天津市和平区第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试试题 数学【含解析】

天津市和平区第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试试题
数学
一、选择题：（每小题3分，共30分）
1.如果一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ） A. 13项 B. 12项
C. 11项
D. 10项
【答案】A 【解析】
试题分析：设这个数列有
n
项，则1232134,146n n n a a a a a a --++=++=，因此
()13n a a +=34146+180=
即160n a a +=，则()1603902
2
n n n a a n
S +=
=
=，故13n =； 考点：1．等差数列的性质，2．等差数列的前n 项和公式；
2.已知等比数列{}n a 中，23a a +＝1，45a a +＝2，则67a a +等于( ). A. 2 2
C. 4
2
【答案】C 【解析】
试题分析：()2311a a a q q +=+，()34511a a a q q +=+，()5
6711a a a q q +=+，可见23a a +，45a a +，
67a a +依旧成等比数列，所以()()()2
452367a a a a a a +=++，解得674a a +=.
考点：等比数列的性质
3.已知数列{}n a 满足(
)*
*
n+1n 1,a ka n N k R
=-∈∈，若数列{}n
1a -是等比数列，则k 值等于（ ）
A. 1
B. -1
C. -2
D. 2
【答案】D 【解析】 【分析】
将所给数列递推式变形，由数列{a n ﹣1}是等比数列求得k 的值．
【详解】解：由a n +1＝k a n ﹣1，得1212n n n a ka k a k +⎛⎫-=-=- ⎪⎝
⎭
． 由于数列{a n ﹣1}是等比数列， ∴
2
1k
=，得k ＝2， 故选：D ．
【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比关系的确定，是基础题．
4.已知数列{}n a 满足11a =-，n+1n n =12+1a a a -+，其前n 项和n S ，则下列说法正确的个数是（ ） ①数列{}n a 是等差数列；②2
n =3n a -；③133
S =2
n n --.
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
【答案】B 【解析】 【分析】
由a 1＝﹣1，a n +1＝|1﹣a n |+2a n +1，可得a 2，a 3，a 4，运用等差数列的定义即可判断①，等比数列的通项公式即可判断②，由当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1，即可判断③． 【详解】解：数列{a n }满足a 1＝﹣1，a n +1＝|1﹣a n |+2a n +1， 可得a 2＝|1﹣a 1|+2a 1+1＝2﹣2+1＝1，
a 3＝|1﹣a 2|+2a 2+1＝0+2+1＝3， a 4＝|1﹣a 3|+2a 3+1＝2+6+1＝9，
则a 4﹣a 3＝6，a 3﹣a 2＝2，即有a 4﹣a 3≠a 3﹣a 2， 则数列{a n }不是等差数列，故①不正确；
a n ＝3n ﹣2，不满足a 1＝﹣1，故②不正确；
若S n 1332
n --=满足n ＝1时，a 1＝S 1＝﹣1，
但n ＝2时，a 2＝S 2﹣S 10
2
=
-（﹣1）＝1， 当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1123333
22
n n ----=-
＝3n ﹣2，n ≥2，n ∈N *． 代入a n +1＝|1﹣a n |+2a n +1，
左边＝3
n ﹣1
，右边＝3
n ﹣2
﹣1+2•3
n ﹣2
+1＝3
n ﹣1
，
则a n +1＝|1﹣a n |+2a n +1恒成立． 故③正确． 故选：B ．
【点睛】本题考查数列的递推式的运用，同时考查等差数列和等比数列的判断，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
5.已知0.22019a =，20190.2b =，2019c=log 0.2，则（ ） A. c a b << B. b a c << C. c b a <<
D. a c b <<
【答案】C 【解析】 【分析】
利用指对函数的图象与性质即可比较大小. 【详解】0.2
020*******,a =>=2019000.20.21,b <=<=20192019c=log 0.2<log 10=,
∴c b a << 故选：C
【点睛】本题考查了对数函数、指数函数的单调性，中间量0和1，考查了推理和计算能力，属于基础题． 6.若0a b <<，则下列不等式一定成立的是（ ） A.
11
a b b
>- B. 2a ab <
C.
+1+1
b b a a < D. n n a b >
【答案】C 【解析】 分析】
根据不等式的性质分别进行判断即可．
【详解】对于A ，当4,2a b =-=-时，显然不成立； 对于B ，∵0a b <<，∴2a ab >，不成立；
对于C ，∵0a b <<，∴0a b >>，根据糖水浓度，易知：+1+1
b b
a a <成立； 对于D ，当n 为奇数时，显然n n a
b <，不成立， 故选：C
【点睛】本题主要考查不等式性质的应用，结合不等式的性质是解决本题的关键． 7.若023x <<，则(32)x x -的最大值为（ ） A.
916
B.
94
C. 2
D.
98
【答案】D 【解析】 【分析】
利用均值不等式即可得到结果．
【
详解】解：∵0＜2x ＜3，∴3﹣2x ＞0，x ＞0，
∴（3﹣2x ）x 12=
（3﹣2x ）•2x 213229
(
)228
x x -+≤=， 当且仅当3﹣2x ＝2x ，即x 3
4=时取等号，
∴(32)x x -的最大值为9
8
．
故选：D ．
【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，考查了转化思想，属基础题．
8.已知0,0x y >>，且11
5x y x y
+++=，则x y +的最大值是（ ） A. 3
B. 4
C. 6
D. 8
【答案】D 【解析】 【分析】
根据x ＞0，y ＞0，且x +y
11x y
++=5，可得（x +y ）2﹣5（x +y ）+4≤0，然后解关于x +y 的不等式，可得x +y 范围，从而得到x +y 的最大值．
【详解】∵x ＞0，y ＞0，且x +y 11
x y
+
+=5， ∴（x +y 11)()x y x y
+++=5
211()()()()x y x y x y x y +=++++2
2()(11)()4y x x y x y x y =+++++≥++ ∴（x +y ）2﹣5（x +y ）+4≤0，∴1≤x +y ≤4， ∴当且仅当x ＝y ＝2时，x +y 取得最大值为4． 故选：B ．
【点睛】本题考查了基本不等式的应用和一元二次不等式的解法，给x +y 11
x y
++=5两边同乘（x +y ）是解题的关键，考查了转化思想，属基础题． 9.若数列{}{},n n a b 的通项公式分别为2019
2018
(1)(1),2n n n n a a b n
++-=-=+
，且n n a b <，对任意n N +∈恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A. 11,
2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭
B. [)1,1-
C. [
)2,1- D. 32,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭
【答案】D 【解析】 【分析】
对n 分奇偶，讨论n n a b <恒成立即可
【详解】n n a b <，故()()2019
2018112n n a n
++--<+
当n 为奇数，-a<2+1n ,又2+1n 单调递减，故2+1
2n ＜，故- a ≤2，解a 2≥- 当n
偶数，12a n <-，又2-1n 单调递增，故2-132n ≥，故32a <，综上2-≤a 3
2
<
故选：D
【点睛】本题考查数列综合，考查数列单调性，分类讨论思想，准确计算是
关键，是中档题
10.已知函数2
()4
x f x =，若存在实数t ，使得任给[]1,x m ∈，不等式()f x t x +≤恒成立，则m 的最大值
为（ ） A. 3 B. 6
C. 8
D. 9
【答案】D 【解析】 【分析】
由当x ∈[1，m ]时，f （x +t ）≤x 恒成立，即g （x ）＝f （x +t ）﹣x ≤0恒成立，则需满足g （1）≤0且g （m ）≤0，解出t 的范围，讨论m 的取值即可得到m 的最大值． 【详解】解：设g （x ）＝f （x +t ）﹣x 14=
（x +t ）2﹣x 14=x 2+（12t ﹣1）x 1
4
+t 2， 由题意f （x +t ）≤x 对任意的x ∈[1，m ]（m ＞1）恒成立，
即g （1）≤0且g （m ）≤0．
由g （1）≤0，即
1
4（1+t ）2﹣1≤0，得t ∈[﹣3，1]， 由g （m ）≤0，即14
（m +t ）2﹣m ≤0，得m 2+（2t ﹣4）m +t 2
≤0，
则当t ＝1时，得到m 2﹣2m +1≤0，解得m ＝1； 当t ＝﹣3时，得到m 2﹣10m +9≤0，解得1≤m ≤9． 综上所述m 的取值范围为[1，9] ∴m 的最大值为9． 故选：D ．
【点睛】本题考查学生理解函数恒成立时取条件的能力，体现了数学转化思想方法，训练了灵活运用二次函数求最值的方法的能力，是中档题． 二、填空题：（每小题4分，共24分）
11.已知等差数列{}n a 中，15=33a ，25=66a ，则35=a ___________. 【答案】99 【解析】 【分析】
利用等差中项的性质可得，a 15、a 25、a 35成等差数列，从而可求得a 35的值． 【详解】解：∵等差数列{a n }中，a 15、a 25、a 35成等差数列， ∴2a 25＝a 15+a 35，又a 15＝33，a 25＝66， ∴2×66＝33+a 35， 解得：a 35＝99， 故答案为：99．
【点睛】本题考查等差数列的性质，熟练应用等差中项的性质是解决问题的关键，属于中档题． 12.已知等比数列{}n a 的公比为2，99=77S ，则36999=a a a a ++++___________.
【答案】44 【解析】 【分析】
根据利用等比数列通项公式及（a 1+a 4+a 7+…+a 97）q 2＝（a 2+a 5+a 6+…+a 98）q ＝a 3+a 6+a 9+…a 99求得答案． 【详解】解：因为{a n }是公比为2的等比数列，
设a 3+a 6+a 9+…+a 99＝x ，则 a 1+a 4+a 7+…+a 974x =
，a 2+a 5+a 6+…+a 982
x =． S 99＝77＝（a 1+a 4+a 7+…+a 97）+（a 2+a 5+a 6+…+a 98）+（a 3+a 6+a 9+…+a 99）＝x 7
244
x x x +
+=， ∴a 3+a 6+a 9+…a 99＝44， 故答案为：44．
【点睛】本题主要考查了等比数列的前n 项和，解题的关键是发现a 1+a 4+a 7+…+a 97、a 2+a 5+a 6+…+a 98和
a 3+a 6+a 9+…a 99的联系，属于基础题．
13.已知数列{}n a 满足1=15a ，且1332n n a a +=-，若10k k a a +<，则正整数k =__________. 【答案】23 【解析】 【分析】
首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用通项公式的应用求出结果． 【详解】解：数列{a n }满足a 1＝15，且3a n +1＝3a n ﹣2，整理得12
3
n n a a +-=-（常数）， 所以数列{a n }是以a 1＝15为首项，2
3
-为公差的等差数列． 则()122471333
n a a n n =-
-=-+， 由于a k a k +1＜0，则2
472453
333k k ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＜0，
解得
4547
22
k ＜＜， 所以正整数k ＝23． 故答案为：23．
【点睛】本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用．数列的通项公式的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
14.若01<a <，则不等式2
1
()10x a x a
-++<的解集是_________. 【答案】1a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 【解析】 【分析】
通过a 的范围判断两个因式的根的大小，利用二次不等式的解法得到结果即可．
【详解】原不等式可化为（x ﹣a ）（x 1
a
-）＜0的解集， 又01<a <，∴a 1x a ＜＜
即不等式的解集为：1a a ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
，．
故答案为：1a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，．
【点睛】本题考查二次不等式的解法，考查转化思想以及计算能力． 15.若1<a<3，－4<b<2，那么a －|b|的
取值范围是_______ 【答案】(－3,3) 【解析】 【分析】
先算出|b |的范围，再算出a +（﹣|b |）的范围．
【详解】由﹣4＜b ＜2⇒0≤|b |＜4，﹣4＜﹣|b |≤0， 又1＜a ＜3． ∴﹣3＜a ﹣|b |＜3． 所求范围为（﹣3，3）. 故答案为（﹣3，3）.
【点睛】本题考查了不等式性质的应用，注意同向不等式只能相加，不能相减的特点． 16.x y a x y ≤+对任给0x >，0y >恒成立，则实数a 的取直范围是______.
【答案】)
2,⎡+∞⎣ 【解析】 【分析】
利用参数分离法将不等式进行转化，利用基本不等式求出式子的最大值即可得到结论． 【详解】解：∵x ＞0，y ＞0，
x y x y +等价为a x y x y
+≥
+恒成立，
设m x y x y
+=
+，则m ＞0，
平方得m 2x y x y
++）22x y xy ++=
=12xy
≤122xy xy =1+1＝2， 当且仅当x ＝y 时取等号， ∴m 2
≤2，则0<m 2≤∴要使a x y x y
+≥
+恒成立，
则a 2≥
故答案为：2+∞）
【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题，利用参数分离法以及基本不等式求出最值是解决本题的关键．综合性较强．
三、解答题：（共4题，46分）
17.已知函数2
()(6)4f x x a a x =-+--， （1）解关于a 的不等式(1)0f >；
（2）若不等式(1)f b >的解集为(1,3)-，求实数a ，b 的值；
（3）对任意的[]13x ∈，
，不等式()0f x ≤恒成立，求实数a 的取直范围。

【答案】（1）()15a ∈，
（2）37,7a b ==-或377a b =-=-，（3）5a ≤3+5a ≥【解析】 【分析】
（1）由()f 10>得：26+50a a -<，解一元二次不等式即可；
（2）根据一元二次不等式与对应一元二次方程之间的关系，利用根与系数的关系，即可求出a 、b 的值
（3）对[]13x ∀∈，，()0f x ≤恒成立等价于()24
6x a a x
+-≤，转求最值即可．
【详解】（1）由()f 10>得：26+50a a -<. ∴15a <<
解集为()15，
（2）由()f x b >即，()2
640x a a x b --++<
可知-1与3是方程()2
640x a a x b --++=两实根
()26262037
4377a a a a a b b b ⎧⎧⎧-=-+==⎪⇒⇒⎨
⎨⎨+=-=-=-⎪⎩⎩⎩故377a b ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩377a b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩
（3）对[]13x ∀∈，
，()0f x ≤恒成立等价于()2
x +640a a x ---≤ 即()246x a a x +-≤，满足()2min 46()x a a x +-≤
设()24
g x x x
+=，[]x 13∈，
， 44
4x x x x
=+
≥⋅=， 当且仅当[]1,34x x x ⎧∈⎪
⎨=⎪⎩
即2x =时“=”成立
故()64a a -≤，26+40a a -≥
35a ≤3+5a ≥【点睛】本题考查了一元二次不等式与对应方程和函数的关系以及根与系数的应用问题，考查不等式恒成立问题，考查转化思想与计算能力，是中档题． 18.已知数列{}n a 满足：*1n +11
=+,2
n n n n a a n N n ++∈， （1）设=
n
n a b n
,求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S . 【答案】（1）122n n n b n -=-;（2）()1
2
142n
n n S n n -+=+-+ 【解析】 【分析】 （1）由条件可得1112n n n a a n n +=++，即有b n +1﹣b n 1
2
n =，由累加法，结合等比数列的求和公式，可得所求通项公式；
（2）由（1）可知122n n n a n -=-，设数列12n n -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和T n ，运用错位相减法，结合等差数列、等比数列的求和公式，以及分组求和，计算可得所求和．
【详解】（1）由1112n n n n n a a n +++=+可得1112
n n n a a n n +=++， 1111112n n n n n a b b b a b n +=∴-===又，，由，得， 累加法可得：()()()21321121111222n n n b b b b b b ---+-++-=+++ 111122112
n -⎛⎫- ⎪⎝⎭=-， 化简并代入b 1＝1得：1122n n b -=-
； （2）由（1）可知122n n n a n -=-
，设数列12n n -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和T n ， 则 0121123222
2n n n T -=++++① 123112322222
n n n T =++++② ①﹣②可得12T n ＝1211112222n n n -++++- 1
121212
n n n -
=-=-222n n +-， 则T n ＝4122
n n -+-， 前n 项和S n ＝n （n +1）﹣4122n n -++． 【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列恒等式和等比数列的求和公式的运用，考查错位相减法求和，以及分组求和，化简整理的运算能力，属于中档题．
19.已知等差数列{}n a 的公差0d >，首项1=1a ，且1232,1,3a a a ++成等比数列.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n P ；
（3）比较n P 与22n
n
的大小. 【答案】（1）21n a n =-（2）21n n P n =+（3）22n
n P n
< 【解析】
【分析】
（1）由已知列式求得等差数列的公差，再由等差数列的通项公式求解；
（2）利用裂项相消法求数列{1
1n n a a +}的前n 项和P n ； （3）由11112212n P n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭＜，设f （n ）22n n
=，分析可得当n ≥3时，f （n +1）＞f （n ）f （n ）单调递增，由f （n ）≥f （3）89=，P n 12＜，得f （n ）＞P n ；再验证n ＝1与n ＝2时成立，可得P n 与22n
n
的大小． 【详解】解：（1）由题意，()2
213(1)23a a a +=+， 即()2(2)2420
d d d ⎧+=+⎨⎩＞，解得d ＝2．
∴a n ＝2n ﹣1；
（2）()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭ 111111111+2335572121n P n n ⎛⎫=-+-+-+- ⎪-+⎝⎭
… 111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭ 21
n n =
+ 21n n P n ∴=+ （3）由11112212
n P n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭＜， 设f （n ）22n n =，则f （n +1）﹣f （n ）()12222
22122(1)(1)n n n n n n n n n +⎡⎤--⎣⎦=-=++．
当n ≥3时，f （n +1）＞f （n ），f （n ）单调递增，
f （n ）≥f （3）89=
，P n 12
＜，则f （n ）＞P n ； 当n ＝1时，f （1）＝2113
P =＞； 当n ＝2时，f （2）＝1225P =＞． 综上，P n 22n
n
＜． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式与等比数列的性质，训练了裂项相消法求数列的前n 项和，考查数列的函数特性，是中档题．
20.已知函数2
()x f x ax b
=+（,a b 为常数），方程()120f x x -+=有两个实根3和4， （1）求()f x 的解析式；
（2）设1k >，解关于x 的不等式()1()2k x k f x x
+-<-； （3）已知函数()g x 是偶函数，且()g x 在[)0+∞，
上单调递增，若不等式(1)(2)g mx g x +≤-在任意112x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，上恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）()()2,22x f x x x
=≠-（2）答案不唯一，见解析；（3）[]-20m ∈， 【解析】
【分析】
（1）根据题意，方程f （x ）﹣x +12＝0即（1﹣a ）x 2
+（12a ﹣b ）x +12b ＝0的两根为3和4，由根与系数的关系分析可得有127112121b a a b a -⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩
，解可得a 、b 的值，即可得到答案； （2）根据题意，原不等式变形可得f （x ）()12k x k x
+--＜，分情况讨论k 的取值范围，求出不等式的解集，综合即可得答案；
（3）根据题意，由函数奇偶性与单调性的性质可得g （mx +1）≤g （x ﹣2）⇒|mx +1|≤|x ﹣2|，x ∈[12
，
1]；进而变形可得13
x m x x m x -⎧≤⎪⎪⎨-⎪≥⎪⎩
对于任给x ∈[12，1]上恒成立，据此分析可得答案． 【详解】（1）由()f +12=0x x -即2221212120x x ax bx ax b x ax b ax b
--++-+==++ ， 即（1﹣a ）x 2+（12a ﹣b ）x +12b ＝0两根为3和4，
127112121b a a b a -⎧=⎪⎪-∴⎨⎪=⎪-⎩
，即571a b a b -=-⎧⎨+=⎩. 12a b =-⎧∴⎨=⎩
故()()2
,22x f x x x
=≠- （2）由()2
122k x k x x x
+-<--即()()()k 120x x x -->- 1°当12k <<时，解集()()x 1k 2+∈⋃∞，，
2°当k=2时，解集()()x 122+∈⋃∞，
， 3°当k 2>时，解集()()x 12k +∈⋃∞，
， （3）由于g （x ）为偶函数且在（0，+∞）上递增，
g （mx +1）≤g （x ﹣2）⇒|mx +1|≤|x ﹣2|，x ∈[12
，1]； 则有1212mx x mx x +≤-⎧⎨+≥-⎩，变形可得13x m x x m x -⎧≤⎪⎪⎨-⎪≥⎪⎩
， 即有13
x m x x m x -⎧≤⎪⎪⎨-⎪≥⎪⎩
，对于任给x ∈[12，1]上恒成立，
对于y
1-
=
x
x
，有y min＝y|x＝1＝0，则有m≤0，
对于y
3
x
x
-
=，有y
max
＝y|x＝1＝﹣2，则有m≥﹣2，
故﹣2≤m≤0，即m的取值范围为[﹣2，0]．
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及函数的恒成立问题，考查转化思想与计算能力，属于综合题．。