数学第二十一讲：反函数

第二十一讲：反函数
可曾记得，不久前我们曾仔细讲解过函数和映射．又众所周知，函数是由定义域A 、值域B 以及A 到B 上的对应法则f 三部分组成的一类特殊的映射．还应记得，映射中有一种特殊的映射：一一映射。

一一映射有一个非常闪亮耀眼的特点：当f ：A→B 是集合A 到集合B 上的一一映射时，就存在f ：A->B 的逆映射-1
f ：B->A 。

没错，一一映射有逆映射，逆天的逆，这是一般映射不具有的性质，今天我们就专门研究这个逆映射，如果一个一一映射的正映射是一个函数，那么它你逆映射又是什么函数呢？这个函数与原来的函数有什么关系吗？我们先看一个例子：
若y=f(x)=2x ，x ∈R ，不难得出此函数的映射为：f ：A->B （f ：x->y=2x ）因为x 和 y 是一一对应的关系，所以此函数是一个一一映射，在此映射中，我们可以由原象x 求得它的象2x ，因为是一一映射，反过来也可以由象来求出
原象，即若知道象y ，我们可以它的逆对应法则1x=
y 2来求出原象x ，对应法则为：-1f ：B->A （f ：y->1
x=y 2
） 然后，我们对比：y=2x 和1x=y 2这两个函数，不难发现1
x=y 2中的x 和y 其实就是y=2x 中的x 和y ，只不过
把位置调换了一下而已，我们就把1x=y 2叫做y=2x 的反函数，为了符合书写习惯，我们一般把1x=y 2写成1
y=x 2。

也就是说：y=2x 和1
y=x 2
互为反函数，对于反函数，我们应该始终保持一颗警觉的心，即清楚原函数和反函数
的定义域和值域是相互颠倒的，作为一个崭新锃亮的概念，我们还要清楚反函数的一下特性：
1. 如果 y = f (x ) 有反函数 y = f -1
(x )，那么 y = f -1
(x ) 的反函数是 y = f (x )，它们互为反函数。

2. 并不是所有的函数都有反函数。

如 y = x 2
（可作映射说明）,只有决定函数的映射是一一映射的这个函数才
有反函数。

3. 两个函数互为反函数一定有：原函数的定义域是它的反函数的值域，原函数的值域是它的反函数的定义域
4. 两个互为反函数的函数，在坐标轴上一定关于直线y=x 对称。

同学们应该还记得，在上一讲我们在最后的讲义中，对比过几个函数，我们不妨再把它们的图像画出来：
容易看出：x 22y=log x y =和关于直线y=x 相互对称，x 33y=log x y =和也关于直线y=x 相互对称。

这是互为反函数的两对经典函数。

知识点是简单的，题却是难的。

经典例题： 1.求
,
的反函数.
解:由
得 ,又 得 ,
故所求反函数为
.
由于反函数的定义域必是原来函数的值域,而原函数的值域是
所以反函数为
解: 由 得 ,又 得
,
又
的值域是
, 故所求反函数为
,
. 2.求函数 211x y --= （-1≤ x < 0）的反函数。

解：∵ -1≤ x < 0 ∴0 < x 2
≤ 1 ∴0≤1 - x 2
< 1
∴ 0 ≤21x -< 1 ∴0 < y ≤ 1
由：211x y --= 解得：2
2y y x --= (∵ -1≤ x < 0 )
∴211x y --=(-1≤ x < 0)的反函数是：22x x y --=( 0 < x ≤1 )
3.求函数 ⎩⎨⎧<≤-≤≤-=)01()
10(122x x
x x y 的反函数。

解：①当 0≤ x ≤1时， -1 ≤ x 2
-1 ≤ 0 即 0 ≤ y ≤ 1
由 y = x 2
-1 (0≤ x ≤1) 解得 1+-=y x (-1≤ y ≤ 0)
∴ f -1(x ) = 1+-
x (-1≤ x ≤ 0)
②当 -1≤ x < 0时， 0 < x 2
≤ 1 即 0 < y ≤ 1 由 y = x 2
(-1≤ x < 0) 解得 y x -= (0 < y ≤ 1)
∴ f -1(x ) = x -
(0 < x ≤ 1)
∴所求反函数为：⎩⎨
⎧≤<-≤≤-+=)
10()01(1x x
x x y
4.求下列函数的反函数：
(1)y (x )(2)y x 2x 3x (0]2＝≠－．
＝－＋，∈－∞，．
35211
2x x -+
(3)y (x 0)(4)y x +1(1x 0)
(0x 1)＝
≤．＝－≤≤－＜≤1
1
2x x +⎧⎨
⎪⎩⎪ 解 (1)y (x )y y (2y 3)x y 5x y (x )∵＝≠－，∴≠，由＝
得－＝－－，
∴＝所求反函数为＝≠．
3521123
2
35
2153253232
x x x x y y y y -+-++-+- 解 (2)∵y ＝(x －1)2＋2，x ∈(－∞，0]其值域为y ∈[2，＋∞)，
由＝－＋≤，得－＝－，即＝－∴反函数为＝－，≥．
y (x 1)2(x 0)x 1x 1f (x)1(x 2)21
y y x ----222
解 (3)y (x 0)0y 1y x f (x)(0x 1)1∵＝
≤，它的值域为＜≤，由＝得＝－，
∴反函数为＝－
＜≤．1
1111122x x y
y x
x
++--- 解 (4)y (1x 0)0y 1f (x)x 1(0x 1)y (0x 1)12由＝－≤≤，
得值域≤≤，反函数＝－≤≤．由＝－＜≤，
x x +-1 得值域－≤＜，反函数＝－≤＜，
故所求反函数为＝－≤≤－≤＜．
1y 0f (x)(1x 0)y x 1(0x 1)
x (1x 0)1222-⎧⎨⎪⎩
⎪x
5.求出下列函数的反函数，并画出原函数和其反函数的图像．
(1)y 1
(2)y 3x 2(x 0)2＝－＝－－≤x -1
解 (1)∵已知函数的定义域是x ≥1，∴值域为y ≥－1，
由＝－，得反函数＝＋＋≥－．
函数＝－与它的反函数＝＋＋的图像如图．－所示．
y 1y (x 1)1(x 1)y 1y (x 1)124122
x x --11
解 (2)由y ＝－3x 2－2(x ≤0)得值域y ≤－2，
反函数＝－≤－．f (x)(x 2)1--
+x 2
3
它们的图像如图2．4－2所示．
6.
(1)求它的反函数；(2)求使f -1(x)＝f(x)的实数a 的值．
解(1)y x a y(x a)3x 1(y 3)x 1ay y 3设＝，∴≠－，
∵＋＝＋，－＝－，这里≠，
31
x x a ++
若＝，则＝这与已知≠矛盾，
∴＝，，即反函数＝．
y 3a a x f (x)1131
3
1313-----ay y ax x
(2)f(x)f (x)x 1若＝，即
＝对定义域内一切的值恒成立，-++--3113
x x a ax
x 令x ＝0，∴a ＝－3．
或解 由f(x)＝f -1(x)，那么函数f(x)与f -1(x)的定义域和值域相同，定义域是{x|x ≠a ，x ∈R }，值域y ∈{y|y ≠3，y ∈R }，∴－a ＝3即a ＝－3．
7.
试求a 、b 、c 、d 满足什么条件时，它的反函数
仍是自身．
解 f(x)bc ad 0f (x)x 1
＝＋，∵常数函数没有反函数，
∴－≠．又＝，
要使＝，对定义域内一切值恒成立，
a c bc ad
c cx
d dx b cx a
dx b cx a ax b cx d
-+-+--+-++-()
令x ＝0，得－a ＝d ，即a ＋d ＝0．
事实上，当a ＋d ＝0时，必有f -1(x)＝f(x)， 因此所求的条件是bc －ad ≠0，且a ＋d ＝0．
8.设点M(1，2)既在函数f(x)＝ax 2＋b(x ≥0)的图像上，又在它的反函数图像上，(1)求f -1(x)，(2)证明f -1(x)在其定义域内是减函数．
解证(1)2a b 14a b a b f(x)x (x 0)
(2)y x (x 0)f (x)(x )221由＝＋＝＋得＝－＝，∴＝－＋≥由＝－＋≥得反函数＝≤．
⎧⎨⎩⎧
⎨⎪⎪⎩
⎪⎪--13
7313731373737
3
x
设＜≤，∴－＞－≥，
∴＞，即＞，故在－∞，上是减函数．
x x 73x 73x 0f (x )f (x )f (x)(]1212111217
3
7337
3
12-----x x x 【例6】解法一若函数＝，求的值．
先求函数＝的反函数＝，于是＝＝－－．
f(x)f (2)()f(x)f (x)f (2)532x x x x x x
-+-++-+----1
2
12121122
12
11
1
解法(二) 由函数y ＝f(x)与其反函数y ＝f -1(x)之间的一一对应关
系，求的值，就是求＝时对应的的值，∴令＝，
得＝－－，即＝－－．
f (2)f(x)2x 2x 532f (2)5321
1---+x x 1
2
【例7】已知∈，且≠，≠．设函数＝
∈且≠，证明＝的图像关于直线＝对称．
a a 0a 1f(x)(x x )y f(x)y x R R x ax a --11
1
证 y a 0a 1(ay 1)x y 1ay 10y a 1a 1由＝，≠，≠，得－＝－，
如果－＝，则＝，∴＝得＝，这与已知≠矛盾，x ax a
a x ax ----1
1
1
111
∴－≠，故＝
，∴＝，即证得＝的反函数就是它本身．
ay 10x f (x)f(x)1y ay x ax x ax -------111
1
1
1
因为原函数的图像与其反函数的图像关于直线y ＝x 对称， ∴函数y ＝f(x)的图像关于直线y ＝x 对称．
今日作业：
(一)选择题
1．函数y ＝－x 2(x ≤0)的反函数是
[ ]
A y (x 0)
B y (x 0)
C y (x 0)
D y |x|
．＝－≥．＝≤．＝－≤．＝－x x x --
2．函数y ＝－x(2＋x)(x ≥0)的反函数的定义域是
[ ]
A ．[0，＋∞)
B ．[－∞，1]
C ．(0，1]
D ．(－∞，0]
3y 1(x 2)．函数＝＋≥的反函数是x -2
[ ]
A ．y ＝2－(x －1)2(x ≥2)
B ．y ＝2＋(x －1)2(x ≥2)
C ．y ＝2－(x －1)2(x ≥1)
D ．y ＝2＋(x －1)2(x ≥1)
4．下列各组函数中互为反函数的是
[ ]
A y y x
B y y 2
．＝和＝．＝和＝
x x x
11
C y y (x 1)
D y x (x 1)y (x 0)
2．＝
和＝≠．＝≥和＝≥313131
1x x x x x +-+-
5．如果y ＝f(x)的反函数是y ＝f -1(x)，则下列命题中一定正确的是
[ ]
A ．若y ＝f(x)在[1，2]上是增函数，则y ＝f -1(x)在[1，2]上也是增函数
B ．若y ＝f(x)是奇函数，则y ＝f -1(x)也是奇函数
C ．若y ＝f(x)是偶函数，则y ＝f -1(x)也是偶函数
D ．若f(x)的图像与y 轴有交点，则f -1(x)的图像与y 轴也有交点 6．如果两个函数的图像关于直线y ＝x 对称，而其中一个函数是
y ＝－，那么另一个函数是x -1
[ ]
A ．y ＝x 2＋1(x ≤0)
B ．y ＝x 2＋1(x ≥1)
C ．y ＝x 2－1(x ≤0)
D ．y ＝x 2－1(x ≥1)
7．设点(a ，b)在函数y ＝f(x)的图像上，那么y ＝f -1(x)的图像上一定有点
[ ]
A ．(a ，f -1(a))
B ．(f -1(b)，b)
C ．(f -1(a)，a)
D ．(b ，f -1(b))
8．设函数y ＝f(x)的反函数是y ＝g(x)，则函数y ＝f(－x)的反函数是
[ ]
A ．y ＝g(－x)
B ．y ＝－g(x)
C ．y ＝－g(－x)
D ．y ＝－g -1(x)
9．若f(x －1)＝x 2－2x ＋3(x ≤1)，则函数f -1(x)的草图是
[ ]
10y g(x)．函数＝的反函数是，则1
3
x
[ ]
A ．g(2)＞g(－1)＞g(－3)
B ．g(2)＞g(－3)＞g(－1)
C ．g(－1)＞g(－3)＞g(2)
D ．g(－3)＞g(－1)＞g(2) (二)填空题
1y 32y (x 0)y f(x)y x ．函数＝＋的反函数是．
．函数＝＞与函数＝的图像关于直线＝对称，
x x ++21
21
解f(x)＝________．
3．如果一次函数y ＝ax ＋3与y ＝4x －b 的图像关于直线y ＝x 对称，那a ＝________，b ＝________．
4y (1x 0)．函数＝－＜＜的反函数是
，反函数的定92-x
义域是________．
5．已知函数y ＝f(x)存在反函数，a 是它的定义域内的任意一个值，则f -1(f(a))＝________．
6y 7y (x 1)
(x 1)
8f(x)(x 1)f ()1
．函数＝
的反函数的值域是
．
．函数＝≥－＜的反函数是：
．．函数＝＜－，则－＝
．
1
2
1121232
x x x x ---⎧⎨⎪⎩⎪--
(三)解答题
1y 12f(x)．求函数＝＋的反函数，并作出反函数的图像．
．已知函数＝．
x ax x +++25
2
(1)求函数y ＝f(x)的反函数y ＝f -1(x)的值域；(2)若点P(1，2)是y ＝f -1(x)的图像上一点，求函数y ＝f(x)的值域．
3．已知函数y ＝f(x)在其定义域内是增函数，且存在反函数，求证y ＝f(x)的反函数y ＝f -1(x)在它的定义域内也是增函数．
4f(x)y g(x)y f (x 1)．设函数＝
，函数＝的图像是＝＋的图像23
1
1x x +-- 关于y ＝x 对称，求g(2)的值．。