则
总产量将减少，即L MP 为负数。

在点1B ，由于0=K MP ，斜率
∞==∆∆-K L MP MP L K //，从点1B 沿曲线向上移动，如果只增加K ，则
总产量也将减少，即K MP 为负数。

而点1A 与1B 之间的等产量线，无论是L MP 还是K MP 均为正数，为产量保持不变，如果增加一种要素的投入量，必须减少另一种要素的投入量。

在点1A 与1B 之间的任一要素组合，都被认为是有效率的组合。

在图8．8中，从点1A 沿曲线1q 向右移动和从点1B 向上移动，都
具有正的斜率，这就是说，必须同时增加两种要素投入才能保持产量不变，表明生产是缺乏效率的。

在点1A 和点1B ，L MP 和K MP 分别为0。

点1A 和点1B 是生产有效与无效的分界点。

同理，在等产量线2q ，3q ，
4q 上，也都有这样的分界点(2A ，3A ，4A 和2B ，3B ，4B )。

在等产量图中，将分别代表要素投入的边际产量等于0的投入组合点联结起来的曲线，称为脊线(ridge line)。

在脊线之外的等产量线，斜率为正值，企业要获取同等产出必须投入更多的生产要素。

脊线之间所包括的区域(即图8．8中的OA 与OB 所包括的区域)，称为生产经济区(economic region)。

因此，脊线是生产经济区与非经济区的分界线，或者说，脊线界定了有效生产与无效生产的范围。

长期分析中的生产经济区，相当于短期分析生产三阶段中的第Ⅱ阶段。

因为在脊线OA 的右侧，0<L MP ，为劳动的边际负报酬阶段，即第Ⅲ阶段；在脊线OB 的上侧， 0<K MP ，为资本的边际负报酬阶段，即第Ⅲ阶段。

显然，只有在生产经济区之内，0>L MP ，0>K MP ，两种投入均处于边际报酬递减(非负)阶段，即第Ⅱ阶段。

在某些特殊的生产领域，也要利用类似图5．7等产量图的其他区域进行分析。

如带有污染的生产企业，边际产量为正，边际污染为负，研究污染治理就要用到第I'或第V I'区域。

各种灾害的边际损失都是负值，灾害经济学就要用到第I I'区域。