高等数学第九章多元函数极值典型问题
大学数学多元函数的极值问题
大学数学多元函数的极值问题在大学数学课程中，多元函数是一个重要且常见的概念。
多元函数的极值问题则是其中的一个关键内容，它在数学以及其他领域都有广泛的应用。
本文将就大学数学中多元函数的极值问题展开论述，讨论其相关概念、求解方法以及实际应用。
一、多元函数的极值定义1. 极值的概念在单变量函数中，我们学习过函数的极值问题，极值点通常是函数的最高点和最低点。
而在多元函数中，极值点也具有相似的概念。
对于一个定义在多元空间中的函数f(x1, x2, ..., xn)，如果在某个点(x1',x2', ..., xn')附近，f(x1, x2, ..., xn)的值始终大于等于邻域内的其他点，那么(x1', x2', ..., xn')是该函数的一个极大值点；同理，如果f(x1, x2, ..., xn)的值始终小于等于邻域内的其他点，那么(x1', x2', ..., xn')是该函数的一个极小值点。
2. 极值的分类在多元函数的极值问题中，极值可以分为局部极值和全局极值两种。
局部极值是指某一点附近的最高点或最低点，而全局极值则是整个定义域中的最高点或最低点。
判断一个极值点是局部还是全局需要通过对整个定义域进行全面的分析。
二、多元函数的极值求解方法1. 极值的必要条件对于一个多元函数f(x1, x2, ..., xn)，如果在某个点(x1', x2', ..., xn')处取得了极值，那么该点必须满足函数的一阶和二阶偏导数条件。
一阶偏导数的条件是对每个变量求偏导数后都为0，即∂f/∂x1 = ∂f/∂x2 = ... = ∂f/∂xn = 0；二阶偏导数的条件是对每个变量求二阶偏导数后的海森矩阵为负定或者正定。
2. 极值的充分条件若一个多元函数满足必要条件，并且在某个点(x1', x2', ..., xn')的某个邻域内，函数的梯度向量∇f(x1', x2', ..., xn')存在或者为0，那么该点是一个极值点。
一些典型的多元函数极值问题
一些典型的多元函数极值问题多元函数极值问题是数学分析中非常重要的研究对象，它们存在于许多实际问题中。
本文将介绍一些典型的多元函数极值问题，包括拉格朗日乘数法、约束条件下的优化、非线性规划等。
一、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是一种常用的求解约束多元函数极值的方法。
在该方法中，将约束条件加入到目标函数中，并利用等式约束条件和拉格朗日乘数，将多元函数极值转化为无约束多元函数极值问题。
下面以一个简单的例子来说明拉格朗日乘数法。
假设有一个函数 $f(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2$，同时满足约束条件$x+2y+3z=6$，其中 $x,y,z$ 均为实数。
现在要求 $f(x,y,z)$ 在约束条件下的最小值。
根据拉格朗日乘数法，我们将函数 $f(x,y,z)$ 加上一个等式约束条件 $g(x,y,z)=x+2y+3z-6=0$，并构造拉格朗日函数$L(x,y,z,\lambda)=f(x,y,z)+\lambda g(x,y,z)$，其中 $\lambda$ 是拉格朗日乘数。
于是，我们可以写出拉格朗日函数：$$L(x,y,z,\lambda)=x^2+2y^2+3z^2+\lambda(x+2y+3z-6)$$接下来，我们要求 $L(x,y,z,\lambda)$ 对 $x,y,z,\lambda$ 的偏导数，令其都等于零，求得极值点。
即：$$\begin{cases} \dfrac{\partial L}{\partial x}=2x+\lambda=0\\\dfrac{\partial L}{\partial y}=4y+2\lambda=0 \\\dfrac{\partialL}{\partial z}=6z+3\lambda=0 \\ \dfrac{\partial L}{\partial\lambda}=x+2y+3z-6=0 \end{cases}$$解方程组得到：$x=-\dfrac{\lambda}{2},y=-\dfrac{\lambda}{2},z=-\dfrac{\lambda}{2},\lambda=2$。
多元函数极值问题的答案详解
x x0 y y0
方法 2：对
f x, y y
x x0 y y0
的理解.
①先求
f x, y ，再将点 x0 , y0 代入，这个方法不能帮助解题； y
②求
f x, y 是将 x 看做常数，所以先将 x x0 代入 f x, y 得 f x0 , y ，则 y
0
充分条件 2：设 则点 多 元 函 数 极值
0
x , f x 是曲线 y f x 的拐点.
驻点 一 元 函 数 极值 多 元 函 数 极值
一元函数可能极值点 一元函数可能拐点 多元函数可能极值点
一元函数驻点或不可导点 一元函数二阶导为 0 点或二阶导不存在点 多元函数驻点或不可偏导点
2
1 无条件极值 多元函数的极值 2 条件最值 3 闭区域最值
2-1
1 定义 2 必要条件 多元函数极值 3 充分条件 4 驻点
2-1-1 定义 一元函 数极值
一元函 数拐点
多元函 数极值
必要条件 一元函数 极值 一元函数 拐点 多元函数 极值 设点
x , f x 为曲线 y f x 的拐点，且 f x 存在，则 f x =0
x x 2 重点 （2015 数二） 已知函数 f x, y 满足 f xy x, y =2 y 1 e , f x x, 0 = x 1 e , f 0, y y 2 y ，
求 f x, y 的极值.
……
……
重点（2008 数二）求函数 u 小值.
注：方程①②关于 x,y 具有轮换对称 性，作减法后不止 x y 能求解.
高等数学中的多元函数极值
高等数学中的多元函数极值引言：在高等数学中，多元函数极值是一个重要的概念。
在实际问题中，我们经常需要求解多元函数的最大值或最小值，以便优化问题的解或者找到问题的最优解。
本教案将介绍多元函数的极值问题，包括极值的定义、求解极值的方法以及一些实际问题的应用。
一、极值的定义多元函数的极值是指函数在一定范围内取得的最大值或最小值。
与一元函数的极值类似，多元函数的极值点也是函数的驻点，即导数为零的点或者导数不存在的点。
然而，多元函数的极值问题相对复杂，因为多元函数的自变量有多个，需要考虑各个自变量的变化对函数值的影响。
二、求解极值的方法1. 雅可比矩阵法雅可比矩阵法是求解多元函数极值的一种常用方法。
通过计算多元函数的雅可比矩阵，可以得到极值点的一些性质。
具体步骤包括计算雅可比矩阵、求解雅可比矩阵的特征值和特征向量，以及判断特征值的正负来确定极值点的性质。
2. 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是求解多元函数在约束条件下的极值的一种方法。
通过引入拉格朗日乘子，将约束条件转化为等式，然后利用极值点的一阶条件和约束条件求解未知数，最终得到极值点的坐标。
3. 边界条件法边界条件法是一种适用于有界区域的多元函数极值问题的求解方法。
通过将多元函数在边界上的取值与内部取值进行比较，可以确定函数的最大值或最小值。
这种方法在实际问题中应用广泛，特别是在优化领域。
三、实际问题的应用多元函数极值在实际问题中有广泛的应用。
例如，在经济学中，我们可以利用多元函数极值来求解最大化利润或最小化成本的问题；在物理学中，可以利用多元函数极值来求解最小作用量原理等问题；在工程学中，可以利用多元函数极值来优化设计参数等。
这些实际问题的求解都离不开多元函数极值的理论和方法。
结论：多元函数极值是高等数学中的重要概念，对于解决实际问题具有重要意义。
通过本教案的学习，我们了解了多元函数极值的定义、求解方法以及实际问题的应用。
希望同学们能够掌握多元函数极值的基本理论和方法，能够灵活运用于解决实际问题。
多元函数的极值点与最值问题
多元函数的极值点与最值问题一、引言在数学中，多元函数的极值点与最值问题是一个重要且常见的研究课题。
通过寻找函数取得极值的点以及确定函数的最值，可以帮助我们更好地理解和分析多元函数的特性。
本文将介绍多元函数的极值点与最值问题的基本概念和方法。
二、多元函数的极值点1. 极值点的定义对于一个多元函数而言，极值点是指在定义域内存在的局部极大值或局部极小值点。
具体地说，设函数f(x₁, x₂,..., xₙ)在点(a₁, a₂,..., aₙ)处有定义，如果存在一个邻域N(a₁, a₂,..., aₙ)，对于任意点(x₁, x₂,..., xₙ)∈N(a₁, a₂,..., aₙ)，有f(x₁, x₂,..., xₙ)≤f(a₁, a₂,..., aₙ)或f(x₁, x₂,..., xₙ)≥f(a₁, a₂,..., aₙ)，则称点(a₁, a₂,..., aₙ)是函数f(x₁, x₂,..., xₙ)的一个极值点。
2. 寻找极值点的方法（1）求偏导数为了确定函数的极值点，我们可以先求出函数的偏导数。
对于一个具有n个自变量的函数，可以分别对每个自变量求偏导数，将得到的偏导数方程组称为梯度向量。
（2）解偏导数方程组接下来，我们需要解偏导数方程组，即找到梯度向量的零点。
这些零点就是函数可能的极值点。
3. 极值点的分类根据二阶偏导数的符号，可以将极值点分为以下几种情况：（1）二阶偏导数恒正：该点为局部极小值点；（2）二阶偏导数恒负：该点为局部极大值点；（3）二阶偏导数存在正负交替：该点即可能为局部极小值点，也可能为局部极大值点；（4）二阶偏导数不存在：需要通过额外的分析判断。
三、多元函数的最值问题1. 最值的定义对于一个多元函数而言，最大值和最小值是函数在定义域内取得的极值中的特殊点。
具体地说，设函数f(x₁, x₂,..., xₙ)在定义域D内有定义，如果对于任意(x₁, x₂,..., xₙ)∈D，有f(x₁, x₂,..., xₙ)≤f(a₁,a₂,..., aₙ)，则称函数f(x₁, x₂,..., xₙ)在点(a₁, a₂,..., aₙ)处取得最大值。
高等数学 第九章 第八节 多元函数的极值及其求法
25
例8 求函数 f ( x , y , z) ln x ln y 3ln z 在球面
x2 y2 z2 5r2 ( x 0 , y 0 , z 0) 上的最 大值。
第九章 第八节
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内容小结
多元函数的极值 (取得极值的必要条件、充分条件) 多元函数的最值 拉格朗日乘数法
第九章 第八节
解得唯一驻点 (6 , 4 , 2)，
故最大值为 umax 63 42 2 6912
第九章 第八节
21
例7
在第一卦限内作椭球面
x2 a2
y2 b2
z c
2 2
1 的切
平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体
积最小，求切点坐标。
解 设 P( x0 , y0 , z0 ) 为椭球面上一点,
6
6 x0 y0z0
在条件
x02 a2
y02 b2
z02 c2
1 下求
V
的最小值点
令 u ln x0 ln y0 ln z0
G( x0 , y0 , z0 )
ln
x0
ln
y0
ln z0
(
x02 a2
y02 b2
z02 c2
1)
由
G
x0
0 , Gy0
0 , Gz0
0
x02 a2
y02 b2
A
zxx
|P
1 2
z
,
B
zxy
|P
0
,
C
zyy
|P
2
1
z
AC
B2
1 (2 z)2
0 (z
2)
所以函数在
P
多元函数极值典型例题
多元函数极值典型例题例1 求由方程 222224100x y z x y z ++−+−−=确定的函数 (,)z f x y =的极值．解 将方程两边分别对 ,x y 求偏导，得2224022240x x y y x zz z y zz z ′′+−−=⎧⎨′′+−−=⎩. 令0,0x y z z ′′==, 得 1,1x y ==−. 即驻点为(1,1)P −.又223(2)(1)1(2)2xxPPz y A z z z−++′′===−−，0xyPB z ′′==223(2)(1)1(2)2yyPPz y C z z z−++′′===−− 因2210, 2(2)AC B z z −=>≠−，故(,)P z f x y =取极值. 将1,1x y ==−代入 222224100x y z x y z ++−+−−=得122,6z z =−=.2z =−时， 11024A z ==>−，故(1,1)2z f =−=−为极小值； 6z =时，11024A z ==−<−，故 (1,1)6z f =−=为极大值. 例2 求函数221216z x y x y =+−+在有界闭域2225x y +≤的最大值和最小值.解 函数221216z x y x y =+−+在有界闭域 2225x y +≤上连续，故必在该区域上取得最大值和最小值．先求函数在区域 2225x y +<内的驻点.令2120, 2160z z x y x y∂∂=−==+=∂∂，6, 8x y ==−. 但 (6,8)不在区域 2225x y +≤内，故函数的最大值和最小值必在边界2225x y +=上取得.再求 221216z x y x y =+−+在边界 2225x y +=上的条件极值.设 2222(,,)1216(25)F x y x y x y x y λλ=+−+−+−.令 2221220(1)21620(2)250(3)x y F x x F y y F x y λλλ′=−−=⎧⎪′=+−=⎨⎪′=+−=⎩ 由(1)、(2)得 68,11x y λλ−==−−，代入(3)式，有 2268()()2511λλ−+=−−. 得121,3λλ=−=.可得驻点12(3,4),(3,4)P P −− 而(3,4)75,(3,4)125z z −=−−=. 故z 的最大值为125，z 的最小值为－75.例3 求内接于半径a 的球且有最大体积的长方体.解 设球面方程为2222x y z a ++=,(,,)x y z 是它的内接长方体在第一卦限内的一个顶点. 则此长方体的长、宽、高分别为2,2,2x y z . 体积为2228V x y z xyz =⋅⋅=本题是求V 在约束条件2222x y z a ++=下的极值. 作拉格朗日函数2222(,,)8()F x y z xyz x y z a λ=+++−令2222820(1)820(2)820(3)0(4)xyz F yz x F xz y F xy z x y z a λλλ⎧′=+=⎪⎪′=+=⎨′⎪=+=⎪++−=⎩由(1)、(2)、(3)得 4x y z λ===−，代入(4)得3x y z a ===.即有唯一驻点,,333a a a ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠，而由实际问题这种长方体的体积存在最大值，所以当长方体的长、宽、高都为3a 时，其体积最大. 例4 在椭圆2244x y +=上求一点，使其到直线2360x y +−=的距离最短.解 设(,)P x y 为椭圆上的任意一点，即有2244x y +=. P 到直线2360x y +−=的距离为d ，则d ==作拉格朗日函数2221(,,)(236)(44)13F x y x y x y λλ=+−++−. 令224(236)20136(236)8013440x y F x y x F x y y F x y λλλ⎧′=+−+=⎪⎪⎪′=+−+=⎨⎪⎪′=+−=⎪⎩解得12128855,3355x x y y ⎧⎧==−⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==−⎪⎪⎩⎩ 故128383(,),(,5555P P −−为两个驻点.由于1213P d ==，又由实际问题可知最短距离存在，因此点183(,55P 即为所求点. 13d =即为最短距离.例5 求函数 (,,)ln ln 3ln f x y z x y z =++在球面22225x y z r ++=(0,0,0)x y z >>>的最大值，并证明对任何正数,,a b c 成立不等式 53275a b c abc ++⎛⎞≤⎜⎟⎝⎠解 作拉格朗日函数2222(,,)ln ln 3ln (5)F x y z x y z x y z r λ=++−++−令 22221201203205x y z F x xF y y F z z F x y z r λλλλ⎧′=−=⎪⎪⎪′=−=⎪⎨⎪′=−=⎪⎪⎪′=++−⎩，即2222222120(1)120(2)320(3)50(4)x y z x y z r λλλ⎧−=⎪−=⎪⎨−=⎪⎪++−=⎩(1)+(2)+(3)，得 2222()5x y z λ++=，得212r λ=. 将求得的λ的值分别代入(1)、(2)、(3)式，得驻点(,)r r .因在第一卦限内球面的三条边界上，函数(,,)f x y z 均趋向于－∞，故最大值必在曲面内部取得，而驻点又唯一，则在驻点(,)r r 处，(,,)f x y z 取得最大值，其值为5(,)ln ln 3ln )F r r r r =++=，则对任何0,0,0x y z >>>，有5ln ln 3ln )x y z ++≤，又22221()5r x y z =++，代入得5/222235x y z xyz ⎞++≤⎟⎠，得5222226275x y z x y z ⎛⎞++≤⎜⎟⎝⎠令222,,x a y b z c ===，得53275a b c abc ++⎛⎞≤⎜⎟⎝⎠。
高等数学第九章多元函数微分学试题及答案
第九章 多元函数微分学§9.1 多元函数的概念、极限与连续性一、多元函数的概念1．二元函数的定义及其几何意义设D 是平面上的一个点集，如果对每个点()D y x P ∈,，按照某一对应规则f ，变量z 都有一个值与之对应，则称z 是变量x ，y 的二元函数，记以()y x f z ,=，D 称为定义域。
二元函数()y x f z ,=的图形为空间一卦曲面，它在xy 平面上的投影区域就是定义域D 。
例如 221y x z --=，1:22≤+y x D ， 此二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域D 就是 xy 平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。
2．三元函数与n 元函数()z y x f u ,,= ()Ω∈z y x ,,空间一个点集称为三元函数()n x x x f u ,,21 = 称为n 元函数它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。
条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。
二、二元函数的极限设函数),(y x f 在区域D 内有定义，),(000y x P 是D 的聚点，如果存在常数A ，对于任意给定的0>ε，总存在0>δ，当),(y x P 满足δ<-+-=<20200)()(0y y x x PP 时，恒有ε<-A y x f ),(成立。
则记以()A y x f y y x x =→→,lim 0或()()()A y x f y x y x =→,lim00,,。
称当()y x ,趋于()00,y x 时，()y x f ,的极限存在，极限值A ，否则称为极限不存在。
值得注意：这里()y x ,趋于()00,y x 是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于()00,y x ，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂；但考试大纲只要求知道基本概念和简单的讨论极限存在性和计算极限值，不像一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。
高等数学中的多元函数极值问题研究
高等数学中的多元函数极值问题研究引言：在高等数学中，多元函数极值问题是一个重要的研究方向。
多元函数极值问题涉及到多元函数的最大值和最小值的求解，对于优化问题和实际应用具有重要意义。
本教案将围绕多元函数极值问题展开讨论，重点介绍多元函数的极值判定条件、极值存在性以及求解方法等内容。
一、多元函数的极值判定条件多元函数的极值判定条件是研究多元函数极值问题的基础。
我们首先回顾一元函数的极值判定条件，然后推广到多元函数的情况。
1. 一元函数的极值判定条件对于一元函数$f(x)$，其极值判定条件有以下几个要点：- 极大值点处的导数为零，即$f'(x_0)=0$；- 极小值点处的导数为零，即$f'(x_0)=0$；- 极值点处的导数不存在，即$f'(x_0)$不存在。
2. 多元函数的极值判定条件对于多元函数$F(x_1,x_2,\ldots,x_n)$，其极值判定条件可以推广为以下几个要点：- 极大值点处的偏导数为零，即$\frac{\partial F}{\partialx_i}(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0$；- 极小值点处的偏导数为零，即$\frac{\partial F}{\partialx_i}(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0$；- 极值点处的偏导数不存在，即$\frac{\partial F}{\partialx_i}(x_1,x_2,\ldots,x_n)$不存在。
二、多元函数极值存在性在研究多元函数极值问题时，我们需要关注极值的存在性。
对于一元函数，极值存在性可以通过导数的符号变化进行判断。
而对于多元函数，情况稍微复杂一些。
1. 多元函数的局部极值存在性对于多元函数$F(x_1,x_2,\ldots,x_n)$，我们可以通过以下定理来判断其局部极值的存在性：- 若在点$(x_0,y_0)$处，函数的所有偏导数存在且为零，则该点可能是函数的极值点；- 若在点$(x_0,y_0)$处，函数的偏导数存在但不为零，则该点不是函数的极值点。
多元函数的极值及求法课件
详细描述
在交通网络、通信网络或其他类型的网络中，最短路 径问题是一个重要的优化问题。通过使用多元函数的 极值理论，可以找到网络中两点之间的最短路径，或 者从一个点出发到另一个点的最短路径。这有助于节 省时间和资源，提高效率。
生产成本最小化问题
要点一
总结词
生产成本最小化问题是企业经常面临的问题，通过最小化 生产成本来提高利润。
在工程领域的应用
结构优化设计
在工程设计中，如何优化设计方案以使 得结构性能最优是一个重要问题。多元 函数的极值理论可以用来解决这类问题， 通过找到使得结构性能函数最大的最优 解，得到最优的结构设计方案。
VS
控制工程问题
在控制工程中，如何确定控制系统的参数 以使得系统性能最优是一个重要问题。多 元函数的极值理论可以用来解决这类问题， 通过找到使得性能函数最大的最优解，得 到最优的控制系统参数。
04
多元函数极的展
偏导数与极值的关系
偏导数
在一元函数中，导数描述了函数值随自变量变化的速率。在多元函数中，偏导数描述了 函数值随某个自变量变化，而其他自变量保持不变的速率。
极值必要条件
如果一个多元函数在某点的偏导数都为0，那么这个点可能是函数的极值点。然而，这 个条件只是必要条件，不是充分条件，也就是说，偏导数都为0的点不一定是极值点。
生产成本最小化
在生产过程中，企业希望通过优化生产要素的投入比例，使 得生产成本最小化。多元函数的极值理论可以用来解决这类 问题，通过找到使得成本函数最小的最优解，实现生产成本 的最小化。
资源分配问题
在资源有限的情况下，如何合理分配资源以最大化经济效益 是经济领域中常见的问题。多元函数的极值理论可以用来解 决这类问题，通过找到使得收益函数最大的最优解，实现资 源的最优配置。
高数考研难点解析多元函数的泰勒展开与极值问题
高数考研难点解析多元函数的泰勒展开与极值问题高数考研难点解析：多元函数的泰勒展开与极值问题多元函数的泰勒展开与极值问题在高等数学中属于较为复杂的知识点，需要细致的分析和推导。
本文将针对这一难点进行解析，帮助读者更好地理解和掌握该知识点。
1. 泰勒展开在高等数学中，泰勒展开是将函数在某一点附近用无穷次求导得到的多项式来逼近原函数的方法。
对于单变量函数，泰勒展开公式如下：f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + f''(a)(x - a)^2/2! + ..., 其中a为展开点。
而对于多元函数，泰勒展开的公式也进行了相应的推广。
设f(x, y)为二元函数，展开点为(a, b)，则泰勒展开公式为：f(x, y) = f(a, b) + (∂f/∂x)(a, b)(x - a) + (∂f/∂y)(a, b)(y - b) + ...,其中第二项为一阶偏导数的乘积，第三项为二阶偏导数的乘积，依此类推。
2. 泰勒展开的应用泰勒展开在数学的各个领域都有广泛的应用，特别是在物理学和工程学中。
在高等数学中，泰勒展开常用于求函数的极值或近似计算。
对于多元函数的泰勒展开，在求取函数的极值问题时也扮演着重要角色。
3. 多元函数的极值问题多元函数在极值问题中，需要判断函数的极值点是否为极大值或极小值，亦或是鞍点。
泰勒展开可以帮助我们来判断和求解这些问题。
首先，我们需要求得函数的一阶和二阶偏导数，并找到函数的临界点（即一阶偏导数为零的点）。
在临界点的基础上，我们利用泰勒展开来近似描述函数在这些点附近的变化情况。
对于二元函数f(x, y)来说，函数在临界点(a, b)附近的泰勒展开式为：f(x, y) ≈ f(a, b) + (∂f/∂x)(a, b)(x - a) + (∂f/∂y)(a, b)(y - b) + ...根据泰勒展开的一般性质，我们可以通过二阶偏导数的符号来确定该点的性质。
大学多元函数的极值问题
大学多元函数的极值问题多元函数的极值问题是微积分中的重要内容之一。
在大学数学课程中，研究多元函数的极值问题，不仅可以帮助我们更深入地理解函数的性质，还可以应用于实际问题的解答和优化。
一、多元函数的定义和性质多元函数是指依赖于两个或更多个变量的函数。
例如，f(x, y)是一个关于变量x和y的函数。
多元函数的定义域是所有定义函数的变量取值所组成的集合。
我们可以用类似于一元函数的方法，来求解多元函数的导数、连续性等性质。
二、多元函数的极值条件多元函数的极值通常需要通过偏导数来确定。
对于二元函数f(x, y)，偏导数的定义为函数 f 对某一个变量的导数。
当偏导数等于零时，可能存在极值点。
然而，仅仅满足偏导数等于零的条件，不足以确定极值点，还需要进行二阶偏导数的判定。
三、多元函数的极值求解方法1. 使用偏导数法：通过求解偏导数方程组来找到多元函数的极值点。
先求得一阶偏导数，然后令其等于零，求解方程组即可得到极值点。
2. 使用拉格朗日乘子法：在某些特殊情况下，多元函数的极值问题需要满足一定的条件。
拉格朗日乘子法可以有效地解决这类问题，通过引入拉格朗日乘子，将带有条件的极值问题转化为无条件的极值问题。
3. 使用二阶偏导数判定：通过求解二阶偏导数，并进行判定，确定极值点的类型。
当二阶偏导数为正时，存在极小值点；当二阶偏导数为负时，存在极大值点；当二阶偏导数既正又负时，不存在极值点。
四、多元函数的极值应用实例多元函数的极值问题广泛应用于各个领域。
在经济学中，通过求解函数的极值，可以找到最大化或最小化利润的方案；在物理学中，通过求解函数的极值，可以确定物体的最稳定状态；在工程学中，通过求解函数的极值，可以找到最优的设计方案。
总结：多元函数的极值问题是数学中的重要课题，通过求解偏导数、拉格朗日乘子法和二阶偏导数，我们可以找到多元函数的极值点，并应用于各个领域的实际问题中。
在学习过程中，我们需要进行大量的计算和推导，以提高对多元函数的理解和运用能力。
多元函数极值例题及解析
多元函数极值例题及解析多元函数极值是高等数学中一个重要的概念，它在很多实际问题中都有重要的应用。
在本文中，我们将通过几个例题来介绍多元函数极值的概念和求解方法。
例题1：求函数$f(x, y) = x^2 + y^2$的极值。
解析：首先，根据极值的定义，我们知道极值点处的一阶偏导数必须为零。
所以，我们需要求解方程组$frac{partial f}{partial x} = 2x = 0$和$frac{partialf}{partial y} = 2y = 0$。
解这个方程组可以得到$x = 0$和$y = 0$。
然后，我们需要判断这些点是否是极值点。
可以通过求解二阶偏导数来判断。
计算$frac{partial^2 f}{partial x^2} = 2$和$frac{partial^2 f}{partial y^2} = 2$，可以看出它们是正数。
所以，我们可以得出结论，函数$f(x, y) = x^2 + y^2$的极小值点为$(0, 0)$。
例题2：求函数$f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5$的极值。
解析：同样地，我们先求解一阶偏导数为零的方程组，即$frac{partial f}{partial x} = 2x - 2 = 0$和$frac{partial f}{partial y} = 2y - 4 = 0$。
解这个方程组可以得到$x = 1$和$y = 2$。
然后，我们计算二阶偏导数$frac{partial^2f}{partial x^2} = 2$、$frac{partial^2 f}{partial y^2} = 2$和$frac{partial^2 f}{partial x partial y} = 0$。
根据二阶偏导数的判定法则，我们可以得出结论，函数$f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5$的极值点为$(1, 2)$，且为极小值点。
多元函数的极值问题
多元函数的极值问题在数学中，多元函数的极值问题是一个重要的研究领域。
与一元函数的极值问题类似，多元函数的极值问题也是求函数在定义域内取得最大值或最小值的问题。
然而，由于多元函数的自变量不止一个，因此其极值点的判定和求解方法相对复杂一些。
本文将介绍多元函数的极值问题的基本概念、求解方法以及相关定理，帮助读者更好地理解和掌握这一领域的知识。
一、多元函数的定义与极值概念多元函数是指自变量不止一个的函数，通常表示为$z=f(x,y)$，其中$x$和$y$是自变量，$z$是因变量。
在多元函数中，我们关心的是函数在定义域内取得的极值，即最大值和最小值。
极值点包括极大值点和极小值点，极大值点是函数在该点取得最大值的点，极小值点是函数在该点取得最小值的点。
二、多元函数的极值判定方法对于多元函数的极值问题，我们通常使用以下方法进行判定：1. 求偏导数：首先计算多元函数的偏导数，求出所有偏导数为零的点，这些点可能是极值点。
2. 求二阶偏导数：对于偏导数为零的点，计算二阶偏导数，通过二阶偏导数的符号来判定该点是极大值点、极小值点还是鞍点。
3. 应用极值定理：根据多元函数的定义域和边界条件，应用极值定理来确定函数的极值点。
通过以上方法，我们可以比较准确地找到多元函数的极值点，并判断其为极大值点还是极小值点。
三、多元函数的极值定理在多元函数的极值问题中，有一些重要的极值定理可以帮助我们更好地理解和解决问题，其中最为重要的是费马定理和拉格朗日乘数法。
1. 费马定理：对于多元函数$f(x,y)$，如果在点$(x_0,y_0)$处取得极值，且该点为内点（即不在定义域的边界上），那么该点处的偏导数必须为零，即$\frac{\partial f}{\partial x}=0$和$\frac{\partial f}{\partial y}=0$。
2. 拉格朗日乘数法：对于多元函数在一定条件下的极值问题，可以使用拉格朗日乘数法来求解。
高等数学第九章多元函数极值典型问题
1 设函数22(,)22f x y xax xy y =+++在(1,1)-处取得极值,试求常数a ,并确定极值的类型．2 求函数22z xxy y =-+在区域1x y +≤上的最大值和最小值．3〔04研〕设(,)z z x y =是由2226102180xxy y yz z -+--+=确定的函数,求(,)z z x y =的极值点和极值．4 求函数23u xy z =在条件x y z a ++=〔其中,,,a x y z R +∈〕下的条件极值．1 设函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在(1,1)-处取得极值,试求常数a ,并确定极值的类型．分析 这是二元函数求极值的反问题, 即知道(,)f x y 取得极值,只需要根据可导函数取得极值的必要条件和充分条件即可求解本题．解因为(,)f x y 在(,)x y 处的偏导数均存在,因此点(1,1)-必为驻点, 则有 2(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)40220fx a y x f xy y ----⎧∂=++=⎪∂⎪⎨∂⎪=+=⎪∂⎩, 因此有410a ++=,即5a =-． 因为22(1,1)4f A x-∂==∂,2(1,1)(1,1)22fB y x y--∂===-∂∂, 22(1,1)(1,1)22fC x y--∂===∂,2242(2)40AC B ∆=-=⨯--=>,40A =>,所以,函数(,)f x y 在(1,1)-处取得极小值．2 求函数22z x xy y =-+在区域1x y +≤上的最大值和最小值．分析这是多元函数求最值的问题．只需要求出函数在区域内可能的极值点与在区域边界上的最大值和最小值点,比较其函数值即可．解由20zx y x∂=-=∂,20z y x y ∂=-=∂解得0x =,0y =,且(0,0)0z =． 在边界1,0,0x y x y +=≥≥上,22()313(1)133z x y xy x x x x =+-=--=-+,它在[0,1]上最大值和最小值分别为1和14； 同理,在边界1,0,0x y x y +=-≤≤上有相同的结果． 在边界1,0,0x y x y -=-≤≥上,22()1(1)1z x y xy x x x x =-+=++=++,在[0,1]上最大值和最小值为1和34； 同理,在边界1,0,0x y x y -=≥≤上有相同的结果．综上所述,函数22z x xy y =-+在区域1x y +≤上的最大值和最小值分别为 max 13max 0,,,1144z ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭, min 13min 0,,,1044z ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭．注 求多元连续函数在有界闭区域上的最大值和最小值时,求出可能的极值点后,并不需要判别它是否为极值点．另外,求函数在边界上的最大值和最小值时,一般是将问题化为一元函数的最值问题或用其他方法,比如用条件极值的方法或不等式的技巧．3〔04研〕设(,)z z x y =是由2226102180x xy y yz z -+--+=确定的函数,求(,)z z x y =的极值点和极值．分析 本题考查由方程确定的隐函数的极值问题,应先求出驻点．再求出二阶偏导数,利用充分条件判定是否为极值点．解因为2226102180x xy y yz z -+--+=,所以方程两边分别对x 与y 求偏导,得 令 303100z x y x y z z x y z yy z ∂-⎧==⎪∂+⎪⎨∂-+-⎪==⎪∂+⎩,解之得303100x y x y z -=⎧⎨-+-=⎩ 即3x yz y =⎧⎨=⎩． 将3x y =,z y =代入2226102180x xy y yz z -+--+=可得933x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 或933x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩, 即点(9,3)与点(9,3)--是可能的极值点,下面判定是否为极值点．在〔1〕式两边对x 求偏导,得2222222220z z z y z x x x ∂∂∂⎛⎫---= ⎪∂∂∂⎝⎭,在〔1〕式两边对y 求偏导,得22622220z z z z zy z x x y y x x y∂∂∂∂∂-----=∂∂∂∂∂∂∂,在〔2〕式两边对y 求偏导,得2222220222220z z z z zy z y y y y y ⎛⎫∂∂∂∂∂-----= ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭,所以22222(9,3,3)(9,3,3)(9,3,3)115,,623zz zA B C xx yy∂∂∂====-==∂∂∂∂． 故21036AC B -=>,又106A =>,从而点(9,3)是(,)z x y 的极小值点,且极小值为 (9,3)3z =．类似地由22222(9,3,3)(9,3,3)(9,3,3)115,,.623z z zA B C xx yy---------∂∂∂==-====-∂∂∂∂．故21036AC B -=>,又106A =-<,所以点(9,3)--是(,)z x y 的极大值点,且极大值为(9,3)3z --=-．综上所述,点(9,3)是(,)z x y 的极小值点,且极小值为(9,3)3z =；点(9,3)--是(,)z x y 的极大值点,且极大值为(9,3)3z --=-．4 求函数23u xy z =在条件x y z a ++=〔其中,,,a x y z R +∈〕下的条件极值． 分析条件极值问题可考虑将其转化为无条件极值,或用拉格朗日乘法来求． 解法1将x a y z =--代入函数23u xy z =,得23()u a y z y z =--, 于是由 解得32a y a z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,则2432,32,322(3)8a a a a u a A z a y z y ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭⎪⎝⎭∂==--=-∂,242,32,32(698)12a a a a u a B yz a y z y z ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭⎪⎝⎭∂==--=-∂∂,2422,32,326(2)9a a a a u a C y z a y z z ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭⎪⎝⎭∂==--=-∂,2444820,08912144a a a a AC B A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=----=>< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．所以,当,,32326a a a a ay z x a ===--=时,函数取得极大值,且极大值为236,,632632432a a a a a a a u ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．解法2 令23(,,)()(,,,)F x y z xy z x y z a x y z a R λ+=+++-∈,于是由解得632a x a y a z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩,即(,,)632a a a 为可能的极值点,将x a y z =--代入函数23u xy z =,得23()u a y z y z =--, 则(,)32a a为可能的极值点,余下解法同解法1,求出,,A B C ．知,6a x =,3a y =2az =时,函数取得极大值6432a u =．。
高数第九章--多元函数的极值及其求法
o
x
设有一列实验数据
, 它们大体
分布在某条曲线上, 通过偏差平方和最小求该曲线的方
法称为最小二乘法, 找出的函数关系称为经验公式 .
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特别, 当数据点分布近似一条直线时,问题为确定 a, b
使 y ax b 满足:
n
y
M (a,b) ( yk axk b)2 min
朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.
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推广
拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多 个约束条件的情形.
例如, 求函数 u f (x, y, z) 在条件 (x, y, z) 0,
(x, y, z) 0下的极值.
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设 F f (x, y, z) 1(x, y, z) 2 (x, y, z)
o
x
2. 确定近似函数的标准
•实验数据有误差, 不能要求 yi f (xi )
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• 偏差 ri yi f (xi ) 有正有负, 为使所有偏差的绝对
值都较小且便于计算, 可由偏差平方和最小
n
[ yi f (xi )]2 min
y
i0
来确定近似函数 f (x) . 最小二乘法原理:
断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 3 2
高为
3
2 23
2
3
2
时,
水箱所用材料最省.
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三、条件极值
无条件极值: 对自变量只有定义域限制 极值问题
条 件 极 值 : 对自变量除定义域限制外,
还有其它条件限制 条件极值的求法:
多元函数极值典型例题
多元函数极值典型例题例1 求由方程 222224100x y z x y z ++−+−−=确定的函数 (,)z f x y =的极值．解 将方程两边分别对 ,x y 求偏导，得2224022240x x y y x zz z y zz z ′′+−−=⎧⎨′′+−−=⎩. 令0,0x y z z ′′==, 得 1,1x y ==−. 即驻点为(1,1)P −.又223(2)(1)1(2)2xxPPz y A z z z−++′′===−−，0xyPB z ′′==223(2)(1)1(2)2yyPPz y C z z z−++′′===−− 因2210, 2(2)AC B z z −=>≠−，故(,)P z f x y =取极值. 将1,1x y ==−代入 222224100x y z x y z ++−+−−=得122,6z z =−=.2z =−时， 11024A z ==>−，故(1,1)2z f =−=−为极小值； 6z =时，11024A z ==−<−，故 (1,1)6z f =−=为极大值. 例2 求函数221216z x y x y =+−+在有界闭域2225x y +≤的最大值和最小值.解 函数221216z x y x y =+−+在有界闭域 2225x y +≤上连续，故必在该区域上取得最大值和最小值．先求函数在区域 2225x y +<内的驻点.令2120, 2160z z x y x y∂∂=−==+=∂∂，6, 8x y ==−. 但 (6,8)不在区域 2225x y +≤内，故函数的最大值和最小值必在边界2225x y +=上取得.再求 221216z x y x y =+−+在边界 2225x y +=上的条件极值.设 2222(,,)1216(25)F x y x y x y x y λλ=+−+−+−.令 2221220(1)21620(2)250(3)x y F x x F y y F x y λλλ′=−−=⎧⎪′=+−=⎨⎪′=+−=⎩ 由(1)、(2)得 68,11x y λλ−==−−，代入(3)式，有 2268()()2511λλ−+=−−. 得121,3λλ=−=.可得驻点12(3,4),(3,4)P P −− 而(3,4)75,(3,4)125z z −=−−=. 故z 的最大值为125，z 的最小值为－75.例3 求内接于半径a 的球且有最大体积的长方体.解 设球面方程为2222x y z a ++=,(,,)x y z 是它的内接长方体在第一卦限内的一个顶点. 则此长方体的长、宽、高分别为2,2,2x y z . 体积为2228V x y z xyz =⋅⋅=本题是求V 在约束条件2222x y z a ++=下的极值. 作拉格朗日函数2222(,,)8()F x y z xyz x y z a λ=+++−令2222820(1)820(2)820(3)0(4)xyz F yz x F xz y F xy z x y z a λλλ⎧′=+=⎪⎪′=+=⎨′⎪=+=⎪++−=⎩由(1)、(2)、(3)得 4x y z λ===−，代入(4)得3x y z a ===.即有唯一驻点,,333a a a ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠，而由实际问题这种长方体的体积存在最大值，所以当长方体的长、宽、高都为3a 时，其体积最大. 例4 在椭圆2244x y +=上求一点，使其到直线2360x y +−=的距离最短.解 设(,)P x y 为椭圆上的任意一点，即有2244x y +=. P 到直线2360x y +−=的距离为d ，则d ==作拉格朗日函数2221(,,)(236)(44)13F x y x y x y λλ=+−++−. 令224(236)20136(236)8013440x y F x y x F x y y F x y λλλ⎧′=+−+=⎪⎪⎪′=+−+=⎨⎪⎪′=+−=⎪⎩解得12128855,3355x x y y ⎧⎧==−⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==−⎪⎪⎩⎩ 故128383(,),(,5555P P −−为两个驻点.由于1213P d ==，又由实际问题可知最短距离存在，因此点183(,55P 即为所求点. 13d =即为最短距离.例5 求函数 (,,)ln ln 3ln f x y z x y z =++在球面22225x y z r ++=(0,0,0)x y z >>>的最大值，并证明对任何正数,,a b c 成立不等式 53275a b c abc ++⎛⎞≤⎜⎟⎝⎠解 作拉格朗日函数2222(,,)ln ln 3ln (5)F x y z x y z x y z r λ=++−++−令 22221201203205x y z F x xF y y F z z F x y z r λλλλ⎧′=−=⎪⎪⎪′=−=⎪⎨⎪′=−=⎪⎪⎪′=++−⎩，即2222222120(1)120(2)320(3)50(4)x y z x y z r λλλ⎧−=⎪−=⎪⎨−=⎪⎪++−=⎩(1)+(2)+(3)，得 2222()5x y z λ++=，得212r λ=. 将求得的λ的值分别代入(1)、(2)、(3)式，得驻点(,)r r .因在第一卦限内球面的三条边界上，函数(,,)f x y z 均趋向于－∞，故最大值必在曲面内部取得，而驻点又唯一，则在驻点(,)r r 处，(,,)f x y z 取得最大值，其值为5(,)ln ln 3ln )F r r r r =++=，则对任何0,0,0x y z >>>，有5ln ln 3ln )x y z ++≤，又22221()5r x y z =++，代入得5/222235x y z xyz ⎞++≤⎟⎠，得5222226275x y z x y z ⎛⎞++≤⎜⎟⎝⎠令222,,x a y b z c ===，得53275a b c abc ++⎛⎞≤⎜⎟⎝⎠。
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1 设函数2
2(,)22f x y x
ax xy y =+++在(1,1)-处取得极值，试求常
数a ，并确定极值的类型．
2 求函数2
2
z x
xy y =-+在区域1x y +≤上的最大值和最小
值．
3（04研） 设(,)z z x y =是由2
226102180x
xy y yz z -+--+=确定的函
数，求(,)z z x y =的极值点和极值．
4 求函数23
u xy z =在条件x y z a ++=（其中,,,a x y z R +
∈）下的条
件极值．
1 设函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在(1,1)-处取得极值，试求常数a ，并确定极值的类型．
分析 这是二元函数求极值的反问题， 即知道(,)f x y 取得极值，只需要根据可导函数取得极值的必要条件和充分条件即可求解本题．
解 因为(,)f x y 在(,)x y 处的偏导数均存在，因此点(1,1)-必为驻点， 则有 2(1,1)
(1,1)
(1,1)(1,1)
40220f
x a y x f xy y ----⎧∂=++=⎪∂⎪⎨∂⎪=+=⎪∂⎩，
因此有410a ++=，即5a =-． 因为
22
(1,1)
4f A x
-∂==∂，2(1,1)
(1,1)
22f
B y x y
--∂=
==-∂∂， 22
(1,1)(1,1)
22f
C x y
--∂===∂，
2242(2)40AC B ∆=-=⨯--=>，40A =>，
所以，函数(,)f x y 在(1,1)-处取得极小值．
2 求函数22z x xy y =-+在区域1x y +≤上的最大值和最小值．
分析 这是多元函数求最值的问题．只需要求出函数在区域内可能的极值点及在区域边界上的最大值和最小值点，比较其函数值即可．
解 由
20z
x y x
∂=-=∂，20z y x y ∂=-=∂解得0x =，0y =，且(0,0)0z =． 在边界1,0,0x y x y +=≥≥上，
22()313(1)133z x y xy x x x x =+-=--=-+，
它在[0,1]上最大值和最小值分别为1和
1
4
； 同理，在边界1,0,0x y x y +=-≤≤上有相同的结果． 在边界1,0,0x y x y -=-≤≥上，
22()1(1)1z x y xy x x x x =-+=++=++，
在[0,1]上最大值和最小值为1和3
；
4
同理，在边界1,0,0x y x y -=≥≤上有相同的结果．
综上所述，函数22z x xy y =-+在区域1x y +≤上的最大值和最小值分别为 max 13max 0,,,1144z ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭， min 13min 0,,,1044z ⎧⎫
==⎨⎬⎩⎭
．
注 求多元连续函数在有界闭区域上的最大值和最小值时，求出可能的极值点后，并不需要判别它是否为极值点．另外，求函数在边界上的最大值和最小值时，一般是将问题化为一元函数的最值问题或用其他方法，比如用条件极值的方法或不等式的技巧．
3（04研） 设(,)z z x y =是由2226102180x xy y yz z -+--+=确定的函数，求(,)z z x y =的极值点和极值．
分析 本题考查由方程确定的隐函数的极值问题，应先求出驻点．再求出二阶偏导数，利用充分条件判定是否为极值点．
解 因为2226102180x xy y yz z -+--+=，所以方程两边分别对x 与y 求偏导，得
26220(1)
6202220
(2)
z z
x y y
z x x
z z
x y z y z y y
∂∂---=∂∂∂∂-+---=∂∂ 令 303100
z x y
x y z z x y z y
y z ∂-⎧==⎪∂+⎪⎨∂-+-⎪==⎪∂+⎩，解之得303100x y x y z -=⎧⎨-+-=⎩ 即
3x y
z y =⎧⎨=⎩
． 将3x y =，z y =代入2226102180x xy y yz z -+--+=可得933x y z =⎧⎪
=⎨⎪=⎩ 或
933x y z =-⎧⎪
=-⎨⎪=-⎩
， 即点(9,3)与点(9,3)--是可能的极值点，下面判定是否为极值点．
在（1）式两边对x 求偏导，得
2
222222220z z z y z x x x ∂∂∂⎛⎫
---= ⎪∂∂∂⎝⎭
，
在（1）式两边对y 求偏导，得
22622220z z z z z
y z x x y y x x y
∂∂∂∂∂-----=∂∂∂∂∂∂∂，
在（2）式两边对y 求偏导，得
2
222220222220z z z z z
y z y y y y y ⎛⎫∂∂∂∂∂-----= ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭
，
所以
2222
2
(9,3,3)(9,3,3)(9,3,3)115
,,623
z
z z
A B C x
x y
y
∂∂∂====-==∂∂∂∂． 故21036AC B -=>，又1
06
A =>，从而点(9,3)是(,)z x y 的极小值点，且极小值为 (9,3)3z =．
类似地由
2222
2
(9,3,3)(9,3,3)(9,3,3)115
,,.623
z z z
A B C x
x y
y
---------∂∂∂==-=
===-∂∂∂∂．
故21036AC B -=
>，又1
06
A =-<，所以点(9,3)--是(,)z x y 的极大值点，且极大值为(9,3)3z --=-．
综上所述，点(9,3)是(,)z x y 的极小值点，且极小值为(9,3)3z =；点(9,3)--是(,)z x y 的极大值点，且极大值为(9,3)3z --=-．
4 求函数23u xy z =在条件x y z a ++=（其中,,,a x y z R +∈）下的条件极值． 分析 条件极值问题可考虑将其转化为无条件极值，或用拉格朗日乘法来求． 解法1 将x a y z =--代入函数23u xy z =，得23()u a y z y z =--， 于是由
322(232)0(334)0u
yz a y z y
u y z a y z z
∂⎧=--=⎪∂⎪⎨
∂⎪=--=⎪∂⎩ 解得32
a y a z ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则
243
2
,32,322(3)8a a a a u a A z a y z y ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭
⎪
⎝⎭
∂==--=-∂， 242
,32,32(698)12a a a a u a B yz a y z y z ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭
⎪
⎝⎭
∂=
=--=-∂∂，
242
2,32,326(2)9a a a a u a C y z a y z z ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭
⎪
⎝⎭
∂==--=-∂，
2
44482
0,08912144
a a a a AC B A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=----=
>< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．
所以，当,,32326a a a a a
y z x a ===--=时，函数取得极大值，且极大值为
2
3
6,,632632432a a a a a a a u ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
．
解法2 令23(,,)()(,,,)F x y z xy z x y z a x y z a R λ+=+++-∈，于是由
233220
2030
x
y z F y z F xyz F xy z x y z a
λλλ⎧'=+=⎪⎪'⎪
=+=⎨
'⎪=+=⎪++=⎪⎩ 解得632a x a y a z ⎧
=⎪⎪
⎪
=⎨⎪
⎪=⎪⎩
，即(,,)632a a a 为可能的极值点，将x a y z =--代入函数23u xy z =，得
23()u a y z y z =--， 则(,)32a a
为可能的极值点，余下解法同解法1，求出,,A B C ．知
,6a x =,3a y =2
a
z =时，函数取得极大值6432a u =． 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。