【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 9-1直线的倾斜角与斜率、直线的方程课后强化作业 北师大版

"【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 9-1直线的倾斜角与斜率、
直线的方程课后强化作业 北师大版 "
基础达标检测
一、选择题
1．过点A (－2,4m )，B (m,4)的直线的斜率为1，则m ＝( )
A.35
B.25
C ．1
D ．2
[答案]B
[解析]4－4m m ＋2
＝1，得m ＝25. 2．光线自点M (2,3)射到N (1,0)后被x 轴反射，则反射光线所在的直线方程为( )
A ．y ＝3x －3
B ．y ＝－3x ＋3
C ．y ＝－3x －3
D ．y ＝3x ＋3
[答案]B
[解析]点M 关于x 轴的对称点M ′(2，－3)，则反射光线即在直线NM ′上，由y －0－3－0
＝x －1
2－1
，得y ＝－3x ＋3. 3．设直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a 、b 满足( )
A ．a ＋b ＝1
B ．a －b ＝1
C ．a ＋b ＝0
D ．a －b ＝0
[答案]D
[解析]∵sin α＋cos α＝0，∴tan α＝－1，
即－a b
＝－1，∴a －b ＝0. 4．(2014·宁都模拟)经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4
，则y ＝( ) A ．－1 B ．－3
C ．0
D ．2
[答案]B
[解析]由2y ＋1－(－3)4－2
＝2y ＋42＝y ＋2，
得：y ＋2＝tan 3π4
＝－1，∴y ＝－3. 5．(文)经过点A (1,2)，并且在两个坐标轴上的截距相等的直线有( )
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
[答案]B
[解析]设直线在x 轴，y 轴上的截距分别为a ，b ，则a ＝b 若a ＝b ＝0，则直线方程为y ＝kx ，
∵直线过A (1,2)，∴k ＝2，∴直线方程为y ＝2x .
若a ≠0，b ≠0，则直线方程为x a ＋y b
＝1， ∵直线过A (1,2)，则1a ＋2b
＝1， 若a ＝b ，则a ＝b ＝3，∴直线方程为x ＋y －3＝0，
∴满足条件的直线有2条，故选B.
(理)已知点M 是直线l ：2x －y －4＝0与x 轴的交点，把直线l 绕点M 按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是( )
A ．3x ＋y －6＝0
B ．3x －y ＋6＝0
C ．x ＋y －3＝0
D ．x －3y －2＝0
[答案]A
[解析]由题意知M (2,0)，设已知直线和所求直线的倾斜角分别为α，β，则β＝α＋45°且tan α＝2,45°<α<90°，
tan β＝tan(α＋45°)＝tan α＋tan45°1－tan αtan45°
＝－3， 所以所求直线方程为y －0＝－3(x －2)，
即3x ＋y －6＝0.
6．(文)已知点A (1,3)，B (－2，－1)，若直线l y ＝k (x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的取值X 围( )
A ．k ≥12
B ．k ≤－2
C ．k ≥12或k ≤－2
D ．－2≤k ≤12
[答案]D
[解析]
如图，l 过P (2,1)，k P A ≤k ≤k PB ，
k P A ＝3－11－2
＝－2，而k PB ＝12， ∴－2≤k ≤12
. (理)点P (x ，y )在以A (－3,1)，B (－1,0)，C (－2,0)为顶点的△ABC 的内部运动(不包含边界)，则y －2x －1
的取值X 围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，1B.⎝⎛⎭⎫12，1
C.⎣⎡⎦⎤14，1
D.⎝⎛⎭⎫14，1
[答案]D
[解析]令k ＝y －2x －1
，则k 可以看成过点D (1,2)和点P (x ，y )的直线斜率，显然k DA 是最小值，k BD 是最大值．由于不包含边界，所以k ∈⎝⎛⎭⎫14，1.
二、填空题
7．若经过点P (1－a,1＋a )和Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值X 围是________．
[答案](－2,1)
[解析]∵直线的斜率k ＝a －1a ＋2，且直线的倾斜角为钝角， ∴a －1a ＋2
<0，解得－2<a <1.
8．直线ax ＋my －2a ＝0(m ≠0)过点(1,1)，则该直线的倾斜角α为________．
[答案]135°
[解析]∵ax ＋my －2a ＝0(m ≠0)过点(1,1)，
∴a ＋m －2a ＝0.
∴m ＝a .
直线方程为ax ＋ay －2a ＝0，
又m ＝a ≠0，
∴直线方程即为x ＋y －2＝0.
∴斜率k ＝－1，∴倾斜角α＝135°.
9．一条直线l 过点P (1,4)，分别交x 轴，y 轴的正半轴于A 、B 两点，O 为原点，则△AOB 的面积最小时直线l 的方程为________．
[答案]4x ＋y －8＝0
[解析]设l ：x a ＋y b
＝1(a ，b >0)． 因为点P (1,4)在l 上，
所以1a ＋4b ＝1.由1＝1a ＋4b
≥24ab
⇒ab ≥16， 所以S △AOB ＝12
ab ≥8. 当1a ＝4b ＝12
， 即a ＝2，b ＝8时取等号．
故直线l 的方程为4x ＋y －8＝0.
三、解答题
10．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：
(1)过定点A (－3,4)；
(2)斜率为16
. [解析](1)设直线l 的方程是y ＝k (x ＋3)＋4，
它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3k ＋4，
由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±
6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83
. 故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.
(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，
则直线l 的方程是y ＝16
x ＋b ， 它在x 轴上的截距是－6b ，
由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.
∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.
能力强化训练
一、选择题
1．设直线l 的方程为x ＋y cos θ＋3＝0(θ∈R )，则直线l 的倾斜角α的X 围是( )
A ．[0，π) B.⎣⎡⎭⎫π4，π2
C.⎣⎡⎦⎤π4，3π4
D.⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4
[答案]C
[解析]当cos θ＝0时，方程变为x ＋3＝0，其倾斜角为π2
； 当cos θ≠0时，由直线方程可得斜率k ＝－1cos θ
. ∵cos θ∈[－1,1]且cos θ≠0，
∴k ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，
即tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，又α∈[0，π)，
∴α∈⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4.
综上知倾斜角的X 围是⎣⎡⎦⎤π4，3π4，故选C.
2．若直线2ax ＋by ＋4＝0(a 、b ∈R )始终平分圆x 2＋y 2＋2x ＋4y ＋1＝0的周长，则ab 的取值X 围是( )
A ．(－∞，1]
B ．(0,1]
C ．(0,1)
D ．(－∞，1)
[答案]A
[解析]由题意知直线过圆心(－1，－2)，
∴－2a －2b ＋4＝0，∴a ＋b ＝2，
∴ab ≤a 2＋b 22＝(a ＋b )2－2ab 2
，∴ab ≤1. 二、填空题
3．已知A (3,0)，B (0,4)，动点P (x ，y )在线段AB 上移动，则xy 的最大值等于________．
[答案]3
[解析]解法1：线段AB 的方程为x 3＋y 4
＝1(0≤x ≤3)， ∴y ＝4－43x ，代入y 得xy ＝－43
x 2＋4x ， 由二次函数性质知，当x ＝32
∈[0,3]时， xy 的最大值为3.
解法2：AB 所在直线方程为x 3＋y 4
＝1， ∴x 3·y 4≤14(x 3＋y 4)2＝14
， ∴xy ≤3，当且仅当x 3＝y 4
时取等号． 4．若A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)三点共线，则1a ＋1b
＝________. [答案]12
[解析]设直线方程为x a ＋y b
＝1，因为A (2,2)在直线上， 所以2a ＋2b ＝1，即1a ＋1b ＝12
. 三、解答题
5．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )．
(1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；
(2)若l 不经过第二象限，某某数a 的取值X 围．
[解析](1)∵l 在两坐标轴上的截距相等，
∴直线l 的斜率存在，a ≠－1.
令x ＝0，得y ＝a －2.
令y ＝0，得x ＝a －2a ＋1
. 由a －2＝a －2a ＋1
，解得a ＝2，或a ＝0. ∴所求直线l 的方程为3x ＋y ＝0，或x ＋y ＋2＝0.
(2)直线l 的方程可化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2.
∵l 不经过第二象限，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
－(a ＋1)≥0，a －2≤0. ∴a ≤－1.
∴a 的取值X 围为(－∞，－1]．
6．已知直线l: kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )．
(1)证明：直线l 过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值X 围；
(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程． [解析](1)直线l 的方程是：k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝01－y ＝0解之得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2
y ＝1. ∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)．
(2)由方程知，直线在x 轴上的截距为－1＋2k k
(k ≠0)，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有
⎩⎨⎧ －1＋2k k <－21＋2k ≥1或k ＝0，解之得k ≥0.
(3)由l 的方程得，A (－1＋2k k
，0)，B (0,1＋2k )． 依题意得⎩⎨⎧ －1＋2k k <01＋2k >0，，解得k >0.
∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·|1＋2k k
|·|1＋2k | ＝12·(1＋2k )2k ＝12(4k ＋1k
＋4) ≥12
(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k >0且4k ＝1k ，即k ＝12
， ∴S min ＝4，此时l ：x －2y ＋4＝0.
[点评] 本题证明直线系过定点问题所使用的“分离参数法”是证明曲线系过定点的一般方法．。