四川省自贡市2011届高三数学第三次诊断性考试(2011自贡“三诊”)文

自贡市普高2011届第三次诊断性考数学试卷（文史类)
本试卷分第一部分试题卷（1-6页）和第二部分答题卷（7-12页）两部分，共150分。

考试结束后,将答题卷和答题卡一并交回，并分别密封装订，试题卷由学生自己保留。

第I卷（选择题，共60分）
注意事项：
1. 答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答蚩标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号，不能答在试题卷上.
3. 第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答題卷各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效.
参考公式
如果事件1、S互斥，那么球的表面积公式
P (A+B) =P (A) +P (B)
如果事件J、5相互独立，那么其中R表示球的半径
P (A-B) =P (A) P (B) 球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是P.
那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概其中R表示球的半径
率
—、选择题：，
1. 设集合，.则=
(A)(B)
(C)(D)
2. 函数与在同一直角坐标系下的图象大致是
3. 抛物线的焦点到准线的距离
(A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 8
4. 如图,为正方体，下面结论的是
(A)BD//平面(B)丄BD
(C)丄平面（D)异面直线AD与角为600
5. 设矩形的长为a,宽为b ,其比满足，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形。

黄金矩形常应用于工艺品设计中。

下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：
甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639
乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620
根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是
(A) 甲批次的总体平均数与标准值更接近
(B) 乙批次的总体平均数与标准值更接近
(C) 两个批次总体平均数与标准值接近程度相同
(D) 两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定
6. 把函数按向量平移后得到函数，下面结论错误的是
(A)函数的最小正周期为（B)函数在区间上是增函数
(C)函数的图象关于直线X=O对称(D)函数是奇函数.
7. 设A （x, 1)、B (2, y)、C (4,5)为坐标平面上三点，O为坐标原点，满足条件：
的动点（x，y）的轨迹方程为
(A)(B)
(C) (D)
8. 等差数列中，=1,且的等比中项为，其前n项和=100,则n=
(A) 9 (B) 10 (C) 11 (D) 12
9. 用数字1，2, 3, 4, 5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有
(A) 48 个（B) 36 个（C) 24 个（D) 18 个
10. 某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，桉要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为
(A) 35.5万元(B) 24万元(C) 30万元(D) 31.2万元
11. 如图，是同一平面内的三条平行直线,l1与l2间的距离是1,边
长为4的正三角形的三顶点分别在上，则l2与l3间的距离是
(A)(B)(C)(D)
12设，平面向暈，，
则的最小值是
(A) 1 (B) 4 (C) 3 (D) 2
第II卷(非选择题共90分）
考生注意事项：
请用O.5毫米黑色签字笔在答题卷上书写作答，在试题卷上书写作答无效
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分,满分16分.
13.函数的图像在X = －1处的切线斜率为k,则的展开式的常数项是_______.
14:直线与圆，相交于A,B两点，则=______
15.如图，设A，B，C，D为球O上四点，若AB、AC、AD两两互相垂直,且AB
=AJC=，AD＝2,则OD与平面ABC所成的角为______.
16. 给出下列5个命题：. /
①是函数在区间上为单调减函数
的充要条件
②如图所示，“嫦娥探月卫星”沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P进入
以月球球心F为一个焦点的椭圆叙道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入
仍以F为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道III绕月飞行,若用2c l和2c2分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道I和II的长轴的长，则有a1-c1 = a2-c2;
③与它的反函数的图象若相交，则交点必在直线y= 上；
④若,则；
⑤函数（e是自然对数的底数）的最小值为2.
其中所有真命题的代号有____________
三、解答题：共6小题，满分74分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤
17. (本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系xoy中，以Ox轴为始边做两个锐角，
且的终边依次与单位圆O相交于M、#两点，已知M、N的横坐
标分别为、
(I )求的值；
(II)在中，A, B为锐角，，角A、B、C所对的边
分别为a、b、c,若，当
时，求a b、c的值.
18. (本小题满分12分）
某公司在产品上市前需对产萵做检验，公司将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品.
(I )若公司库房中的每件产品合格的概率为0.8,从中任意取出4件进行检验.求至少有1件是合格品的概率；
(II)若该公司发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收,分别求出该商家抽出不合格产品为1件和2件的概率，并求该商家拒收这批产品的概率.
19. (本小题满分12分）
妯图，在直三棱柱中，平面丄侧面
(I )求证：AB丄BC
(II)若直线AC与平面所成的角为，二面角的大小为，试判断与
的大小关系，并予以证明.
20 (本小题满分12分）
已知函数，
(I )要使在（0, 1)上单调递增，求a的取值范围；
(II) 当a〉0时，若函数的最小值和最大值分别为1、，试求函数的解析式；III 若时，图像上任意一点处的切线倾斜角为，当.时,求a 的取值范围
21 (本小题满分12分〉
设平面直角坐标中，O为原点，N为动点，.过点M作丄y轴于，过N作轴于点N1，，记点T的轨迹为曲线C.
(I)求曲线C的方程：
(H)已知直线L与双曲线C:的右相交于P、Q两点(其中点P在第—象限).线段OP 交轨迹C于A,若，求直线L的方程.
22 (本小题满分14分）
己知函数的反函数是，设数列的前n项和为S n，对任意的正整数n,都有成立，且b n=f-1(a n)
(I)求数列{a n}与数列{b n}的通项公式
(I I )设数列的前n 项是否存在使得成立？若存在，找出一个正整数k:若不存在，请说
明理由： (III)记
，设数列
的前n 项和为
，求证：对任意正整数n 都有
.
自贡市高2011级第三次诊断考试数学试题
参考答案及评分标准
一、选择题（理）BCCCD DABBD BB ；（文）CCCDA DABBD BB ；
二、填空题：13. －20； 14. （文） 32、（理）0；15.6
π
（或30°）；16.②④. 三、解答题：
17.【解】（I ）由条件得cos α=552，cos β=10
10
3 ………………2分
∵α为锐角，∴sinA=sin α=5
5
5
21cos 12
2=
-=-）（
α， ………… 3分
同理有sinB=sin β=
10
10
…………… 4分
∴253105102
cos()cos cos sin sin A B A B A B +=-==
∵ 0A B π<+< ∴ 4
A B π
+=
(6)
分
（注：如果运用单位圆方程x 2+y 2=1、勾股定理等别的途径得出正确解答不得扣分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知34C π=
，∴ 2
sin C = ………7分 由
sin sin sin a b c
A B C
==
==
，即,a c ==…9分，又∵ n ∥m ，即
1a b -=…
11分
∴
1
b -= ∴
1
b = ∴
a c = ………12分
18.【解】（Ⅰ）（文、理）记“公司任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A ．
有4()1()10.20.9984P A P A =-=-= ………………….（文）6分 ……（理）
4分
（文）（Ⅱ）记“商家任取2件产品检验，其中不合格产品数为i 件” (1,2)i =为事件
i A ，
11
173122051()190C C P A C ==，2322
203
()190
C P A C ==， …………..10分（各得2分）
∴商家拒收这批产品的概率1251327()()19019095
P P A P A =+=+=． 故商家拒收这批产品的概率为
27
95
． ...............................12分（理）（Ⅱ）ξ可能的取值为0,1,2 .. (5)
分
95
68)0(220217===C C P ξ，()11
317220511190C C P C ξ===，()232
203
2190C P C ξ===
………8分（一个记1分）
3.010
31903219051195680==⨯+⨯+⨯
=ξE …………………10分
记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B ，则商家拒收这批产品的概率
952795681)(1=-
=-=B P P ，所以商家拒收这批产品的概率为2795
……………12分.
19.【解及证】（Ⅰ）证明：如右图，过点A 在平面A 1ABB 1内作AD ⊥A 1B 于D ，…………1分
则由平面A 1BC ⊥侧面A 1ABB 1于A 1B ，得AD ⊥平面A 1BC , …………2分 又BC ⊂平面A 1BC ，∴AD ⊥BC . …………3分
∵三棱柱ABC —A 1B 1C 1是直三棱柱，则AA 1⊥底面ABC ，∴AA 1⊥BC. …4分
又AA 1∩AD =A ,从而BC ⊥侧面A 1ABB 1， …………5分 又AB ⊂侧面A 1ABB 1，故AB ⊥BC ………………………6分
（Ⅱ）解法1：连接CD ，则由（Ⅰ）知ACD ∠是直线AC 与平面A 1BC 所成的角，…………7分
1ABA ∠是二面角A 1—BC —A 的平面角，即1,,ACD ABA ∠=θ∠=ϕ (8)
分
于是在Rt △ADC 中，sin ,AD AC θ=………9分 在Rt △ADB 中，sin ,AD
AB
ϕ= ……….10分
由AB ＜AC ，得sin sin θϕ＜，又02
π
θϕ＜，＜，所以θϕ＜， …………………….12分
解法2：由（Ⅰ）知，以点B 为坐标原点，以BC 、BA 、BB 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ………………7分 设AA 1=a ,AC =b ,AB =c ,则 B (0,0,0), A (0,c ,0),
22
1(,0,0),(0,,),C b c A c a -于是
)0,0,(22c b BC -=，),,0(1a c BA =，)0,,(22c c b AC --= ),0,0(1a AA =……8分
设平面A 1BC 的一个法向量为n =(x ,y ,z )，则由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
BC n 0BA n 1
得0,0,cy az +=⎧⎪= ……9分
可取n =(0,a -,c )，于是n =⋅AC a c ＞0，AC 与n 的夹角β为锐角，则β与θ互为余角.
∴sin θ=cos β
=
=
2
2
c
a b ac +， cos φ
2
2
c
a c BA BA +=
，
∴sin ϕ=
于是由c ＜b ，
得
即sin sin ,θϕ＜又
0,2
π
θϕ＜，＜
∴,θϕ＜…..12分.
(文)20.【解】（Ⅰ）f ’(x )=-3x 2+2ax ，……………1分
要使f (x )在(0，1)上单调递增，则x ∈(0，1)时，f ’(x )≥0恒成立
∴-3x 2+2ax ≥0，即当x ∈(0，1)时，a ≥x 2
3
恒成立 ………….2分 ∴a ≥
2
3
，即a 的取值范围是 ………………3分 （Ⅱ）由f ’(x )= -3x 2+2ax ，令f ’(x )=0，得x =0，或x =3
2
a
∵
∴y 极小=f (0)=b =1，y 极大=f (
3a )= -27a 3+a ·9a 2+1=27
……………….5分
∴b =1，a =1 故f (x )=-x 3+x 2+1 ……………………6分
（Ⅲ）当x ∈时，tan θ=f ’(x )= -3x 2+2ax ……………7分 由θ∈，得0≤f ’(x )≤1，即x ∈时，0≤-3x 2+2ax ≤1恒成立……….9分 当0=x 时，a ∈R 当x ∈(0，1]时，由-3x 2+2ax ≥0恒成立，由(Ⅰ)知a ≥2
3
………10分
由-3x 2+2ax ≤1恒成立，a ≤21(3x +x 1)，∴a ≤3(等号在x =3
3时取得) 综上，
2
3
≤a ≤3 ……….12分 （理）20（同文21题）【解】（Ⅰ）设T （x ，y ），点N （x 1，y 1），则N 1（x 1，0）．
即5
1=
OM ON
＝（
5
1x 1，
5
1y 1），∴M 1（0，
5
1y 1），M M 1＝（
5
1x 1，0），
N
N 1＝（0，y 1）． …………………3分
于是OT ＝M M 1＋N N 1＝（
5
1x 1，y 1），………4分
即（x ，y ）＝（
5
1x 1，y 1）．⎪⎩
⎪⎨⎧==y y x
x 115代入｜ON ｜＝6，得5x 2＋y 2＝36． 所求曲线C 的轨迹方程为5x 2＋y 2＝36．…………………………6分 （Ⅱ）设(,),A m n 由OA OP ⋅=3及P 在第一象限得(3,3),0,0.P m n m n >> ∵,,1C P C A ∈∈∴2222536,54,m n m n +=-=解得2,4,m n == 即(2,4),(6,12).A P ………8分，设(,),Q x y 则22536.x y -= ……. ① 由26tan ,S PAQ =-∠得，
PAQ PAQ AQ AP ∠-=∠⋅tan 26sin ||||2
1
， 52-=⋅∴AQ AP ，即(4,8)(2,4)52,230.x y x y ⋅--=-++= ……. ② ……………10分
联立①，②，解得51,193,19x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
或3,3.x y =⎧⎨=-⎩
因点Q 在双曲线C 1的右支，故点Q 的坐标为(3,3)- (11)
分
由(6,12),P (3,3)Q -得直线l 的方程为
33
,12363
y x +-=+-即5180.x y --= ………12分 (理)21.【解】（Ⅰ）f `(x)＝－e 3-x , ………………1分
由f `(3)=0，得 －e 3－
3＝0，即得b ＝－3－2a ， …..2分 则 f `(x)＝e 3-x ＝－e 3-x ＝－(x －3)(x ＋a+1)e 3-x .
令f `(x)＝0，得x 1＝3或x 2＝－a －1，由于x ＝3是极值点，∴－a －1≠3，即a ≠－4, …..4分 当a <－4时，x 2>3＝x 1，则在区间（－∞，3）上，f `(x)<0， f (x)为减函数；在区间（3，―a ―1）上，f `(x)>0，f (x)为增函数；
在区间（―a ―1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数。

…………5分
当a >－4时，x 2<3＝x 1，则在区间（－∞，―a ―1）上，f `(x)<0， f (x)为减函数；
在区间（―a ―1，3）上，f `(x)>0，f (x)为增函数；在区间（3，＋∞）上，f`(x)<0，f (x)为减函数…6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a >0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，由于f （x ）连续，那么f (x)在区间上的值域是，而f (0)＝－（2a ＋3）e 3<0，f (4)＝（2a ＋
13）e -1>0，f (3)＝a ＋6，
那么f (x)在区间上的值域是. …..8分 又2
25()()4
x
g x a e =+
在区间上是增函数，且它在区间上的值域是，………….10分
由于（a 2＋425）－（a ＋6）＝a 2－a ＋41＝(21-a )2≥0，所以只须仅须（a 2＋4
25）－（a ＋6）<1且a >0，解得0<a <23.故a 的取值范围是（0，2
3
） ……………12分.
(文)22.【解析】（Ⅰ）根据题意得，）（）
（1x x
14
x x f 1
-≠-+=， ……1分 于是由a n ＝1
S f 19
S f 6n 1-n -1+-）（）（得，a n =5S n +1， ……2分
当1=n 时，1111
51,4
=+∴=-
a S a 又 ∵ 15,1511+=+=++n n n n S a S a 1111
5,4
即+++∴-==-n n n n n a a a a a ∴ 数列{}n a 是首项为114=-
a ，公比为14=-q 的等比数列， ∴ 1()4
=-n
n a ， *1
4()4()11()4
+-=
∈--n
n n
b n N ………… 4分 （Ⅱ）不存在正整数k ，使得4n R k ≥成立. ……………5分
证明：由（I ）知14()5441(4)11()4
+-==+----n
n n
n b 2122125
5520151640
8888.(4)1(4)1161164(161)(164)
--⨯-+=++=+-=-<-----+-+k k k k k k k k k
b b ∴当n 为偶数时，设2()n m m N *
=∈
∴++++=)()(4321b b b b R n …n m b b m m 48)(212+<++-当
n
为奇数时，设
21()n m m N *=-∈
∴++++=)()(4321b b b b R n …n m m b b b m m m 4484)1(8)(122232=-=+-<+++---
∵
∴对于一切的正整数n ，都有4n R k <∴不存在正整数k ，使得4n R k ≥成立。

……8分 （Ⅲ）同理22（Ⅱ）
（理）22【解】（Ⅰ）根据题意得，）（）（1x x 14
x x f 1
-≠-+=，于是由a n=1
S f 19S f 6n 1
-n -1+-）（）（得a n =5S n +1，…………1分， 当1n =时，1111
51,4
a a a =+∴=-. 又a n+1=5s n+1+111115,4
n n n n n a a a a a +++∴-==-
即 ∴数列{}n a 成等比数列，其首项1
1
4
a
=-，公比是14q =- ………2分
1()4n
n a ∴=-，14()411()
4
n
n n
b +-∴=-- ………..3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知54(4)1n n b =+--2212215525164141(161)(164)
n
n n n n n n n
c b b --⨯∴=-=+=-+-+ = 222516251625
(16)3164)(16)16n n n n n n
⨯⨯<=
+⨯- ...............（文）9分、（理）4分 又1211343,,33b b c ==∴=，当13
12
n T =<时，成立， ………….（文）10分、（理）5分，
当n ≥2时，T n ＜∑=+n 2k k 162534 16111611161
253
4
1n 2
-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯
+=-）（＜486916
1116125342=-⨯+＜23 ………………………………………（文）14分、（理）7
分
（Ⅲ）由（Ⅰ）知5
4(4)1
n n
b =+
--，一方面，已知n R n λ≤恒成立，取n 为大于1的奇数时，
设
*21()
n k k N =+∈则
R n =b 1+b 2+…+b 2k+1=4n+5⎪⎭
⎫
⎝⎛+-++-+++-⨯+141 (1411411411)
k 2321
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+--+++--++-⨯+=+）
（）（141141...1411411415n 41k 2k 2321 >
41
n -
41,41n n R n n λλ∴≥>-->-即（）对一切大于1的奇数n 恒成立 4,41n λλ∴≥->-否则，（）只对满足1
4n λ
<
-的正奇数n 成立，矛盾 .…..........9分 另一方面，当4λ=时，对一切的正整数n 都有4n R n ≤，事实上，对任意的正整数k ，有
2122125
5
8(4)1(4)1
n n k k b b --+=+
+
----520
8(16)1(16)4
k k =+
-
-+15164088(161)(164)k k k
⨯-=-<-+
∴当n 为偶数时，设*2()n m m N =∈，则
）（）（）（m 21m 24321n b b ...b b b b R ++++++=-<84m n = …………11分
当n 为奇数时，设*21()n m m N =-∈
则++++=)()(4321b b b b R n …n m m b b b m m m 4484)1(8)(122232=-=+-<+++---
∴对一切的正整数n ，都有4n R n ≤，综上所述，正实数λ的最小值为4 (14)
分。