2021合肥市高三理科数学一模试卷及答案

15.－16
16.27
三、解答题：
17.(本小题满分 12 分)
解：(1)
P
1
7 8
6 7
5 6
3 8
；
…………………………5 分
(2)设每个坯件的加工成本为 元，则
P
70
1 8
，P
130
7 8
1 7
1 8
， P
160
7 8
6 7
3 4
，
∴ 的分布列为
70
130
160
P
∴ E
70
1 8
130
，
x1x2 m2.
当k 1 时， AB 4 2m 2 .
∴ AB 1 k 2 x1 x2 2 4mp 2 p2 4 2m 2 ，化简得( p 2m 2)( p 2) 0 .
∵ p 0, m 0 ， ∴ p 2 . ∴抛物线 E 的方程为 y2 4x .
…………………………6 分
z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则 P (0，0，1)，
C
(0，1，0)，
B
(1，2，0)，
A
(2，1，0)，G
1 2
，1，1 2
.
∴
AG
3 2
，0，1 2
，CP
0，
1，1
，CA
2，0，0
.
设平面 PAC 的法向量n x，y，z .
由
nn
CP CA
0 0
得
y
2
x
z 0.
高三数学试题（理科）答案 第 2 页（共 4 页）
21.(本小题满分 12 分)
解：(1)
f
x
的定义域为0，
，
f
x
xa x2
.
①当a 0 时， f x 0 恒成立， f x 在0， 上单调递增， f x 至多有一个零点，不符合题意；
②当a 0 时， f a 0 ，且当 x 0，a 时， f x 0 ；当 x a， 时， f x 0 .
1 8
160
3 4
145
，
∴每个坯件加工成本的期望为 145 元.
1
1
3
8
8
4
…………………………12 分
18.(本小题满分 12 分)
解：由已知条件和三角函数的定义得, A ( cos，sin )， P ( 3 cos t， 3 sin t )，
∴ f t AP 2 = cos
2
3 cos t sin
2
3 sin t =4 2
3 cos t .
(1)若
=
3
，则
f
t
=4
2
3
cos
t
3
.
令2k
t
3
2k
k
Z
，得 1 3
+2k
t
4 3
2k
k
Z
.
又∵t
0，2
，∴函数
f
t
的单调递增区间是
13 ，
4 3
.
…………………………6 分
(2)由
f
1 3
2
，及 3
5 6
得，cos
3
解:(1)设 A ( x1，y1 )， B ( x2，y2 ).
由
y y
2 k
2 px
x
m
消去 y
得 k 2Байду номын сангаасx2
2(k 2m
p)x
k 2 m2
0
.
∵l 与抛物线 E 交于两点，∴k 0 .
又∵m 0，p 0 ，∴ 8k 2mp 4 p2 0 恒成立，
∴
x1
x2
2m
2 k
p
2
合肥市 2021 年高三第一次教学质量检测 数学(理)试题参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
答案 C
D
B
D
A
A
C
B
D
A
C
D
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.－2
14.4
(2)假设存在常数k 满足题意.
∵抛物线 E
的方程为
y2
2 px
，其焦点为 F
(
p ，0 2
)，准线为 x
p 2
，
∴N
(
p 2
，
k
m
p 2
），从而
FN
2
p2
k2
m
p 2
2
.
由抛物线的定义得，
FA
x1
p 2
，
FB
x2
p 2
，
∴
FA
FB
x1
p 2
x2
p 2
x1 x2
p 2
( x1
x2
……………………………6 分
高三数学试题（理科）答案 第 1 页（共 4 页）
(2)∵平面 PEF 平面 ABCFE ，平面 PEF 平面 ABCFE EF ， PF EF ，
z
∴ PF 平面 ABCFE ，∴ FE，FC，FP 两两垂直.
P
以点 F 为原点， FE，FC，FP 分别为 x 轴， y 轴，
)
p2 4
m
p 2 2
p2 k2
.
由
FA
FB
FN
2
得
m
p 2 2
p2 k2
p2
k
2
m
p 2
2
，即
k2
1
m
p 2 2
p2
k
2
0.
∵ m
p 2 2
0
，
p2 k2
0 ，∴k 2
1 0 ，解得k
1.
∴存在k 1，使得 FA FB FN 2 对于任意的正数m 都成立. ……………………12 分
0，
令y
1 ，则n
0，1，1
.
A
Gx E
M
F
B
yC
D
设直线 AG 与平面 PAC 所成角为 ，则
sin cos AG，n
AG n AG n
1
2
5 2
2
5 10
.
∴直线 AG 与平面 PAC 所成角的正弦值为 5 ．……………………………12 分 10
20.(本小题满分 12 分)
根据零点存在性定理得， f x 在a， 内有且仅有一个零点.
又∵ f x 在0，a 上单调递减，且 f a 0 ，
考虑 f
a2
2
ln
a
1 a
1
的正负,令
g
x
2
ln
x
1 x
1，x
0，e2
，则
g
x
2x 1 x2
0
.
∴ f x 在0，a 上单调递减，在a， 上单调递增，从而 f x 的最小值为 f a ln a 2 .
(i)若 f a 0 ，即a e2 ，此时 f x 至多有一个零点，不符合题意；
(ii)若 f a 0 ，即0 a e2 .
∵ f x 在a， 上单调递增， f a 0 ， f 1 a 1 0 ，
3 3
，
2
3
0
，∴sin
3
6， 3
∴
f
5 6
=4
2
3
cos
5 6
4
2
3
sin
3
4
2
2 ．………………………12 分
19.(本小题满分 12 分) 解：(1)连接 BE 交 AC 于点M ，连接GM ，CE. 由已知可得，四边形 ABCE 是正方形，∴M 是线段 BE 的中点. ∵G 为线段 PB 的中点，∴ PE // GM . ∵GM 平面GAC ， PE 平面GAC ，∴ PE // 平面GAC . ∵ E，F 分别是线段 AD，CD 的中点，∴ EF // AC . ∵ AC 平面GAC ， EF 平面GAC ，∴ EF // 平面GAC . 又∵ PE EF E ， PE，EF 平面PEF ，∴平面GAC // 平面 PEF .