课件8：3.2.1 复数的加法与减法

【答案】
61 2
命题方向1 复数加、减法运算 例 1 计算： (1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)； (2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]； (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．
解：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i) ＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i. (2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)] ＝5i－(4＋i)＝－4＋4i. (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i ＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i＝－a＋(4b－3)i.
跟踪训练 2.已知平行四边形 OABC 的三个顶点 O、A、C 对应的 复数分别为 0、3＋2i、－2＋4i，试求： (1)A→O表示的复数； (2)C→A表示的复数； (3)B 点对应的复数．
解：(1)∵A→O＝－O→A，∴A→O表示的复数为－(3＋2i)， 即－3－2i. (2)C→A＝O→A－O→C， ∴C→A表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)O→B＝O→A＋A→B＝O→A＋O→C， ∴O→B表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i. 即 B 点对应的复数为 1＋6i.
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2.设向量O→P、P→Q、O→Q对应的复数分别为 z1，z2，z3，
那么( D )
A．z1＋z2＋z3＝0
B．z1－z2－z3＝0
C．z1－z2＋z3＝0
D．z1＋z2－z3＝0
【解析】 ∵O→P＋P→Q－O→Q＝O→Q－O→Q＝0.
∴z1＋z2－z3＝0.
三、复数的几何意义的应用 (1)复平面内|z|的意义 我们知道，在实数集中，实数 a 的绝对值，即|a|是 表示实数 a 的点与原点 O 间的距离，那么在复数集中．类 似地，有|z|是表示复数 z 的点 Z 到坐标原点间的距离， 也就是向量O→Z的模，|z|＝|O→Z|.
教材预习 一、复数的加法 1．复数的加法法则 设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 z1＋z2＝(a ＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i. 注意：(1)复数加法的规定：实部与实部相加，虚部与虚 部相加．很明显，两个复数的和仍然是一个复数．
复数的加法可以推广到多个复数相加． (2)在这个规定中，当 b＝d＝0 时，与实数的加法法则 一致． 2．加法的运算律 (1)设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，
(2)复平面内任意两点间的距离 设复平面内任意两点 P、Q 所对应的复数分别为 z1、z2， 则|PQ|＝|z2－z1|. 运用以上性质，可以通过数形结合的方法解决有关问题．
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3.若 z1＝2－i，z2＝－21＋2i，z1、z2 在复平面上所对应 的点分别为 Z1、Z2，则这两点之间的距离为________． 【解析】 由复平面内两点间的距离公式可得．
|z－2－2i|＝|z－(2＋2i)|表示复数 z 在复平面内的对应 点到点(2,2)的距离， 即圆上的点到点(2,2)的距离， 最小值为圆心与点(2,2)的距离减去半径， 易求得|z－2－2i|的最小值为 3.
方法总结 设O→Z，O→Z0分别表示复数 z＝a＋bi，z0＝c ＋di，且O→Z，O→Z0不共线，则这两个复数的差 z－z0 与 向量O→Z－O→Z0(即Z→0Z)对应，如图所示：
即复数 z 对应的复平面上的点 Z 在以(－2,2)为圆心， 以 1 为半径的圆上， ∴－3≤x≤－1. 而|z－2－2i|＝ (x－2)2＋(y－2)2 ＝ (x－2)2＋1－(x＋2)2＝ 1－8x， ∵－3≤x≤－1， ∴当 x＝－1 时，|z－2－2i|取最小值 3.
解法 2：(几何法) |z＋2－2i|＝|z－(－2＋2i)|＝1， 所以复数 z 在复平面内的对应点的轨迹是以(－2,2)为 圆心，1 为半径的圆．
解：(1)如图 1 所示：|O→M|＝ ( 3)2＋12＝2.
∴|z|max＝2＋1＝3，|z|min＝2－1＝1. (2)∵|z－1|2＋|z＋1|2＝2|z|2＋2. ∴|z－1|2＋|z＋1|2 的最大值为 20，最小值为 4.
(3)如图 2，在圆面上任取一点 P，与复数 z1＝ 3、z2 ＝2i 对应点 A、B 相连，得向量P→A、P→B，再以P→A、P→B 为邻边作平行四边形，将问题再次转化为(1)的类型．
z2＋z1＝(c＋di)＋(a＋bi)＝(c＋a)＋(d＋b)i＝(a＋c)＋ (b＋d)i， ∴z1＋z2＝z2＋z1. (2)设 z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i(ai，bi∈R， i＝1,2,3)，则 (z1＋z2)＋z3＝[(a1＋b1i)＋(a2＋b2i)]＋(a3＋b3i)
所以|z－z0|表示复数 z 在复平面内的对应点 Z 与点 Z0 间 的距离．在应用时，要把绝对值符号内的式子变为两复 数差的形式．|z－z0|＝r(r>0)表示以复数 z0 在复平面内的 对应点的足|z＋ 3＋i|≤1，求： (1)|z|的最大值和最小值； (2)|z－1|2＋|z＋1|2 的最大值和最小值； (3)|z－ 3|2＋|z－2i|2 的最大值和最小值．
＝[(a1＋a2)＋(b1＋b2)i]＋(a3＋b3i)＝(a1＋a2＋a3)＋(b1 ＋b2＋b3)i， z1＋(z2＋z3)＝(a1＋b1i)＋[(a2＋b2i)＋(a3＋b3i)] ＝(a1＋b1i)＋[(a2＋a3)＋(b2＋b3)i]＝(a1＋a2＋a3)＋(b1 ＋b2＋b3)i， ∴(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
由题意|O→Z1|＝1，|O→Z2|＝1，|O→Z|＝ 3， 可得∠OZ1Z＝120°， ∴∠Z2OZ1＝60°. ∴在△Z2OZ1 中|Z→2Z1|＝1， 即|z1－z2|＝1.
解法 2：设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 由题设知 a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，(a＋c)2＋(b＋d)2＝3. ∴2(ac＋bd)＝1. ∵|z1－z2|2＝(a－c)2＋(b－d)2
设 zA＝ 3，zB＝2i，P 为圆面上任一点，zP＝z.
则 2|P→A|2＋2|P→B|2＝|A→B|2＋(2|P→O′|)2＝7＋4|P→Q′|
∴|z－ 3|2＋|z－2i|2＝127＋4z－ 23－i2，
而z－
23－imax＝|O′M|＋1＝1＋
243，
z－
23－imin＝|O′M|－1＝
＝a2＋b2＋c2＋d2－2(ac＋bd) ＝1＋1－1＝1，∴|z1－z2|＝1. 解法 3：由教材中的习题得出结论： |z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)． 将已知数据代入，得|z1－z2|2＝1. ∴|z1－z2|＝1.
方法总结 本例给出了三种常规解法，不难发现，解 法 2 具有一般性，解法 3 固然简单，但给出的结论应 先证后用．解法 1 是运用了复数加、减法的几何意义， 思路清晰，几乎不需运算便得结果．
3.2.1 复数的加法与减法
情境导入 乘飞机从上海到香港约2.5小时，从香港到台北约4小时， 因此从上海经香港转航到台北约6.5小时．在两岸同胞的 共同努力下，现在实现两岸直航，上海到台北只需约90 分钟，比直航前节省约5小时，有关航行节时的多少，体 现了实数集内的代数运算． 复数集内可进行复数的四则运算吗？
2．复数的减法法则 我们规定两个复数的减法法则如下： a＋bi－(c＋di)＝a＋bi＋(－c－di)＝(a－c)＋(b－d)i(a，b，c， d∈R)，即 a＋bi－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.
可见，两个复数的差也是复数．
总之，两个复数相加(减)，就是把它们的实部与实部、 虚部与虚部分别相加(减)．
243－1.
∴|z－ 3|2＋|z－2i|2 最大值为 27＋2 43，最小值为 27－
2 43.

注意：对于任意复数 z1，z1，z3∈C，它们满足：(1)交换律： z1＋z2＝z2＋z1；(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 3．加法的几何意义 设向量O→Z1，O→Z2分别与复数 z1＝a＋bi，z2＝c＋di 对应， 且O→Z1和O→Z2不共线．
如图，以 OZ1，OZ2 为邻边画平行四边形 OZ1ZZ2，根据 向量加法法则，则其对角线 OZ 所表示的向量O→Z就是复 数(a＋c)＋(b＋d)i 对应的向量．
知识链接 1.复数相等的充要条件是什么？ 2．复数z＝a＋bi(a，b∈R)的几何意义是什么？ 3．复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数是什么？模是什么？
【答案】1.若 a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)⇔a＝c 且 b＝d，即两复数相等的充要条件是实部与实部相等， 虚部与虚部相等． 2．复数 z＝a＋bi一―一―对→应复平面内点 Z(a，b)一―一―对→应 复平面内向量O→Z. 3.－z ＝a－bi；|z|＝ a2＋b2.
跟踪训练 1.计算(2＋3i)＋(4－5i)－(－12－i)． 解：原式＝[2＋4－(－12)]＋[3＋(－5)－(－1)]i＝18－i.
命题方向2 复数加法和减法的几何意义的应用 例 2 已知|z1|＝1，|z2|＝1，|z1＋z2|＝ 3，求|z1－z2|. 解：解法 1：在坐标系内以原点 O 为起点作出 z1、z2 对应的向量O→Z1、O→Z2，如图，则向量O→Z对应 z1＋z2，Z→2Z1 对应 z1－z2.
命题方向3 距离公式及其应用 例 3 已知 z∈C，且|z＋2－2i|＝1，求|z－2－2i|的 最小值． 解：解法 1：设 z＝x＋yi(x，y∈R)， 则|(x＋yi)＋2－2i|＝1， 即|(x＋2)＋(y－2)i|＝1，
∴ (x＋2)2＋(y－2)2＝1， ∴(x＋2)2＋(y－2)2＝1，
3．复数减法的几何意义 复数的减法是加法的逆运算，设O→Z1、O→Z2分别与复 数 a＋bi、c＋di 相对应，且O→Z1、O→Z2不共线，如图，则 复数 z1－z2 与向量O→Z1－O→Z2(等于Z→2Z1)对应，这就是复 数减法的几何意义．
4．复数加减运算的几何意义 复数加减运算的几何意义就是向量加减运算的平形 四边形法则或三角形法则． 拓展：由复数加减法的几何意义可得如下结论： (1)||z1|－|z2||≤|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|. (2)|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2|z1|2＋2|z2|2.
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1.设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为 ()
A．1＋i
B．2＋i
C．3
D．－2－i
【解析】 由 z1＋z2＝0，得2b＋ ＋a1＝ ＝00， ， 解得ab＝ ＝－ －21.， 故选 D.
【答案】 D
二、复数的减法 1．相反数 已知复数 a＋bi(a，b∈R)，根据加法的定义，存在唯 一的复数－a－bi，使 a＋bi＋(－a－bi)＝0，则－a－ bi 叫做 a＋bi 的相反数，也就是－a－bi＝－(a＋bi)．