一种基于图论与熵的专家判断客观可信度的确定方法

(k ) a1 a1(n k) a1(n ； 1
且 A(k)是互反矩阵，即有 a ji = 1/ aij ，i，j＝1，2，…，n。 若 A(k)有 aij = aih i ahj ，则 A 阵A
(k )
(k ) (k ) (k )
(k )
(k )
1、基于最小生成树的专家判断信息提取方法 设决策备选方案为 n 个，其序号分别记作 1，2，…，n；共有 m 位专家参与决策，记做 E1，E2，…，Em。专家 E k 给出的判断矩阵为 A
*
(k )
(k ) = aij
( )
n×n
， k = 1,2,
(k ) >0， , m 。 aij
国家自然科学基金资助项目（70371023） ；教育部博士点基金资助项目（20030358052） 1
图1 比如： (v2 , v4 ) = (v2 , v3 ) × (v3 , v4 ) ，即 a 24 = a 23 × a34 命题二：对于任意一个 n 阶的互反矩阵 A，共有 N = n
(n −2 )
个符合命题一中条件的元素
组合（这 n－1 个元素中任意一个元素都不能由其它 n－2 个元素导出） ，可以组成一致性矩 阵。 证明：由命题一的证明过程可知，可以把 n 阶的互反矩阵 A 中 n 个因素 v1、v2、…、vn 看成图的 n 个顶点，则矩阵的各元素（两个因素的对比关系）看作任意两个因素 vi 和 vj 之
_______________________________________________________________________________
一种基于图论与熵的专家判断客观可信度的确定方法*
熊 立
梁 樑
王国华
（中国科学技术大学商学院，合肥 230026） 摘要：本文给出一种群决策中确定专家判断可信度的方法，其主要思路是首先通过图论中最 小生成树的方法提取专家判断矩阵的全部信息，其次，使用相对熵指标确定获得专家判断的 最终结果，并同时衡量专家自身判断的统一程度，从而确定专家判断的相对客观可信度。最 后，文章给出一个典型的算例以说明该方法的可行性和有效性。 关键词：判断矩阵 中图分类号：O223 图 生成树 熵 可信度
3
_______________________________________________________________________________ 中国科技论文在线
－2 的一个序列 t1 , t 2 ,
, t n−2 ， 我们可以如下画出一个生成树：s1 是 K 中不在 {t1 , t 2 ,
K − {s1 , s 2 ,
s n − 2 }中的两个顶， 则得到一个生成树。 至此， 就建立了 t1 , t 2 ,
序列与 K n 的生成树之间的一一对应的关系。 由上可知，对于任意一个 n 阶的互反矩阵 A，共有 N = n (n −2 ) 个符合命题一中条件的元 素组合可以组成一致性矩阵。证毕。 对 n－1 个元素的挑选，可以通过程序来实现。 由上面的论述易得， 任意符合条件的元素组合都可以用连接 n 个点使之成为简单连通图 的 n－l 条边来表达。反过来，任意连接 n 个点使之成为简单连通图的 n－l 条边都是符合条 件的。因此，一种连接方法对应一个元素组合。 对于一个固定的连接方法（一个元素组合） ，由于是连通的，我们可以从任何一个点开 始连接。我们假定从 vn 开始连接，从 v1、v2、…、vn－1 中任取一个跟 vn 相连，再从剩下的点 中选择一个，它可以跟己连接点中的任意一个点相连，如此继续直至选完为止。由于每一次 连接都引入一个新的点（因素） ，相当于选择一个新的元素，假定某一次引入的因素是 vn， 我们可以看作在矩阵的第 k 行选择了一个元素。因此，一个固定的连接方法可以看作在矩阵 的前 n－l 行的每一行中各选择一个元素。为了编程方便，逐行选取元素。又由于组合中任 一个元素都不能由其它元素导出，在程序中必须确保新选元素不能为己选元素所导出。 例如，对于 1 个 4 阶的判断矩阵，可以得到以下 16 个元素组合： №1 （1，2） ， （2，3） （3，4） ； №3 （1，2） ， （2，4） （3，2） ； №5 （1，3） ， （2，1） （3，4） ； №7 （1，3） ， （2，4） （3，2） ； №9 （1，4） ， （2，1） （3，1） ； №11（1，4） ， （2，1） （3，4） ； №13（1，4） ， （2，3） （3，4） ； №15（1，4） ， （2，4） （3，2） ； №2 （1，2） ， （2，4） （3，1） ； №4 （1，2） ， （2，4） （3，4） ； №6 （1，3） ， （2，3） （3，4） ； №8 （1，3） ， （2，4） （3，4） ； №10（1，4） ， （2，1） （3，2） ； №12（1，4） ， （2，3） （3，1） ； №14（1，4） ， （2，4） （3，1） ； №16（1，4） ， （2，4） （3，4） 。
引言 在群决策的过程中， 确定各专家判断结果的可信度直接影响到各专家在群组决策中权重 的确定，是专家判断信息最终合成的关键[1][2]。因此，群决策中专家判断的可信度度量一直 是群组决策过程中的一个重要步骤， 其通常的方法是通过判断专家判断矩阵的一致性比率来 衡量专家判断的可信度[3-5]。事实上，我们知道，由于客观事物的复杂性和专家判断的主观 性， 专家往往难以将同一准则下多个元素的相对重要程度判断的十分准确， 因而即使各专家 给出的判断都能够满足满意的一致性条件， 也并不代表各专家具有相同的可信度。 关于专家 判断矩阵的一致性是否能够代表专家判断的可信度问题， 近些年来， 不少学者提出了不同的 观点[6][7]。 本文认为：在群决策过程中，决策专家的可信度可以分为两个部分，主观可信度与客观 可信度。主观可信度与该专家的名望、地位、所属专业以及对决策问题的熟悉程度等有关， 而客观可信度取决于专家作判断时的自身意见的统一程度。因此，寻取一种科学的确定专家 判断意见统一程度的方法至关重要。本文的主要思路是利用图论中最小生成树的方法提取出 专家判断矩阵的全部信息，通过相对熵指标确定最能够符合专家意见的判断结果，并同时确 定该专家自身判断的统一程度，从而最终确定专家判断的相对可信度。
, t n − 2 （ t i ∈ K ）中的每一个 t i 有 n 种不同取法。下面只要将上述序列与 K n 的
生成树之间建立一一对应的关系即可。 设 s1 （1） 证明任一生成树可以得到一个长为 n－2 的序列。 任取定 K n 的一个生成树 T， 是 T 中第一个一次顶，取 t1 为与 s1 相邻的顶之号码，把 s1 从 T 中删除；设 s 2 是 T— s1 中第 一个叶，取 t 2 为 s 2 在 T— s1 中相邻的顶之号码，依此类推，即得由 K 中元素构成的长 n－2 的序列。最后剩下的是一个 K 2 。 （2）证明任一长为 n－2 的序列可以得到一个生成树。任给定由 K 中因素构成的长 n
1,2, 间的连线（边） ，因此，命题可以看作：一个顶集为 K = {
数为 N = n
(n − 2 )
, n} 的连通图 K n 的生成树个
，因此命题的证明即等价于求生成树个数的 Caylay 公式的证明[11]。
1,2, 首先，由顶集 K = {
序列 t1 , t 2 ,
, n} 中因素构成的长为 n－2 的序列恰为 n (n − 2 ) 个，这是因为
(k )
是一致性矩阵。在此我们假定各位专家给出的判断矩
(k )
是满足 CR 一致性比率的判断矩阵，为描述简便，记 A = A
， aij = aij
(k )
本文认为： 专家判断的可信度与专家判断的统一程度有关， 专家判断的统一程度即专家 给出的判断矩阵中判断信息的一致程度。因此，提取专家判断矩阵的全部信息，确定其统一 程度是确定专家可信度的一种较为完善的方法。 那么如何提取出专家全部的判断信息？在此本文不加证明的给出以下两个定理， 其具体 证明可参照文献[8]： 命题一：对于任意一个 n 阶的互反矩阵 A，从 A 中任选 n－1 个满足下列条件的元素就 能构造出一个完全一致的矩阵： 这 n－1 个元素中任意一个元素都不能由其它 n－2 个元素导 出。 证明：我们可以把 n 阶的互反矩阵 A 中 n 个因素 v1、v2、…、vn 看成平面上的 n 个点， 则任意两个因素 vi 和 vj 之间的连线（以下称边）可以看成这两个因素的对比关系，对应于 矩阵中元素 aij 和 a ji 。 这样就可以用图论的方法对问题进行讨论[9]。命题中的条件可以这样描述： 1、任意一个点总有另外一个点与之相连； 2、任意若干条边不构成环路。 （否则，环路中任意一条边总能由其余的边推出，这是由 一致性矩阵的性质决定的。 ） 首先需要证明对于一个没有环路的简单连通图，m 条边连接的点数为 m＋1。 （简单图指 任意两点间只有一条边、任意一点不跟自己连的图；连通图指图中任意两点都是连通的。 ） 显然对于一个只有 3 条边的这样的图，命题成立。假设对于具有 k（k>3）条边的这样的图 也成立，即连接点数为 k+1，那么增加一条边且不构成环路能且仅能增加一个点，即 k+1 条 边连接点数为（k+1）＋1，命题得证。其实该命题反过来也是成立的，即连接 m＋l 个点使 之成为简单连通图至少需要 m 条边，不然的话上面的命题就不成立。 接着我们可以证明，符合上述条件的 n－1 条边构成的图是连通的。可以反证，假定 n-1 条边中有一条边是孤立于其它边之外的，那么孤立边连接的点数为 2，其它 n－2 条边连接 的点数为 n－2＋1（由上面的证明可知） ，总点数为（n－2＋l）＋2＝n＋l＞n，显然矛盾，
_______________________________________________________________________________ 中国科技论文在线
其一般形式是：
A( k )
1 (k ) a = 21 (k ) an1
2
_______________________________________________________________________________ 中国科技论文在线
因此命题成立。 这样，图中任意两点都可以通过某种途径相连接，那么任意两个不邻接点（因素）之间 的对比关系总可以通过他们的连接路径得到（图 1） ，从而能够得到任意两因素之间的对比 关系，即整个矩阵。由于图中不存在环路，只要固定任意一个因素（点）的权重，就可以唯 一地确定其它 n－l 个元素的权重。按照判断矩阵的定义，由它们衍生出来的矩阵为一致性 矩阵。证毕。
1????????1????71132431115121114571a2????????51????61111111711115761a3????????1????6111241118121114861a4????????????311213121221312111231a由以上4个专家判断矩阵可以分别衍生出16个一致性矩阵并分别得到16个权重向量
2 基于相对熵的专家判断统一程度的确定方法 在此，我们首先给出相对熵离散形式的定义及相关性质： 定义：设 xi ， yi ≥ 0 （ i ≥ 1, 2,
, n ）且 1 ≥ ∑ xi ≥ ∑ yi ，则称 h( x, y ) = ∑ xi log
xi 为 yi
4
_______________________________________________________________________________ 中国科技论文在线 x 相对于 y 的相对熵，其主要性质如下：
, t n−2 }
中的第一个号码，把 s1 与 t1 连一边， s 2 是不在 {t1 , t 2 ,
, t n − 2 }中的 K − {s1 }的第一个号码， , s n−2 t n−2 ， 再 连 接 , t n − 2（ t i ∈ K ）
把 s 2 与 t 2 连 一 边 。 继 续 这 一 过 程 ， 得 到 n － 2 条 边 s1t1 , s 2 t 2 ,