直线平面垂直的判定与性质 课件

3. 直线与平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所 成的_锐__角__，叫做这条直线和这个平面所成的角， 如图，__∠__P_A_O__就是斜线 AP 与平面 α 所成的角． (2)线面角 θ 的范围：θ∈0，π2. ①直线垂直于平面，则它们所成的角是直角； ②直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是 0°的角； ③当直线与平面斜交时，它们所成的角是锐角．
所以 AB⊥PD. 又因为 PA⊥PD， 所以 PD⊥平面 PAB. 所以平面 PAB⊥平面 PCD. (3)取 PC 中点 G，连接 FG，DG. 因为 F，G 分别为 PB，PC 的中点， 所以 FG∥BC，FG＝12BC. 因为 ABCD 为矩形，且 E 为 AD 的中点，
所以 DE∥BC，DE＝12BC. 所以 DE∥FG，DE＝FG. 所以四边形 DEFG 为平行四边形． 所以 EF∥DG.又因为 EF⊄平面 PCD，DG⊂平面 PCD， 所以 EF∥平面 PCD.
2. 平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
一个平面过另一个平面 判定 的_垂__线__，则这两个平面 定理
互相垂直
符号语言 ll⊂⊥βα⇒α⊥β
文字语言
图形语言
两个平面互相垂
直，则一个平面
性质定理 内垂直于_交__线__的
直线垂直于另一
个平面
符号语言
α⊥β lα⊂∩ββ＝a⇒l⊥α l⊥a
为矩形，平面 PAD⊥平面 ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F 分别为 AD，PB 的中点． (1)求证：PE⊥BC； (2)求证：平面 PAB⊥平面 PCD； (3)求证：EF∥平面 PCD.
【证明】 (1)因为 PA＝PD，E 为 AD 的中点， 所以 PE⊥AD. 因为底面 ABCD 为矩形， 所以 BC∥AD. 所以 PE⊥BC. (2)因为底面 ABCD 为矩形， 所以 AB⊥AD. 又因为平面 PAD⊥平面 ABCD， 所以 AB⊥平面 PAD.
(1)证明面面垂直的 2 种方法
①定义法：利用面面垂直的定义,即判定两平面所成的二面角为
直二面角,将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问
题.
②定理法：利用面面垂直的判定定理,即证明其中一个平面经过
另一个平面的一条垂线,把问题转化成证明线线垂直加以解决.
(2)三种垂直关系的转化
线线垂直)
判定 性质
线面垂直
判定 性质
面面垂直
直线与平面所成的角(师生共研)
(青海模拟)如图，正四棱锥 P-ABCD 的体积为 2，底面积 为 6，E 为侧棱 PC 的中点，则直线 BE 与平面 PAC 所成的角 为( )
A．60° C．45°
B．30° D．90°
【解析】 如图，正四棱锥 P-ABCD 中，根据底面积 为 6 可得，BC＝ 6.连接 BD，交 AC 于点 O，连接 PO， 则 PO 为正四棱锥 P­ABCD 的高，根据体积公式可得， PO＝1.因为 PO⊥底面 ABCD，所以 PO⊥BD，又 BD⊥AC，PO ∩AC＝O，所以 BD⊥平面 PAC，连接 EO，则∠BEO 为直线 BE 与平面 PAC 所成的角．在 Rt△POA 中，因为 PO＝1，OA＝ 3， 所以 PA＝2，OE＝12PA＝1，在 Rt△BOE 中，因为 BO＝ 3，所 以 tan∠BEO＝BOOE＝ 3，即∠BEO＝60°. 【答案】 A
线面垂直的判定与性质
S 是 Rt△ABC 所在平面外一点，且 SA＝SB＝SC，D 为 斜边 AC 的中点． (1)求证：SD⊥平面 ABC； (2)若 AB＝BC，求证：BD⊥平面 SAC.
【证明】 (1)如图所示，取 AB 的中点 E，连接 SE， DE， 在 Rt△ABC 中，D、E 分别为 AC、AB 的中点， 所以 DE∥BC，所以 DE⊥AB， 因为 SA＝SB，所以△SAB 为等腰三角形， 所以 SE⊥AB. 又 SE∩DE＝E， 所以 AB⊥平面 SDE.
又 SD⊂平面 SDE， 所以 AB⊥SD. 在△SAC 中，SA＝SC，D 为 AC 的中点， 所以 SD⊥AC. 又 AC∩AB＝A，所以 SD⊥平面 ABC. (2)由于 AB＝BC，则 BD⊥AC， 由(1)可知，SD⊥平面 ABC， 又 BD⊂平面 ABC，所以 SD⊥BD， 又 SD∩AC＝D，所以 BD⊥平面 SAC.
求直线和平面所成角的步骤 (1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线． (2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所 成的锐角或直角即为所求的角． (3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．
逻辑推理——空间中平行与垂直的证明 (高考北京卷)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD
1．直线与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
一条直线与一个平面 判定 内的_两__条__相__交__直__线___ 定理 都垂直，则该直线与此
平面垂直
符号语言
a，b⊂αபைடு நூலகம்
a∩b＝O l⊥a
⇒l
l⊥b
⊥α
文字语言
垂直于同一 性质定理 个平面的两
条直线_平__行__
图形语言
符号语言 ab⊥ ⊥αα⇒a∥b
本题考查数学核心素养中的逻辑推理及直观想象、逻辑推理让 学生能发现问题和提出问题；能掌握推理的基本形式，表述论 证的过程；能理解数学知识之间的联系，构建知识框架；形成 有论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，增强数学交流能力．
判定线面垂直的四种方法
面面垂直的判定与性质(师生共研)
如图，在四面体 ABCD 中，平面 BAD⊥平面 CAD，∠BAD＝90°.M，N， Q 分别为棱 AD，BD，AC 的中点． (1)求证：CD∥平面 MNQ; (2)求证：平面 MNQ⊥平面 CAD.
【证明】 (1)因为 M，Q 分别为棱 AD，AC 的中点， 所以 MQ∥CD，又 CD⊄平面 MNQ，MQ⊂平面 MNQ，故 CD∥ 平面 MNQ. (2)因为 M，N 分别为棱 AD，BD 的中点，所以 MN∥AB， 又∠BAD＝90°，故 MN⊥AD. 因为平面 BAD⊥平面 CAD，平面 BAD∩平面 CAD＝AD，且 MN⊂平面 ABD，所以 MN⊥平面 ACD，又 MN⊂平面 MNQ， 所以平面 MNQ⊥平面 CAD.