2016高考数学二轮专题复习 提能增分篇 突破一 数学思想方法的贯通应用 第1讲 函数与方程思想-求

解法二：若设 ab＝t，则 a＋b＝t－3，
∴a，b 可看成方程 x2－(t－3)x＋t＝0 的两个正根，
Δ＞0，
即tt≤＞13或，t≥9， t＞0，
解得 t≥9，即 ab≥9，
∴ab 的取值范围是[9，＋∞)．
二、函数与方程思想的综合应用 [典例 2] 已知 a∈R，函数 f(x)＝x2(x－a)． (1)若函数 f(x)在区间0，23内是减函数，求实数 a 的取值范 围； (2)求函数 f(x)在区间[1,2]上的最小值 h(a)； (3)对(2)中的 h(a)，若关于 a 的方程 h(a)＝ma＋12有两个不 相等的实数解，求实数 m 的取值范围．
2．函数与方程思想的常见问题 (1)函数与其图象可视为二元方程与曲线的关系． (2)方程中的参变量必要时可视为其中某个量的函数，从而利 用函数性质研究． (3)解方程或不等式时可视其结构联想到相关函数图象或性 质给予解决． (4)数列的相关问题可视为函数问题或转化为方程和不等式 解决．
一、函数与方程思想的简单应用 [典例 1] 如果方程 cos2x－sin x＝a 在0，π2上有解，则 a 的 取值范围是________．
解：(1)由 e＝ 33，得 1－ba22＝13，即 b2＝23a2，① 将 x＝ 26，y＝1 代入方程ax22＋by22＝1 中， 得23a2＋b12＝1，② 由①②解得 a2＝3，b2＝2， ∴椭圆 C 的方程为x32＋y22＝1.
(2)设 P(x0，y0)，过点 P 的切线方程为 y－y0＝k(x－x0)， 由y2－x2＋y0＝3yk2＝x－6，x0， 得(2＋3k2)x2＋6k(y0－kx0)x＋3(kx0－y0)2－6＝0. ∵直线与椭圆相切，∴Δ＝[6k(y0－kx0)]2－4(2＋3k2)[3(kx0－ y0)2－6]＝0， 整理得(3－x20)k2＋2x0y0k＋2－y20＝0.
答案：[9，＋∞)
解析：解法一：∵ab＝a＋b＋3，a≠1，∴b＝aa＋－31， 而 b＞0，∴aa＋－31＞0，即 a＞1 或 a＜－3. 又 a＞0，∴a＞1，即 a－1＞0， ∴ab＝a·aa＋－31＝a－12＋a－5a1－1＋4＝(a－1)＋a－4 1＋5≥9， 当且仅当 a－1＝a－4 1，即 a＝3 时取等号． ∴ab 的取值范围是[9，＋∞)．
⊳第二部分 提能增分篇
突破一 数学思想方法的贯通应用
第1讲 函数与方程思想——求解数学 问题最常用的工具
1．函数与方程思想的含义 (1)函数思想是指应用函数的概念和性质去分析和解决问题， 具体表现在：通过函数性质解题，应用映射和函数观点去观察和 分析问题，有关不等式或讨论方程解的个数，求参数的范围等问 题通过构造函数运用函数性质求解． (2)方程思想是指应用变量间相等关系，建立方程(或方程组) 后解答问题，如：将函数与方程间等价转化，通过等价转化为关 于某变量的方程后达到解决问题的目的．
③若32≤a<3，即 1≤23a＜2，则当 1＜x＜23a 时， f′(x)＜0；当23a＜x＜2 时，f′(x)＞0. 所以 f(x)在区间1，23a上是减函数， 在区间23a，2上是增函数． 所以 h(a)＝f23a＝－247a3.
④若 a≥3，即23a≥2，则当 1＜x＜2 时，f′(x)＜0， 所以 f(x)在区间[1,2]上是减函数， 所以 h(a)＝f(2)＝8－4a. 综上所述，函数 f(x)在区间1，2的最小值
解：(1)∵fx＝x3－ax2， ∴f′x＝3x2－2ax. ∵函数 fx在区间0，23内是减函数， ∴f′x＝3x2－2ax≤0 在0，23上恒成立． 即 a≥32x在0，23上恒成立， ∵32x<32×23＝1，∴a≥1. 故实数 a 的取值范围为[1，＋∞)．
(2)∵f′x＝3xx－23a， 令 f′x＝0 得 x＝0 或23a. ①若 a≤0，则当 1≤x≤2 时，f′(x)＞0， 所以 f(x)在区间[1,2]上是增函数， 所以 h(a)＝f(1)＝1－a. ②若 0＜a＜32，即 0＜23a＜1，则当 1≤x≤2 时，f′(x)＞0， 所以 f(x)在区间[1,2]上是增函数，所以 h(a)＝f(1)＝1－a.
[即时应用] 2．已知椭圆 C 的方程是ax22＋by22＝1(a＞b＞0)，离心率为 33， 且经过点 26，1. (1)求椭圆 C 的方程； (2)圆 O 的方程是 x2＋y2＝a2＋b2，过圆 O 上任一点 P 作椭圆 C 的两条切线，若切线的斜率都存在，分别记为 k1，k2，求 k1·k2 的值．
答案：(－1,1]
解析：解法一：设 f(x)＝－cos2x＋sin xx∈0，π2，显然当且 仅当 a 属于 f(x)的值域时，a＝f(x)有解．∵f(x)＝－(1－sin2x)＋sin
x＝sin
x＋122－54，且由
x∈0，π2知，sin
x∈(0,1]，易求得
f(x)的
值域为(－1,1]．
故 a 的取值范围是(－1,1]．
解法二：令 t＝sin x，由 x∈0，π2，可知 t∈(0,1]． 将方程变为 t2＋t－1－a＝0. 依题意，该方程在(0,1]上有解． 设 f(t)＝t2＋t－1－a， 其图象是开口向上的抛物线，对称轴 t＝－12，如图所示．
因此 f(t)＝0 在(0,1]上有解等价于ff01＜≥00，. 即－1－1－a≥a＜0，0， ∴－1＜a≤1.故 a 的取值范围是(－1,1]．
∵椭圆 C 的两条切线的斜率分别为 k1，k2， ∴k1·k2＝23－ －yx0022. ∵点 P 在圆 O 上，∴x20＋y20＝5，即 y20＝5－x20， ∴k1·k2＝23－ －yx0022＝2－3－5－x20x20＝x302－－x302＝－1.
名师说法 研究此类含参数的三角、指数、对数等复杂方程解的问题， 通常有两种处理思路：一是分离参数构建函数，将方程有解转化 为求函数的值域；二是换元，将复杂方程问题转化为熟悉的二次 方程，进而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数加 以解决．
[即时应用] 1. 若 a，b 是正数，且满足 ab＝a＋b＋3，则 ab 的取值范围 为________．
1－a，a<32， ha＝－247a3，32≤a<3，
8－4a，a≥3.
(3)由题意 ha＝ma＋12有两个不相等的实数解，即(2)中函数 h(a)的图象与直线 y＝ma＋12有两个不同的交点．
而直线 y＝ma＋12恒过定点－12，0，由图象知实数 m 的取 值范围是(－4，－1)．
名师说法 本小题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考 查运用导数研究函数性质的方法，考查运算能力，考查函数与方 程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问 题的能力．